Итоговый отчет по гранту No 17-11-01261"Расщепимые редуктивные группы над кольцами и близкие к ним"Руководитель: Степанов Алексей Владимирович
РЕФЕРАТНастоящий проект посвящен изучению структурной теории групп G(R), где G - представимый групповой функтор из некоторой категории, близкой к категории K-алгебр, а R -- объект этой категории. Мы доказываем новые результатов о коммутационных формулах и нормальном строении G(R), а также изучаем структуру подгрупп, отображения таких групп и низшую K-теорию. Доказательства основаны на методе общего элемента и его частного случая, универсальной локализации, а также на изучении образующих относительных элементарных групп, и методах вычислений с ними, развитых в предыдущих работах авторов. Основными законченными результатами исследований являются:-- описание нормального строения изотропных редуктивных групп;-- разработан аксиоматический подход к описанию подгрупп группы Шевалле над кольцом, содержащих элементарную подгруппу другой группы Шевалле, такое описание получено в случае вложения, индуцированного вложением систем корней;-- определение аналогов групп Сузуки и Ри над произвольными коммутативными кольцами характеристики p=2 или p=3 с эндоморфизмом Титса (эндоморфизм \tau, удовлетворяющий равенству \tau^p(r)=r^p). Доказано, что над совершенными полями они совпадают со смешанными группами Титса.-- полностью описаны PC-отображения унипотентного радикала борелевской подгруппы группы Шевалле.
ВВЕДЕНИЕИзучению теории редуктивных групп над полями или, в большей общности, коммутативными кольцами, посвящены тысячи работ. В частности, активно изучаются нормальное строение, образующие и соотношения, автоморфизмы или отображения, удовлетворяющие более слабым условиям (linear preservers), структура подгрупп, низшая нестабильная K-теория и другие вопросы.С другой стороны, в различных областях алгебры и топологии возникают группы, заданные сравнениями, а не уравнениями, такие как обобщенные унитарные группы Бака и Петрова, сетевые группы, а также нормализаторы некоторых подгрупп, порожденных унипотентыми элементами. В работах Петрова и Ставровой начато активное исследование изотропных, но не обязательно расщепимых редуктивных групп. Активно изучаются также бесконечномерные аналоги редуктивных групп такие, как, например, группы Каца--Муди.При этом работы про обобщенные унитарные группы, изотропные редуктивные группы и некоторые другие типы групп на уровне идей повторяют друг друга. В связи с этим аксиоматическое построение структурной теории групп, близких по свойствам к расщепимым редуктивным аффинным группам, кажется весьма своевременным и актуальным. Это позволит не только обобщить и единообразно доказать результаты нескольких десятков работ, но и лучше понять взаимосвязи между различными результатами.Еще одним стимулом к изучению групп, заданных сравнениями, является то, что они естественно появляются при описании решетки L подгрупп редуктивной группы G(R) над кольцом R, нормализуемых некоторой (достаточно большой) группой D(R), порожденной унипотентами. Изучение решетки L было инициировано работами Боревича и Вавилова в 80-е годы в связи с изучением параболических подгрупп,подгрупп, содержащих максимальных расщепимый тор, а также обобщением результатов о максимальности подгрупп из классов Ашбахера в простых конечных группах типа Ли. В настоящий момент есть шаблон для доказательства стандартности решетки L. Одним из трех основных шагов доказательства является утверждение о том, что нормализатор N некоторой подгруппы E совпадает с транспортером из E в N. При этом N задается сравнениями, E является``элементарной подгруппой'' в N, а утверждение следует из разрешимости группы N/E. Таким образом, изучение коммутационных формул поможет проделать этот шаг доказательства сразу для всех случаев или хотя бы свести его к рутинной проверке некоторых свойств группы N.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ ОТЧЕТА О НИРВсе тексты, подготовленные исполнителями в рамках настоящего проекта, выложены на интернет страницу http://alexei.stepanov.spb.ru/rscf/2017/index.html.1. В препринте Степанова подготовлен категорный контекст для определения групп, близких к расщепимым редуктивным группам. Работа в этом направлении продолжается.2. В работе Степанова и Ставровой доказана стандартность нормального строения редуктивных групп над коммутативными кольцами изотропного ранга не меньше 2 при условии обратимости структурных констант. Доказательство следует изначальному плану Степанова. Однако в процессе работы в доказательстве был найден пробел, который в настоящий момент ликвидирован. Работа подготовлена к публикации. Теорема обобщает десятки работ про нормальные подгруппы линейных групп над кольцами.3. В работе Лубкова и Степанова разработан аксиоматический подход к вопросу описания решетки подгрупп группы Шевалле G(Ф,R) над кольцом R, содержащих некоторую подгруппу D(R). Сформулированы условия на функтор D достаточные для получения сэндвич-классификации такой решетки. В случае, когда D - образ другой группы Шевалле, в общем виде доказано одно из ключевых условий - равенство нормализатора D(R) и транспортера из D(R) в нормализатор. Работа опубликована.В случае, когда D(R) - внешняя степень элементарной группы вложенная в полную линейную группу, большая часть условий из этой работы проверены в совместных статьях Лубкова с Некрасовым, одна из которых опубликована, а одна принята к публикации. К сожалению, одно из ключевых условий, извлечение транвекции, доказать пока не удалось, поэтому окончательный результат для этой проблемы не получен, работа продолжается. Кроме того, в работах Гвоздевского и Щеголева эта решетка изучается в случае, когда D=G(\Delta,_), где \Delta - подсистема в Ф. Эта ситуация не удовлетворяет аксиомам Лубкова-Степанова, так как уровень определяется не одним идеалом, а сетью идеалов. В опубликованной работе Щеголева стандартная сэндвич-классификация получена для классических групп. В двух работах Гвоздевского (одна опубликована, другая принята к публикации) при разумном ограничении на пару систем корней \Delta\subset Ф, охватывающем пару десятков случаев, доказана псевдостандартное описание решетки подгрупп. Гипотетически это описание является стандартным при условии, что \Delta не содержит компонент типа A_1. Это доказано в случаях, когда D является подгруппой Леви параболической подгруппы с абелевым унипотентным радикалом. В других случаях работа над этим результатом продолжается.4. В процессе работы над проектом вышли статьи Р.Пройссера, содержащие в явном виде одно вычисление, которое мы раньше не замечали (хотя и использовали очень похожие идеи). Это вычисление было названо Вавиловым ``обратное разложение унипотентов'' и перенесено на все группы Шевалле, соответствующие системам корней с простыми связями. С помощью этого вычисления удалось существенно улучшить результат о субнормальном строении таких групп. Кроме того, в процессе работы над этим результатом были получены удивительные коммутационные формулы для нерелятивизированных относительных элементарных групп, а также найден экономный набор образующих взаимного коммутанта относительных элементарных групп. По этим результатам 5 статей Вавилова уже опубликованы, еще 2 представлены к публикации, а еще 2 находятся в стадии доработки (некоторые из перечисленных статей совместные с З.Джангом).5. В опубликованной работе Смоленского определены аналоги групп Сузуки и Ри над произвольными коммутативными кольцами характеристики p=2 или p=3 с эндоморфизмом Титса (эндоморфизм \tau, удовлетворяющий равенству \tau^p(r)=r^p). Доказано, что над совершенными полями они совпадают со смешанными группами Титса. Над произвольным полем с автоморфизмом Титса для этих групп доказано разложение Брюа, откуда следует их простота. Используя последний результат и препринт Степанова мы доказываем стандартные коммутационные формулы в большой группе Ри над кольцом, работа над этим результатом еще не закончена. Группа Сузуки и малая группа Ри являются аналогом групп изотропного ранга 1, следовательно, стандартные коммутационные формулы могут быть выполнены в них только для маломерных колец.Исключительный изоморфизм групп Шевалле типов B_n и C_n, построенный в работе Смоленского, позволил Степанову доказать сэндвич-классификацию решетки подгрупп в G(Ф,A), содержащих G(Ф,R), где R - подкольцо кольца A, Ф=B_n или C_n, а 2=0 в A. Ранее этот результат был известен только для симплектической группы, то есть односвязной группы типа C_n (в отличие от поля, над произвольным кольцом характеристики 2 центральная изогения не обязана быть тождественной). Этот результат опубликован в совместной статье Степанова и Нужина.6. Основные усилия при исследовании функтора K_2(Ф,_) были направлены на доказательство гомотопической инвариантности (K_2-аналог проблемы Серра) при Ф=C_n, D_n. Для Ф=D_n Лавреновым был написан препринт о ``другом представлении'' группы Стейнберга, что гипотетически является важнейшим шагом в доказательстве гомотопической инвариантности. К сожалению в этом препринте был обнаружен пробел, который не удалось заделать до сих пор. Однако в совместной работе с Синчуком удалось обойтись без ``другого представления'' следуя плану из работы Туленбаева 1982 года, в которой это утверждение получено для линейного K_2.Доказательство гомотопической инвариантности для симплектического K_2 следует той же схеме, но оказалось вычислительно гораздо сложнее. Две работы Лавренова на эту тему приняты к публикации. Каждая из них содержит больше 20 страниц, более 10 из которых занимают вычисления в группе Стейнберга. Предполагается, что для окончания доказательства нужна будет еще одна статья сравнимого объема.7. Построение групп Каца—Муди над кольцами затруднено более сложным, по сравнению с группами Шевалле, устройством весовых подпространств фундаментальных представлений. Так, уже для групп аффинного типа A кратности весов растут как число крашеных разбиений натурального числа. Пока что не удается дать согласованное описание для выбора базиса представления и действия элементарных образующих. В частности, вопреки ожиданиям, не дает такого описания комбинация модели путей Литтельманна для выбора базиса и определение элементарной подгруппы группы Каца-Муди из работы Л.Карбоне и Г.Гарланда. Была предпринята попытка определить группы Каца-Муди как пропредставимые функторы. Очевидно, это нетрудно сделать для аффинных групп, однако в общем случае работа не доведена до конца. Таким образом задаче 7 было уделено много внимания, но ожидаемые результаты пока не достигнуты.Для лучшего понимания групп Каца-Муди была проведена работа по определению центральной замкнутости и вычислению мультипликаторов Шура групп Стейнберга, ассоциированных с группами Каца–Муди. В рамках этой деятельности в препринте Смоленского вычислены централизаторы корневых подгрупп и определены условия, при которых они являются совершенными. Для системы корней аффинного типа, построенной расширением диаграммы Дынкина конечной системы корней, централизатор вычисляется как аффинизация централизатора в конечной системе корней. Для симметризуемых систем корней гиперболического типа во всех 142 случаях найдены явные базисы централизаторов представителей каждой орбиты корней. При этом в 31 случае, связанном с диаграммами Дынкина типа ``цикл из простых связей + еще что-то'' и их скручиваниями, возникают подсистемы бесконечного ранга, где элементы базисов задаются полиномиальными формулами от натурального аргумента. Текст готовится к публикации.8. Изучение биекций унипотентного радикала борелевской подгруппы, сохраняющих коммутирование (PC-отображений), практически закончено в работах Щеголева. А именно, доказано, что любое PC-отображение является композицией автоморфизма и центрального PC-отображения.Статья с результатом для симплектической группы опубликована. Общий случай разобран в препринте с точностью до почти тождественных PC-отображений. Доказательство того, что любое почти тождественное PC-отображение стандартно находится в стадии доработки. Тестовый пример группы типа G_2 досчитан до конца, в остальных случаях еще предстоит провести некоторые вычисления.Коротко сформулируем новые научные результаты, полученные в рамках проекта.1. Аксиоматика изучаемых групповых функторов.Пусть C - категория с нулевым объектом O, в которой существуют пулбэки. Например, в качестве C может выступать категория коммутативных колец без 1. Пусть R - подкатегория в C с инициальным объектом K и финальным объектом O, например категория K-алгебр. Будем предполагать, что в категории R существуют пушауты (тензорные произведения). Обозначим через I категорию нормальных мономорфизмов из объекта категории C в объект категории R (в нашем примере это - категория идеалов, точнее пар, состоящих из кольца и идеала в нем). Допуская вольность речи, будем обозначать объекты категории I парами (r,c), где c\in C, а r\in R, опуская где можно обозначение самого морфизма c\to r. Определяется сумма и произведение и пересечение объектов категории I, соответствующих одному и тому же объекту категории R. Определяется также понятие локализации в категории R. Далее на категории R аксиоматически вводится понятие размерности. В нашем примере подойдет размерность Басса-Серра или размерность Крулля кольца.Рассматривается представимый функтор G из I в категорию групп, сохраняющий ядра, и его подфункторы T и E. При этом T также является представимым и сохраняет ядра. В простейшем примере G -групповая схема Шевалле-Демазюра, T - тор, а E - элементарная подгруппа (непредставимый функтор). Сформулированы условия на введенные категории и функторы, которым удовлетворяют, в частности, расщепимые редуктивные групповые схемы. При этих условиях доказаны следующие коммутационные формулы. Пусть (r,i),(r,i_1),...,(r,i_m) - объекты категории I.Теорема 1.1. [E(r,i_1),G(r,i_2),...,G(r,i_m)]=[E(r,i_1),E(r,i_2),\dots,E(r,i_m)]=[E(r,i_1...i_{m-1}),E(r,i_m)].В частности, E(r,i) нормальна в G(r).Теорема 1.2. Если размерность объекта r меньше m, то[SG(r,i_1),SG(r,i_2),...,SG(r,i_m)]=[E(r,i_1...i_{m-1}),E(r,i_m)],где SG некоторый групповой подфунктор, содержащий коммутант G. Теорема 1.3. Мультикоммутаторы имеют ограниченную длину по отношению к любому функториальному множеству образующих группы [E(r,i_1...i_{m-1}),E(r,i_m)].Результаты содержатся в препринте Степанова, который готовится к публикации.2. Нормальное строение изотропных редуктивных групп.Пусть G - редуктивная групповая схема над кольцом R, абсолютная система корней которой неприводима, а изотропный ранг не меньше 2 (т.е. в G существуют собственные параболические подсхемы P_1<P_2). Предположим, что структурные константы абсолютной системы корней обратимы в R, т.\,е. 2 обратима для систем B_n, C_n и F_4, а 6 обратима для системы G_2.Теорема 2.Для любой подгруппы H группы G(R), нормализуемой E(R), существует единственный идеал I кольца R такой, что E(R,I)\le H\le C(R,I), где E(R,I) - относительная элементарная подгруппа, а C(R,I) - прообраз центра при каноническом гомоморфизме G(R)\to G(R/I). При этом, в соответствие со стандартной коммутационной формулой любая подгруппа между E(R,I) и C(R,I) нормализуется элементарной группой.Результаты содержатся в совместном препринте Степанова и Ставровой, подготовленном к публикации.3. Подгруппы групп ШеваллеПусть G=G(Ф,-) - групповая схема Шевалле-Демазюра с приведенной неприводимой системой корней Ф, a E=E(Ф,-) - ее элементарная подгруппа. Пусть D - подфунктор в G (не обязательно подсхема). Обозначим через N(R,I) нормализатор группы D(R)E(R,I) в G(R) и положим N(R)=N(R,0).Сформулированы условия на функтор D достаточные для выполнения следующей ``теоремы сэндвич-классификации''.Теорема 3.1. Для любой подгруппы H\le G(R), содержащей группу D(R) существует единственный идеал I кольца R такой, что D(R)E(R,I)\le H\le N(R,I).Основные свойства состоят в следующем (кроме них есть еще несколько технических условий, которые легко проверяются).-- Вычисление уровня. Если корневой унипотентный элемент x_\alpha(r) не содержится в N(R), то вместе с D(R) он порождает группу D(R)E(R,rR).-- Свойства нормализатора. Отображение R\mapsto N(R) задает замкнутую подсхему в G. Если D(R)^h\le N(R), то h\in N(R).-- Извлечение унипотентов. Пусть A - аффинная алгебра схемы G, а g\in G(A) - ее общий элемент. В подгруппе, порожденной D(A) и g, существует элементарный корневой унипотент x_\alpha(\xi), причем для любого поля F существует элемент y\in G(F) такой, что x_\alpha(y(\xi)) не принадлежит N(F) (элементы группы точек G(F) отождествляются с гомоморфизмами A\to F).Результат опубликован в работе Лубкова и Степанова. В случае G=GL_N, D(R)=\wedge^m E_n(R), где N=C_n^m и либо m=2, либо n\ge 3m, Лубковым в его совместной работе с И.Некрасовым``Надгруппы внешних степеней элементарной группы. I. Уровни и нормализаторы.'' проверено свойство ``вычисление уровня''. ``Свойства нормализатора'' для этого случая проверены И.Некрасовым в той же работе вне рамок настоящего проекта. Оба свойства для D(R)=E_m(R)\otimes E_n(R) были проверены в работах Вавилова, А.Ананьевского и С.Синчука 2009-12 годов.Пусть \Delta - подсистема в приведенной неприводимой системе корней Ф, а R - коммутативное кольцо с 1. Описание подгрупп между группами Шевалле E(\Delta,R) и G(Ф,R) называется псевдостандартным, если для любой промежуточной подгруппы H существует единственная сеть \sigma идеалов кольца R типа Ф такая, что E(\sigma)\le H\le S(\sigma), где E(\sigma) - элементарная сетевая подгруппа, а S(\sigma) - стабилизатор подалгебры Ли L(\sigma). Это описание называется стандартным, если E(\sigma) нормальна в S(\sigma).Теорема 3.2. Предположим, что для любого \gamma\in Ф\setminus\Delta существуют ортогональные корни \alpha,\beta\in\Delta такие, что (\alpha,\gamma)=(\beta,\gamma)=-1. Предположим также, что R не имеет поля вычетов из двух элементов или псевдостандартное описание выполнено для тройки (Ф,\Delta,\mathbb F_2). Тогда описание подгрупп между E(\Delta,R) и G(Ф,R) псевдостандартно.Если G(\Delta,R) является подгруппой Леви параболической подгруппы в G(Ф,R) с абелевым унипотентным радикалом, то описание стандартно.Эта теорема опубликована в двух статьях Гвоздевского. Аналогичный результат опубликован Щеголевым для классичесих групп. Заметим, что до приведенных результатов Гвоздевского и Щеголева надгруппы subsystem subgroup E(\Delta,R) были классифицированы только для некоторых классических групп, а также пары F_4\subseteq E_6. 4. Субнормальное строение групп Шевалле и новые коммутационные формулыИзучение субнормальных подгрупп группы Шевалле сводится к изучению подгрупп, нормализуемых относительной элементарной группой. Для них получены следующие результаты.Теорема 4.1. Пусть R - коммутативное кольцо с 1, n>3, J - идеал в R, а H - подгруппа в GL(n,R), нормализуемая E(n,R,J) (или E(n,J)). Тогда существует идеал I в R такой, чтоE(n,R,J^mI)\le H \le C(n,R,I), где m=3, а C(n,R,I) - полный прообраз центра (соотв., группы диагональных матриц) при редукции по модулю I. При этом идеал I определен единственным образом с точностью до некоторого естественного отношения эквивалентности.Результат с m=5, содержащий основную идею доказательства опубликован, препринт Вавилова для m=3 готовится к публикации. Опубликован также основной шаг для получения аналогичного результата для групп типа E_6 и E_7 - так называемое ``обратное разложение унипотентов'' (для групп типа D_n обратное разложение унипотентов получено Раймундом Пройсером несколько лет назад).Теорема 4.2.} Пусть g принадлежит G(Ф,R), где Ф=E_6 или E_7, и пусть I - уровень элемента g, т. е. наименьший идеал при редукции по которому g попадает в центр. Тогда для любого r из I и любого корня \alpha из Ф элементарный корневой унипотент x_\alpha(r) является произведением не более, чем 8*78 (соотв. 8*133) элементов, сопряженных с g или g^{-1}.Обозначим через E(n,B,A) нормальное замыкание E(n,A) при помощи E(n,B). В следующих утверждениях R обозначает ассоциативное кольцо с 1, n>3, а A,B,С - двусторонние идеалы в R, а A\circ B=AB+BA. Следующее утверждение про образующие взаимного коммутанта относительных элементраных групп является ключом к доказательству коммутационых формул, приведенных ниже.Теорема 4.3. Взаимный коммутант [E(n,R,A),E(n,R,B)] порожден элементами вида t_{ji}(-c}t_{ij}(ab)t_{ji}(c}, t_{ji}(-c}t_{ij}(ba)t_{ji}(c} и [t_{ij}(a),t_{ji}(b)], где 1\le i\ne j\le n, a\in A, b\in B, а c\in R. Более того, образующие последнего типа достаточно брать для одной фиксированной пары индексов (i,j).Группа E(n,B,A) порождена элементами t_{ji}(-b}t_{ij}(a)t_{ji}(b}, где 1\le i\ne j\le n, a\in A, b\in B.В следующем утверждении собраны несколько коммутационных формул для нерелятивизованных относительных элементарных групп. Удивительным является тот факт, что коммутант двух не нормальных подгрупп является нормальным.Теорема 4.4.[GL(n-1,R,A),E(n,R,B)]=[E(n,R,A),E(n,R,B)]=[E(n,A),E(n,B)].[E(n,AB),E(n,C)]\le [E(n,BC),E(n,A)]\cdot[E(n,CA),E(n,B)].В частности, [E(n,A^r),E(n,A^{m-r})]\le [E(n,A^s),E(n,A^{m-s})] тогда и только тогда, когда gcd(s,m) делит gcd(r, m).Следующее утверждение обобщает мультикоммутиционную формулу для относительных элементарных групп на произвольные ассоциативные кольца. Ранее оно было известно только для почти коммутативных колец.Теорема 4.5. Пусть I_k - двусторонние идеалы в R, k=1,\dots,m. Рассмотрим многократный коммутант G=[[E(n,I_1),\dots,E(n,I_m)]] с произвольной расстановкой квадратных скобок. Тогда G=[E(n,I_1\circ\dots\circ I_s),E(n,I_{s+1}\circ\dots\circ I_m)] для некоторого s, где A\circ B=AB+BA, а расстановка скобок в правой части соответствует расстановке скобок в левой.Следующая теорема уточняет нерелятивизированную коммутационную формулу для специального класса колец. Равенство было известно, только если идеалы A и B взаимно просты. В общем же случае контрпример был построен Мэйсоном еще в 70-е годы.Теорема 4.6.Пусть A и B - идеалы дедекиндова кольца R=\mathcal O_S арифметического типа. Предположим, что мультипликативная группа кольца R бесконечна, а n>3. Тогда [GL(n,R,A),GL(n,R,B)] = [E(n,R,A),E(n,R,B)] = [E(n,A),E(n,B)] = E(n,R,AB).Теоремы 4.2-4.6 опубликованы в статьях Вавилова 2018-19 годов. Аналогичные результаты для групп Шевалле над коммутативными кольцами готовятся к публикации.5. Группы Сузуки и Ри над кольцами, исключительные эндоморфизмы.Рассмотрим категорию C алгебр над полем из 2 или 3 элементов, снабженных эндоморфизмом \tau, обладающим свойством \tau(\tau(r))=r^2 (соотв. \tau(\tau(r))=r^3).Теорема 5.1. Существует заданная явным образом разностно-алгебраическая групповая схема (функтор из категории C в категорию групп), который для любого совершенного поля равен классической группе Сузуки или одной из групп Ри.Теорема 5.2. Пусть F - поле с эндоморфизмом \tau. В группах, построенных в теореме 5.1, имеет место разложение Брюа. Эти группы являются совершенными группами с BN-парой, причем B является разрешимой подгруппой с тривиальной сердцевиной. Следовательно, эти группы просты.Пусть теперь C состоит из пар (E,F) алгебр над полем из p=2,3 элементов, таких, что F^p<E<F.Теорема 5.3. Существует представимый групповой функтор из категории C, который для любой пары полей совпадает с одной из классически определенных смешанных групп Титса типа B_n/C_n, F_4 или G_2.Используя исключительные изоморфизмы, построенные при доказательстве теоремы 5.1, Степановым были получены следующие результаты об описании подгрупп групп Шевалле типов B_n и C_n в характеристике 2. Пусть K - подалгебра в GF_2-алгебре R, Ф=B_n или C_n, а n\ge3. Пара (P,Q) аддитивных подгрупп кольца R содержащих K называется допустимой парой типа Ф, если P^2 Q\subseteq Q\subseteq QP\subseteq P, и Q является подкольцом при Ф=B_n, а P является подкольцом при Ф=C_n. Группа Стейнберга St(Ф,(P,Q)) , соответствующая допустимой паре (P,Q) - это подгруппа в St(Ф,R), порожденная всеми y_\alpha(r), где r\in P, если \alpha - короткий корень, и r\in Q, если \alpha - длинный. Элементарная подгруппа E(Ф,(P,Q)) определяется аналогично, т. е. является образом St(Ф,(P,Q)) при канонической проекции.Теорема 5.4. Для любой подгруппы H группы G(Ф,R), содержащей E(Ф,K), существует единственная допустимая пара (P,Q) типа Ф такая, что H содержит группу E(Ф,(P,Q)) и содержится в ее нормализаторе.Аналогично, для любой подгруппы H в St(C_l,R), содержащей St(C_l,K), существует единственная допустимая пара \Lambda такая, чтоH содержит группу St(C_l,(P,Q)) и содержится в ее нормализаторе.Теорема опубликована в совместной статье Степанова с Я. Нужиным.6. Функтор K_2(Ф,_)Теорема 6. Пусть Ф=D_n, n>6, а 2 обратима в кольце R. Тогда каноническое отображение K_2(Ф,R[x])\to K_2(Ф,R[x,x^{-1}]) инъективно, а K_2(Ф,R) является пулбэком диаграммы K_2(Ф,R[x])\to K_2(Ф,R[x,x^{-1}])\leftarrow K_2(Ф,R[x^{-1}]).Для Ф=C_n получены промежуточные результаты в этом направленнии, которые слишком техничны для того, чтобы формулировать из здесь. По нашим оценкам готово примерно 2/3 доказательства теоремы 6 для Ф=C_n. Две статьи Лавренова для случая Ф=C_n приняты к публикации, совместная статья Лавренова с Синчуком, в которой доказана теорема 6 подготовлена к публикации.7. Группы Каца-МудиВычислены централизаторы корневых подгрупп и определены условия, при которых они являются совершенными. Формулировка результатов слишком сложна для того, чтобы приводить ее здесь. Работа готовится к публикации и будет выложена на веб страницу проекта до конца декабря.8. PC-отображения унипотентного радикалаПусть G - группа. Биекция f:G\to G называется PC-отображением (биекцией, сохраняющей коммутирование), если f([a,b])=[f(a),f(b)] для любых a,b\in G. Обозначим через U унипотентный радикал борелевской подгруппы группы Шевалле G(Ф,F) над полем F. Отображение U\to U называется почти тождественным, если оно тождественно на всех корневых унипотентах. Следующая теорема, полученная Щеголевым, сводит изучение PC-отображений к изучению почти тождественных отображений и автоморфизмов. Автоморфизмы группы U хорошо известны, а почти тождественные отображения гипотетически центральны. Последнее утверждение доказано для Ф=A_n,C_n,G_2.Теорема 8. Пусть Ф\ne A_1,A_2,B_2, а характеристика поля F больше 3. Тогда любое PC-отображение группы U является композицией автоморфизма, центрального и почти тождественного PC-отображений.Статья с результатом для симплектического случая опубликована (линейный случай был опубликован Степановым еще до начала проекта), доказательство для остальных систем корней готовится к печати.
ЗАКЛЮЧЕНИЕПлан работ выполнен полностью, почти по всем направлениям получены ожидаемые результаты, хотя в некоторых направлениях результаты еще не окончательные. В рамках проекта опубликовано 13 работ в журналах, индексируемых в наукометрических базах данных Scopus или Web of Science, 4 работы приняты к публикации, еще 8 подготовлены к печати.