Проект направлен на разработку интеллектуальных инструментов оптимизации мультимодальных систем распределения потоков в загруженных многопродуктовых сетях. Предполагается, что перераспределение потоков в каждом узле многопродуктовой сети происходит исходя из текущих значений спроса и предложения в мультимодальной системе. Ставятся вопросы об условиях сходимости исследуемых процессов к сбалансированным состояниям, а также о связи сбалансированных состояний с распределениями потоков, получаемыми в качестве решений специальных задач условной нелинейной оптимизации (в условиях совершенной и несовершенной конкуренции). Достижение поставленной цели потребует развития специальных методов решения задач условной нелинейной оптимизации и двухуровневой оптимизации, имеющих важнейшее практическое значение для пространственного планирования и создания интеллектуальных транспортно-логистических систем.
Методов решения задач условной нелинейной оптимизации, которые могут быть одинаково эффективными для разного рода задач, не существует. В частности, крайне актуальной сегодня является разработка специальных методов и алгоритмов оптимизации, позволяющих находить решение задач распределения потоков, формулируемых в виде задач условной нелинейной оптимизации (в условиях совершенной и несовершенной конкуренции). Однако в современном мире реальные транспортные сети представляют из себя огромные системы элементов, обладающих высокой связностью и сложной природой взаимодействия/взаимовлияния. В итоге, реализация методов решения возникающих в этой связи задач условной нелинейной оптимизации приводит к крайне трудоемким вычислительным процедурам. При этом подавляющее большинство широко применяемых и активно развиваемых методов распределения потоков требует многократного запуска алгоритма поиска множества альтернатив доставки товаров от поставщика потребителю. Несмотря на то, что такие алгоритмы в итоге тратят до 90% времени именно на построение множества альтернатив доставки, данный подход всё равно хорошо зарекомендовал себя в среде транспортных инженеров, так как позволяет существенно сократить область определения решения соответствующей задачи условной нелинейной оптимизации, а также несёт содержательный и методологический смысл. Тем не менее, на реальных транспортных сетях, имеющих большие размеры, применение существующих алгоритмов требует значительного времени. Таким образом, отсутствует практическая возможность находить перераспределение транспортных нагрузок на элементы сети слишком часто. Более того, применение существующих алгоритмов перераспределения потоков в смысле тактического планирования состояния сети (прогноз комплексных изменений с текущего момента на ближайший временной период в пределах получаса) становится бессмысленным. В условиях все возрастающих нагрузок на транспортно-логистические сети со стороны субъектов экономической деятельности, актуальность развития специальных методов в данной отрасли знаний только возрастает. Вычислительные инструменты, основанные на классических подходах к решению задач условной нелинейной оптимизации, но с применением роевого интеллекта, нейросетевых подходов и методов машинного обучения для решения специальных задач распределения потоков, на развитие которых направлен данный проект, не требуют запуска дополнительных трудоемких вычислительных процедур, но при этом учитывают динамическую природу потоков и влияние узлов на их итоговое распределение. Научная значимость решения соответствующих проблем, помимо прочего, состоит в том, что методы, разрабатываемые для решения специального рода задач (в транспортной сфере), вносят вклад в развитие методов условной нелинейной и двухуровневой оптимизации в целом. При этом получаемые результаты могут быть обобщены и тем самым область их эффективного применения может быть расширена на другие сферы, требующие применения методов условной нелинейной и двухуровневой оптимизации.
Практической целью проекта является разработка эффективных инструментов оперативного и тактического управления транспортными потоками, позволяющих учитывать возможность воздействия на узлы многопродуктовой сети и получать краткосрочный прогноз динамического перераспределения потоков. Достижение указанной цели проекта требует решения следующих конкретных задач:
1. Разработать итерационные процедуры перераспределения потоков в каждом из узлов многопродуктовой сети, гарантирующие глобальную сходимость возникающих динамических процессов.
2. Разработать эффективные алгоритмы динамического распределения потоков на базе полученных процедур, позволяющие комплексно оценивать перераспределение нагрузок на элементы многопродуктовой сети в краткосрочной перспективе.
Научно-исследовательский масштаб задачи охватывает области исследования операций, условной нелинейной оптимизации, двухуровневой оптимизации, теории транспортных потоков и теории игр. Масштаб применимости результатов решения данной задачи довольно обширен: планирование инфраструктурных изменений транспортно-логистических сетей, управление транспортными потоками, планирование мест размещения дистрибьюторских центров, установка оптимальных режимов работы логистических хабов, маршрутизация перевозчиков в загруженных сетях, проектирование оптимальных транспортных сетей, пространственное планирование.
В рамках исследования, многопродуктовая сеть моделируется ориентированным графом, в котором вершины – это узлы формирования спроса и/или предложения, а ребра – доступные пути транспортировки товаров между узлами. Спрос и предложение могут быть фиксированными или эластичными. Исследуется итерационный стахостический игровой процесс с дискретным временем, где на каждом шаге происходит перераспределение потоков согласно наблюдаемым шаблонам ненулевого товарообмена между узлами многопродуктовой сети. В работах участников коллектива проекта доказано, что для соответствующего итерационного процесса с фиксированными характеристиками (коэффициентами) исходящих из любого узла сети дуг сходимость к сбалансированному распределению потоков гарантирована всегда. Таким образом, прежде всего, необходимо изучить получаемые сбалансированные распределения, установить их связь с распределениями потоков в конкурентных сетях, описать обобщенный класс возможных состояний транспортно-логистических потоков в сети в условиях совершенной и несовершенной конкуренции. В связи с этим, во-первых, потребуется выявить наборы характеристик (коэффициентов) исходящих дуг из всех узлов сети, которые задают граничные состояния описываемого класса. Во-вторых, потребуются достаточно простые с точки зрения практики способы нахождения соответствующих последовательностей, задающих такие граничные состояния. Также необходимо разработать адаптивные процедуры изменения соответствующих коэффициентов, приводящие к распределениям, находящимся внутри описываемого класса. Наконец, необходимо исследовать ситуацию, когда пропорции распределения входящих в любой узел сети потоков по имеющимся исходящим дугам задаются вероятностно и зависят от пропорций, заданных вероятностно на предыдущем шаге возникающего рандомизированного процесса. Реализация описанной исследовательской программы внесет вклад в изучение вопросов распределения потоков в многопродуктовых сетях, а также концепции ограниченной рациональности при прогнозировании спроса и предложения, посредством обобщения возникающих в данной области задач и строгого математического обоснования соответствующих базовых предпосылок. Достижимость запланированных результатов следует из накопленного задела руководителя и исполнителей проекта, их научной квалификации.
На протяжении последних ста лет активно развиваются методы пространственно-транспортного планирования [1]. Основы математического моделирования закономерностей в распределении транспортных потоков были заложены в 1912 году русским ученым, профессором Г.Д. Дубелиром [2]. Тогда ставилась задача анализа пропускной способности
магистралей и пересечений, то есть речь шла исключительно об анализе мощностей транспортной инфраструктуры.
Затем стали появляться многочисленные публикации, описывающие с помощью моделей и методов теории
вероятностей и математической статистики, возникновение и взаимодействие транспортных потоков на различных
узлах транспортной сети. Такие модели, как правило, описывали поведение транспортных потоков на локальных
элементах сети, но при переносе их на всю сеть становились чрезмерно громоздкими и оттого неприменимыми на
практике. В 1934 году Б.Д. Гриншильд [3] предложил микроскопическую модель движения транспортного потока. В
1955 году появилась первая макроскопическая модель транспортного потока, предложенная Лайтхилом и Уиземом [4,
5]. В конце 50-х выходит монография Ф. Хейта [6], в которой объединяются результаты проведенных к этому времени
исследований о движении транспортных потоков.
В статье «Пространство и стоимость», опубликованной в 1942 году, американский экономист Стивен Энке поднимает
вопрос о важности учета в моделях рыночных отношений пространственной удаленности участников рынка друг от
друга [73]. Действительно, если транспортные затраты вносят существенный вклад в стоимость продукта, то
невозможно говорить об одинаковой цене продукта для покупателя и продавца. В таком случае, речь должна идти
отдельно о цене продажи и цене покупки продукта, а также стоимости транспортировки единицы продукта от
поставщика потребителю, определяемой через разность между ценами покупки и продажи [73]. Опираясь на такое
понимание ценообразования в условиях пространственного рыночного равновесия, С. Энке предложил первую модель
пространственно равновесного распределения продуктового потока между множеством поставщиков и множеством
потребителей [72]. Несмотря на то, что предложенная модель не имела четкой математической формализации, а
представляла собой электрическую аналогию пространственно-экономических отношений, С. Энке считается одним из
основоположников задачи равновесного распределения потоков в однопродуктовой сети в условиях совершенной
конкуреции.
В 1952 году Пол Самуэльсон построил функцию чистой общественной выгоды (net social pay-off) и на ее основе
предложил первую математическую формализацию задачи равновесного распределения потоков в однопродуктовой
сети в виде задачи условной оптимизации [78]. Наконец, Т. Такаяма и Г.Г. Джадж обобщили предложенную задачу на
случай многопродуктовых потоков [80]. Сегодня построенную таким образом математическую модель принято
называть моделью пространственного равновесия Энке-Самуэльсона-Такаяма-Джаджа (ESTJ spatial equilibrium model)
или моделью пространственного рыночного равновесия, так как она учитывает связь между спросом и предложением,
а также ценами покупки, продажи и транспортировки продукта. Принципом равновесия, лежащим в основе такой
модели, является следующий: «разность между ценой покупки потребителя и ценой продажи поставщика равна
стоимости транспортировки единицы продуктового потока между поставщиком-потребителем с положительным
продуктовым потоком и меньше стоимости транспортировки единицы продукта между поставщиком-потребителем с
нулевым продуктовым потоком». Распределение продуктового потока, удовлетворяющее этому принципу, принято
называть равновесным. Исследование общих условий оптимальности для соответствующей математической задачи
приведено в работе [74].
В то же время в 1952 году Вардроп предположил, что любая транспортная система, по прошествии некоторого
времени, приходит в равновесное состояние, сформулировав два принципа равновесного распределения
транспортных потоков [7]. Согласно первому принципу: «Время передвижения по всем используемым маршрутам
одинаково для всех участников движения, и меньше времени, которое потратит любой участник движения, изменив
свой маршрут», а согласно второму принципу: «Среднее время передвижения является минимальным». Впервые
математическую формулировку данных принципов предложил Бекманн [8]. Впоследствии, предложенная
математическая модель стала классической [9], и на сегодняшний день является одним из ключевых конструктов при
моделировании распределения потоков в сетях [10, 11]. В 60-70-е годы активная исследовательская работа в области
транспортных потоков продолжалась.
Отметим, что идея Вардропа равновесного распределения потоков относится к области так называемых
поведенческих моделей (behavioral models), современный исчерпывающий обзор которых можно найти в [55].
Однако, оценка распределения потоков по дугам транспортной сети может быть сделана не только на основе
моделирования поведения участников движения при выборе ими маршрута следования. Впервые набор эвристических
правил, позволяющих получать оценки нагрузки транспортных потоков на дуги улично-дорожной сети, были
предложены Шелейховским Г.В. в 1936 году [56]. Математическое доказательство сходимости метода Шелейховского
для задачи с транспортными ограничениями было дано в 1967 году [57]. В 1970 году Вильсон выделил энтропийный подход для моделирования распределения транспортных потоков [58]. Содержательно математически
формализованный метод Шелейховского можно отнести именно к энтропийному подходу. Воплощение развиваемых в
данном направлении идей применительно к современной транспортной сети Санкт-Петербурга можно найти в [59, 60].
Отметим также, что по своей идее и содержательной постановке энтропийный подход близок идее некоторого
сбалансированного распределения транспортных потоков [65, 66].
В начале 80-х были получены принципиально новые формулировки общих задач сетевого равновесия в виде
вариационного неравенства и задачи дополнительности [61, 62, 63]. Полученные результаты позволили расширить
область применения моделей равновесного распределения транспортных потоков [64]. В современной отечественной
литературе следует отметить работы В.И. Швецова [17, 18], посвященные моделям и алгоритмам равновесного
распределения транспортных потоков крупного города, а также В.И. Зоркальцева и М.А.Киселевой [19] и других
авторов [20, 21, 22]. С разработками российских ученых, базирующихся на модели Лайтхилла-Уизема [5], можно
ознакомиться в следующих публикациях [10, 23, 24, 25, 26].
Следует также отметить, что в научной литературе встречаются публикации, посвященные проблемам распределения
потоков в сетях при наличии групп участников и вопросам применения теоретико-игрового подхода для решения
возникающих здесь задач [27, 28, 29-32, 33]. Altman E., Basar T., А.Ю. Гарнаев, В.Л., В.В. Мазалов, А.А. Васин, Л.А.
Петросян, В.В. Захаров, А.Ю. Крылатов и др. предлагают в своих работах методы и теоретико-игровые модели,
использование и развитие которых для рассматриваемого в проекте класса задач представляется возможным.
Обозначенные в проекте ожидаемые результаты, касающиеся существования равновесия по Нэшу, полученное в более
ранних исследованиях аналитическое представление ситуаций равновесия и сравнение равновесия в моделях
многоагентных транспортных сетей вносят важный вклад в разработку методов исследования процессов
распределения потоков на транспортных сетях. Эти ожидания опираются на уже полученные результаты членами
коллектива проекта для более частных случаев сетей [27,28,33,52,53].
Отдельно подчеркнем, что одна из основных проблем применения на практике математических моделей
распределения потоков в многопродуктовых сетях и решения соответствующих задач управления, прежде всего,
заключается в неточности или неполноте информации о существующих шаблонах спроса и предложения. Все
существующие модели рассматривают величины (или функции) спроса и предложения как заданные, а найденные
решения, как правило, чувствительны к их изменениям. Поэтому в задачах оптимизации и управления изменение
величины потока часто приводит к необходимости заново решать и без того достаточно трудоемкую математическую
задачу. Более того, получаемые решения могут быть различны при разных значениях потока, что существенно
затрудняет их использование на практике. Другими словами, для повышения эффективности математического
моделирования необходимо иметь возможность получать наиболее точную и полную информацию о спросе и
предложении. При этом, следует отметить, что расчет спроса и предложения сам по себе является задачей, требующей
отдельного, подчас очень трудоемкого, алгоритма. Данная проблемная область не оставалась без внимания
исследователей на протяжении последних 40 лет [44, 45, 40]. Существует огромное множество методов расчета спроса
и предложения, среди которых одним из наиболее эффективных, на наш взгляд, является трекинг потоков [44] или
сканирование, основанное на применении RFID-технологий. В самом деле, информация о потоках, получаемая с
помощью подобных датчиков, установленных в выбранных для целей исследования узлах транспортно-логистической
сети, является наиболее информативной и позволяет определить траектории движения многопродуктовых потоков.
Таким образом, сегодня задача распределения многопродуктовых потоков не теряет своей актуальности [82]. В
частности, в научной литературе ведется дискуссия о границах ее применимости при моделировании реальных
рыночных процессов [67, 69]. Многие исследователи концентрируются на изучении моделей рассредоточенных
рынков в условиях несовершенной конкуренции [68, 81], другие изучают процессы интеграции удаленных друг от
друга рынков при помощи концепции пространственного равновесия [71, 76]. С одной стороны, исследователи
указывают на нетождественность между моделями пространственного равновесия, в основе которых лежит принцип
конкурентного рыночного равновесия, и реальной интеграцией рынков, проявленной в наличии ненулевого
продуктового потока между удаленными друг от друга поставщиками-потребителями [70, 77]. С другой стороны,
модели пространственного равновесия демонстрируют высокую объяснительную силу и серьезный методологический
потенциал при анализе продуктовых потоков и вопросов ценообразования на различных рынках [75, 79].
В рамках проекта будут исследованы итерационные стохастические игровые процессы в многопродуктовой сети с дискретным временем. Таким образом, с необходимостью будут использованы специальные методы и подходы исследования операций, теорий управления, вероятностей и математической статистики, теории графов, математической теории игр и теории транспортных потоков, элементы условной нелинейной оптимизации, имитационное моделирование. В частности, продуктовые потоки будут моделироваться переменными, отражающими нагрузку на каждую дугу сети, и являться связанными посредством балансовых соотношений, которые определяются топологией сети. В каждом узле сети в каждый дискретный момент времени перераспределение потоков будет осуществляться на основе бескоалиционной игры с учетом входящих потоков. Для этого будут использованы специальные подходы к поиску равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях в возникающих конкурентных ситуациях. При этом функции выигрыша входящих в каждый узел потоков будут зависеть от заданных в каждый дискретный момент времени характеристик (коэффициентов) выходящих из соответствующего узла дуг. В свою очередь, характеристики (коэффициенты) выходящих дуг из каждого узла графа в любой момент времени будут зависеть от характеристик (коэффициентов) выходящих из соответствующего узла дуг в предыдущий момент времени. При помощи общих подходов к доказательству сходимости численных методов и средств математического анализа будут найдены условия сходимости итерационного процесса распределения потоков с заданными таким образом динамическими изменениями характеристик выходящих из каждого узла сети дуг. Будет установлена связь между получаемыми в таком случае итоговыми распределениями потоков и распределениями потоков, представляющими собой решения специальных задач условной нелинейной оптимизации. Более того, при решении задачи выявления узлов формирования спроса и/или предложения по заданным значениям сетевых нагрузок, формулируемой в виде задачи двухуровневой оптимизации, будут использоваться, в том числе, методы машинного обучения и нейросетевые подходы к решению задачи нечеткой классификации сетевых нагрузок. Применение этих подходов обусловлено невозможностью получения направления оптимизации целевого функционала верхнего уровня в связи с тем, что реакция нижнего уровня на изменения управляющих параметров верхнего уровня, в общем случае, не может быть функционально описана (даже в виде отображения с заданными свойствами). В связи с этим будут разработаны специальные методы двухуровневой оптимизации с применением нейросетевых подходов, методов машинного обучения и специальных разработанных процедур эвристической оптимизации для эффективного перераспределения продуктовых потоков (задача нижнего уровня) при изменении значений спроса/предложения в узлах сети. В результате будут разработаны интеллектуальные инструменты оптимизации мультимодальных систем распределения потоков в загруженных многопродуктовых сетях, основанные на передовых методах и подходах современной прикладной и вычислительной математики.
Общий план работ на весь срок выполнения проекта
2022 - 2023 гг.
1. Исследовать задачу сбалансированного распределения потоков в многопродуктовой сети.
2. Разработать итерационные алгоритмы сбалансированного распределения потоков в многопродуктовых сетях.
3. Исследовать взаимосвязь между сбалансированным состоянием сети и шаблонами распределения потоков при текущих соотношениях спроса и предложения.
4. Опубликовать полученные результаты в 2 статьях в научных изданиях. Представить результаты на всероссийских и международных научных конференциях с публикацией не менее 1 тезисов докладов.
2023 - 2024 гг.
1. Исследовать задачу сбалансированного стохастического распределения потоков по дугам многопродуктовой сети.
2. Разработать итерационные алгоритмы сбалансированного стохастического распределения потоков в
многопродуктовых сетях.
3. Исследовать взаимосвязь между стохастически сбалансированными состояниями сети и шаблонами распределения потоков при текущих соотношениях спроса и предложения, определяемых стохастически.
4. Опубликовать полученные результаты в 3 статьях в научных изданиях. Представить результаты на всероссийских и
международных научных конференциях с публикацией не менее 1 тезисов докладов.
2024 - 2025 гг.
1. Разработка эффективных алгоритмов, позволяющих оперативно реализовывать краткосрочные прогнозы изменения состояния загруженности элементов реальных многопродуктовых сетей (I).
2. Разработка эффективных алгоритмов, позволяющих оперативно реализовывать краткосрочные прогнозы изменения состояния загруженности элементов реальных многопродуктовых сетей (II).
3. Опубликовать полученные результаты в 4 статьях в научных изданиях. Представить результаты на всероссийских и международных научных конференциях с публикацией не менее 1 тезисов докладов. Получение не менее 1 свидетельства на регистрацию программы для ЭВМ.
Научный задел научного коллектива можно выразить в виде следующего списка полученных ранее фундаментальных
результатов:
1) аналитическое представление конкурентного равновесия и системного оптимума для частных видов сетей;
2) необходимые и достаточные условия существования и аналитическое выражение равновесия по Нэшу в задаче
распределения транспортных потоков при наличии множества конкурирующих групп участников движения;
3) математическая двухуровневая модель распределения транспортных потоков и метод выработки решений по
реконструкции транспортной сети произвольной топологии, основанный на аналитическом представлении
распределений потоков в многоагентной транспортной системе;
4) методика и алгоритм восстановления спроса, основанный на информации систем трекинга;
5) теоремы об эквивалентности задачи распределения потоков и задачи поиска неподвижной точки с найденным в
явном виде оператором;
6) теоремы о сходимости разработанных алгоритмов нахождения равновесного распределения транспортных потоков
по маршрутам и дугам сети;
7) теоремы о взаимосвязи системного оптимума, конкурентного равновесия и равновесия по Нэшу в задачах
распределения транспортных потоков (индивидуальная и групповая конкуренция на транспортной сети);
8) теоремы о существовании решения в задачах поиска оптимальной топологии подсети для специальных видов
транспорта, метод нахождения;
9) теоремы об эквивалентности задачи оценки спроса на перемещение и двойственной задачи распределения
транспортных потоков, алгоритмы;
10) теоремы существования равновесия по Нэшу в моделях конкуренции на электросетях, метод нахождения;
11) теорема о снижении транспортных затрат за счёт нахождения независимого маршрута;
12) класс задач распределения потоков в транспортной сети с множеством подсетей, теоремы;
13) обобщенный класс прямых и обратных задач распределения потоков в сети;
14) алгоритм генерации множества допустимых маршрутов для транспортировки на загруженной сети;
15) алгоритм построения оптимальной топологии транзитной подсети внутри заданной улично-дорожной сети;
16) новые подходы к минимизации выбросов загрязняющих веществ транспортными потоками;
17) условия существования и единственности решения задачи обратной к задаче равновесного распределения
транспортных потоков;
18) аналитическое решение задачи обратной к задаче равновесного распределения потоков для частных видов сетей;
19) аналитическое представление равновесного времени движения для сетей из непересекающихся маршрутов;
20) методика и алгоритмы оценки спроса на перемещение для больших транспортных сетей на основе двухуровневых
моделей оптимизации;
21) теоремы сходимости простого итерационного процесса перераспределения потоков в узлах сети;
22) эвристический алгоритм, основанный на варьировании одного параметра, для решения, в общем, NP-трудных задач
Штейнера на графах с дополнительными ограничениями (например, задачи построения дерева минимального веса, в
котором длины путей из центральной вершины в вершины-стоки минимальны);
23) оценки среднеквадратичной близости траекторий дискретной стохастической системы, описывающей поведение
состояний агентов с нелинейной динамикой при консенсусном управлении, переменной структуре связей и помехах в
наблюдениях, к траекториям ее непрерывной детерминированной модели при отсутствии задержек в измерениях;
24) условия достижения среднеквадратичного приближенного консенсуса в мультиагентной системе с помехами и
переменной структурой связей в сети при отсутствии и при наличии задержек в измерениях;
25) оценки среднеквадратичной близости траекторий дискретной стохастической системы, описывающей поведение
состояний агентов с нелинейной динамикой при консенсусном управлении, переменной структуре связей, помехах и
задержках в наблюдениях, к траекториям ее дискретной усредненной модели;
26) условия достижения оптимального уровня загрузки узлов (балансировки загрузки) децентрализованной сети с
переменной структурой связей, случайными помехами и задержками в измерениях, полученные при
переформулировании задачи о балансировке загрузки в терминах достижения консенсуса;
27) рандомизированный алгоритм локального голосования для достижения дифференцированного консенсуса в
вычислительной сети с заданиями нескольких приоритетов в условиях случайного изменения связей, при помехах и
задержках в каналах связи;
28) оценка оптимального размера шага алгоритма локального голосования для системы в условиях случайного
изменения связей, помех и задержек в каналах связи;
29) рандомизированный алгоритм локального голосования для задачи достижения дифференцированного консенсуса в системе с заданиями нескольких приоритетов при наличии стоимостных ограничений на использование связей для
передачи информации внутри системы.
На основе полученных фундаментальных результатов:
1) разработан пакет прикладных программ для оценки равновесной загрузки сети транспортными потоками;
2) разработан пакет прикладных программ для моделирования процесса перераспределения заданий разных
приоритетов между агентами в мультиагентной сети в условиях случайного изменения связей, помех и задержек в
каналах связи;
3) на ряд программ получены свидетельства о регистрации.
Описанные результаты находят своё отражение в научных статьях, опубликованных в соавторстве членами научного
коллектива, что подтверждает наличие опыта совместной реализации проектов.
1. Семенов В.В. Математическое моделирование динамики транспортных потоков мегаполиса. М.: ИПМ РАН, 2004. 44 с.
2. Семенов В.В. Математические методы моделирования транспортных потоков // Сборник "Новое в синергетике. Новая
реальность, новые проблемы,новое поколение". М.: Наука. 2007. С. 102–133.
3. Altman E., Kameda, H. Equilibria for Multiclass Routing in Multi-AgentNetworks // Decision and Control, 2001. Proceedings
of the 40th IEEE Conference on. Vol. 1. 2001. P. 604–609.
4. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 624 с.
5. Ligthill M.J., Whitham F.R.S. On kinetic waves II. A theory of traffic flow on crowded roads // Proc. of the Royal Society Ser.
A. 1995. Vol. 229. No 1178. P. 317–345.
6. Хейт Ф. Математическая теория транспортных потоков. М.: Мир, 1966. 288 с.
7. Wardrop J. G. Some theoretical aspects of road traffic research // Proc. Institution of Civil Engineers. 1952. Vol. 2. P. 325–
378.
8. Beckmann M. J., McGuire C. B., Winsten C. B. Studies in the Economics of Transportation. New Haven, CT: Yale University
Press, 1956. 359 p.
9. Sheffi Y. Urban transportation networks: equilibrium analysis with mathematical programming methods. Prentice-Hall, Inc,
Englewood Cliffs, N.J. 1985. 416 p.
10. Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурминский Е.А., Холодов Я.А., Шамрай Н.Б. Введение в математическое моделирование
транспортных потоков, [под ред.А. В. Гасникова, с приложениями М. Л. Бланка, Е. В. Гасниковой, А. А. Замятина и В.А.
Малышева, А. М. Райгородского]. М.: Изд-во МФТИ, 2010. 360 с.
11. Yang H., Huang H.-J. The multi-class, multi-criteria traffic network equilibrium and systems optimum problem //
Transportation Research Part B. 2004. Vol. 38. P. 1–15.
12. Kerner B.S. Experimental Features of SelfЏOrganization in Traffic Flow // Phys. Rev. Let. 1998. Vol. 81. No 20. P. 3797–
3800.
13. Kerner B.S., Rehborn H. Experimental features and characteristics of traffic jams // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53. No 2. P.
1297–1300.
14. Kerner B.S., Rehborn H. Experimental properties of complexity in traffic flow // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53. No 5. P. 4275–
4278.
15. Kerner B.S., Rehborn H. Experimental Properties of Phase Transitions in Traffic Flow // Phys. Rev. Let. 1997. Vol. 79, No20.
P. 4030–4033.
16. Kerner B.S. Introduction to modern traffic flow theory and control: the long road to three-phase traffic theory. Berlin:
Springer. 2009. 265 p.
17. Швецов В. И. Математическое моделирование транспортных потоков // Автомат. и телемех. 2003. No 11. С. 3–46.
18. Швецов В. И. Алгоритмы распределения транспортных потоков // Автомат. и телемех. 2009. No10. С. 148–157.
19. Зоркальцев В.И., Киселева М.А. Равновесие Нэша в транспортной модели с квадратичными затратами // Дискретн.
анализ и исслед. опер. 2008. Т. 15. No3. С. 31–42.
20. Нурминский Е.А., Шамрай Н.Б. Прогнозирование моделирования трафика Владивостока. // Труды МФТИ. 2010. Т. 2.
No4. С. 119–129.
21. Семенов В.В. Смена парадигмы в теории транспортных потоков. М.: ИПМ РАН, 2006. 32 с.
22. Смирнов Н.Н., Киселёв А.Б., Никитин В.Ф., Юмашев М.В. Математическое моделирование автомобильных потоков на
магистралях // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. 2000. No 4. С. 39–44.
23. Дорогуш Е. Г. Вычисление пропускной способности и уровня загруженности кольцевой автомагистрали // Вестник
Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2013. No 3. С. 16–24.
24. Морозов И.И., Гасников А.В., Тарасов В.Н., Холодов Я.А., Холодов А.С. Численное исследование транспортных
потоков на основе гидродинамических моделей // Компьютерные исследования и моделирование. 2011. Т.3. No4. С.
389–412.
25. Морозов И.И., Холодов Я.А. Моделирование динамики транспортных потоков // Труды 51-й научной конференции
МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». 2008. Т. 2. С. 128–129.
26. Холодов Я.А., Холодов А.С., Гасников А.В., Морозов И.И., Тарасов В.Н. Моделирование транспортных потоков –
актуальные проблемы и перспективы их решения // Труды МФТИ. 2010. Т. 2. No 4. С. 152–162.
27. Захаров В.В., Крылатов А.Ю. Конкурентная маршрутизация транспортных потоков поставщиками услуг навигации //
Управление большими системами. 2014. Вып. 49. С. 129–147.
28. Захаров В. В., Крылатов А. Ю. Системное равновесие транспортных потоков в мегаполисе и стратегии навигаторов:
теоретико-игровой подход // МТИП. 2012. Т. 4. Вып. 4. С. 23–44.
29. Altman E., Basar T., Jimenez T., Shimkin N. Competitive routing in networks with polynomial cost // IEEE Transactions on
Automatic Control. 2002. Vol. 47. No 1. P. 92–96.
30. Altman E., Combes R., Altman Z., Sorin S. Routing games in the many players regime // Proceedings of the 5th International ICST Conference on Performance Evaluation Methodologies and Tools. 2011. P. 525–527.
31. Altman E., Wynter L. Eguilibrium, games, and pricing in transportation and telecommunication networks // Networks and
Spatial Economics. 2004. Vol. 4. P. 7–21.
32. Altman E., Kameda, H. Equilibria for Multiclass Routing in Multi-Agent Networks // Decision and Control, 2001.
Proceedings of the 40th IEEE Conference on. Vol. 1. 2001. P. 604–609.
33. Zakharov V., Krylatov A., Ivanov D. Equilibrium traffic flow assignment in case of two navigation providers // IFIP Advances
in Information and Communication Technology, 2013. Vol. 408, Collaborative Systems for Reindustralization, 14th IFIP WG
5.5 Working Conference on Virtual Enterprises, PRO-VE 2013, Dresden, Germany, Proceedings. P. 156–163.
34. Зырянов В.В., Кочерга В.Г., Поздняков М.Н. Современные подходы к разработке комплексных схем организации
дорожного движения // Транспорт Российской Федерации. 2011. No1(32). С. 54– 59.
35. Xie F., Levinson D. Modeling the growth of transportation networks: a comprehensive review // Netw Spat Econ. 2009.
No9. P. 291–307.
36. Farahani R.Z., Miandoabchi E., Szeto W.Y., Rashidi H. A review of urban transportation network design problems //
European Journal of Operational Research. 2013. No229. P. 281–302.
37. Magnanti T.L., Wong R.T. (1984) Network design and transportation planning: models and algorithms // Transportation
Science. Vol. 18. No 1. P. 1–55.
38. Friesz T.L. Transportation network equilibrium, design and aggregation: key developments and research opportunities //
Transportation Research Part A. 1985. Vol. 19. P. 413–427.
39. Петрович М.Л. Градостроительный подход к решению транспортных проблем городов // Транспорт Российской
Федерации. 2010. No6(31). С. 21–25.
40. Wardrop J. G. Some theoretical aspects of road traffic research // Proc. Institution of Civil Engineers. 1952. Vol. 2. P. 325–
378.
41. Boyce D. Future research on urban transportation network modeling // Regional science and Urban Economics. 2007.
No37. P. 427–481.
42. Hollander Y., Prashker J.N. The applicability of non-cooperative game theory in transport analysis // Transportation. 2006.
No 33. P. 481–496.
43. Xie F., Levinson D. Modeling the growth of transportation networks: a comprehensive review // Netw Spat Econ. 2009.
No9. P. 291–307.
44. Castillo E., Menendez J.M., Jimenez P. Trip matrix and path flow reconstruction and estimation based on plate scanning
and link observations // Transport Research Part B. 2008. Vol. 42. P. 455–481.
45. Simonelli F., Marzano V., Papola A., Vitiello I. A network sensor location procedure accounting for o-d matrix estimate
variability // Transportation Research Part B. 2012. Vol. 46. P. 1624–1638.
46. Dantzig, G. B. The Truck Dispatching Problem / G.B. Dantzig, R.H. Ramser // Management Science. 1959. Vol. 6. P. 80-91.
47. Lenstra, J. Complexity of vehicle routing and scheduling problems / J. Lenstra , A. Rinnooy Kan // Networks. 1981. Vol. 11.
P. 221-228.
48. Щегряев А.Н. Об оценке временной состоятельности эвристических алгоритмов для решения задачи
маршрутизации транспорта на большой сети. Вестник ЧГУ, No 2 (55), 2014, с. 21-25.
49. Cordeau, J-F. A guide to vehicle routing heuristics / J-F Cordeau, Michel Gendreau, G. Laporte, J-Y. Potvin, F. Semet//
Journal of the Operational Research Society. 2002. Vol. 53. P. 512-522.
50. Clarke, G. Scheduling of vehicles from a central depot to a number of delivery points / G. Clarke, J. Wright // Operations
Research. 1964. Vol.12. No4. P. 568-581.
51. Cordeau, J.F. A Unified Tabu Search Heuristic for Vehicle Routing Problems with Time Windows / J.F. Cordeau, G. Laporte,
A. Mercier // Journal of the Operational Research Society. 2001. Vol.
52. P. 928–936. 52. Захаров В.В., Крылатов А.Ю. Конкурентная маршрутизация транспортных потоков поставщиками
услуг навигации // УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ: СБОРНИК ТРУДОВ, 2014. — No 49. — С. 129-147.
53. Захаров В.В., Крылатов А.Ю. Современные проблемы использования интеллектуальной базы математического
моделирования при борьбе с затора- ми в крупных городах России // ТРАНСПОРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ, 2014. No
4(53).
54. Захаров В.В., Щегряев А.Н. Устойчивая кооперация в динамических задачах маршрутизации транспорта //
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИГР И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ, 2012. T. 4, No 2. С. 39-56.
55. Di X., Liu H.X. Boundedly rational route choice behavior: A review of models and methodologies // Transportation
Research Part B: Methodological. 2016. Vol. 85. P. 142–179.
56. Шелейховский Г.В. Транспортные основания композиции городского плана. Л.: Гипрогор, 1936.
57. Брегман Л.М. Доказательство сходимости метода Г.В. Шелейховского для задачи с транспортными ограничениями
// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. Т. 7, No 1. С. 147--156.
58. Wilson A.G. Entropy in urban and regional modelling. London: Pion, 1970.
59. Федоров В.П., Лосин Л.А. Методы математического моделирования для проектирования городской транспортной
системы на досетевом уровне // Транспорт РФ. 2012. No~2(39). С. 30--33.
60. Федоров В.П. Формирование вариантов развития городских транспортных сетей: разработка метода // Транспорт
РФ. 2012. No 3-4(40-41). С. 17--21.
61. Берщанский Я.М., Мееров М.В. Теория и методы решения задач дополнительности // Автомат. и телемех. 1983. No 6.
С. 5--31.
62. Dafermos S. Traffic equilibria and variational inequalities // Transportation Science. 1980. Vol. 14. P. 42–54.
63. Smith M.J. The existence, uniqueness and stability of traffic equilibria // Transportation Research Patr B. 1979. Vol. 13. P.
295–304.
64. Коннов И.В. Нелинейная оптимизация и вариационные неравенства. Казань: Казанск. ун-т, 2013. 508 с.
65. Ерзин А.И., Тахонов И.И. Равномерное распределение ресурсов в сетевой модели // Сибирский журнал
индустриальной математики. 2005. Т. 8. No 3(23). С. 58-68.
66. Ерзин А.И., Тахонов И.И. Задача поиска сбалансированного потока // Сибирский журнал индустриальной математики.
2006. Т. 9. No 4(28). С. 50-63.
67. Коваленко А.Г. О поиске состояния равновесия пространственно рассредоточенных рынков несовершенной
конкуренции однородного продукта // Экономика и математические методы. 2018. Т. 54, No 1. С. 52-68.
68. Коваленко А.Г., Хачатуров В.Р., Калимолдаев М.Н. Модели рассредоточенного рынка несовершенной конкуренции:
проблемы их развития, применение в управлении региональной экономикой // Проблемы информатики. 2012. Т. 4, No
16. С. 18-23.
69. Allevi E., Gnudi A., Konnov I.V., Oggioni G. Dynamic spatial auction market models with general cost mappings //
Networks and Spatial Economics. 2017. V. 17. P. 367-403.
70. Barrett C.B., Li J.R. Distinguishing between equilibrium and integration in spatial price analysis // American Journal of
Agricultural Economics. 2002. V. 84, N 2. P. 292-307.
71. Bramoulle Y., Kranton R. Public goods in networks // Journal of Economic Theory. 2007. V. 135. P. 478-494.
72. Enke S. Equilibrium among spatially separated markets: solution by electric analogue // Econometrica. 1951. V. 19, N 1. P.
40-47.
73. Enke S. Space and value // The Quarterly Journal of Economics. 1942. V. 56, N 4. P. 627-637.
74. Florian M., Los M. A new look at static spatial price equilibrium models // Regional Science and Urban Economics. 1982. V.
12, N 4. P. 579-597.
75. Kiselev A.O., Yurchenko N.I. Game equilibria and transition dynamics in a dyad with heterogeneous agents // Automation
and Remote Control. 2021. V. 82, N 3. P. 549-564.
76. McNew K. Spatial market integration: definition, theory, and evidence // Agricultural and Resource Economics Review.
1996. V. 25, N 1. P. 1-11.
77. Novikov D.A. Games and networks // Automation and Remote Control. 2014. V. 75, N 6. P. 1145-1154.
78. Samuelson P.A. Spatial price equilibrium and linear programming // The American Economic Review. 1952. V. 42, N 3. P.
283-303.
79. Stephens E.C., Mabaya E., von Cramon-Taubadel S., Barrett C.B. Spatial price adjustment with and without trade // Oxford
Bulletin of Economics and Statistics. 2012. V. 74, N 3. P. 453-469.
80. Takayama T., Judge G.G. Equilibrium among spatially separated markets: a reformulation // Econometrica. 1964. V. 32, N
4. P. 510-524.
81. Vasin A.A., Daylova E.A. Two-node market under imperfect competition // Automation and Remote Control. 2017. V. 78, N
9. P. 1709-1729.
82. Vasin A., Grigoryeva O., Tsyganov N. A model for optimization of transport infrastructure for some homogeneous goods
markets // Journal of Global Optimization. 2020. V. 76, N 3. P. 499-518.
