Предложена и обоснована новая теоретико-операторная схема в задаче гомогенизации периодического композита в случае высокого контраста, основанная на исследовании асимптотики отображения Дирихле-к-Нейману, отвечающего границе между компонентами композита. Данная схема применена к детальному изучению следующих моделей: во-первых, к модели периодического вдоль одной оси графа, и во-вторых, к оператору, отвечающему модели двойной пористости (double porosity model). В последней ситуации разобран не только классический случай "мягких" включений на жесткой "матрице" (в предположении, что жесткая компонента материала глобально связна), но и случай "жестких" включений на мягкой матрице, к которому неприменимы ранее разработанные в данной области методы исследования. Во всех исследованных случаях получено полное описание эффективной среды (а также оптимальные оценки для нормы разности резольвент исходного и эффективного операторов, что позволяет явно контролировать невязку эффективной модели), а также получено явное описание метаматериальных свойств (или, что в данных случаях то же самое, свойств памяти, или временной дисперсии) последней. Полученные явные формулы, выражающие временную дисперсию эффективной среды в терминах характеристик включений, позволят далее решить обратную задачу построения метаматериала с наперед заданными свойствами для всех разобранных моделей.
Начато изучение случая нескалярных дифференциальных операторов, в том числе операторов теории упругости. В данной области подробно разобрана модель высококонтрастной ``ламинированной'' среды, а также (аналогичными методами) ситуация бесконечной жесткой тонкой плиты на полупространстве сравнительно более мягкого материала.
Начат анализ модели мелкопористой среды в ситуации, когда размер пор мал по сравнению с периодом среды, а на их границах наложено краевое условие Дирихле или третьего типа, а также изучение модели композитной струны в случае высокого контраста.
В моделях гомогенизации критического контраста, введено понятие так называемых асимптотических режимов в плоскости безразмерных параметров контраст (отношение материальных параметров компонент композита) - приведенная длина волны (отношение длины волны в жесткой компоненте композита к характерному размеру последней). Асимптотика подразумевается по одновременному стремлению контраста к бесконечности и приведенной длины волны к нулю, что приводит математически к своего рода переходным режимам между классической моделью двойной пористости и так называемой высокочастотной гомогенизацией критического контраста (в первом случае спектральный параметр оказывается лежащим в компакте, а во втором растет пропорционально контрасту). Показано, что указанные переходные режимы отвечают квадрупольной, октупольной и в общем случае мультипольной моделям эффективной среды (для классической модели двойной пористости нами ранее установлен дипольный характер эффективной модели). В квадрупольном режиме данный анализ позволил полностью описать возникновение электромагнитного метаматериала с отрицательным коэффициентом преломления на базе ламинированного композита и тем самым впервые дать исчерпывающее теоретическое обоснование известным недавним экспериментальным результатам, касающимся построения практической суперлинзы на базе ламината из немагнитных диэлектриков. Проведено также численное моделирование для ситуации круглых включений в модели двойной пористости методами, восходящими к работам Мовчана и др., позволяющее отследить возникновение квадрупольной системы лакун на зонном спектре эффективной модели. Начато подробное описание этого эффекта нашим теоретико-операторным методом, позволяющим получить существенно более полную информацию (метод Мовчана в данной ситуации дает исключительно численные результаты, и лишь касательно левых краев квадрупольных лакун). Ожидается, что продолжение данного исследования позволит получить явные выражения для коэффициентов преломления, как функции от частоты. Интересно отметить, что возникновение метаматериала в моделях, основанных на ламинате, происходит по механизму, существенным образом отличному от предложенного Веселаго (т.е. одновременного обращения знаков диэлектрической и магнитной проницаемости эффективной среды). Именно, обращение направлений фазовой и групповой скоростей происходит лишь в направлении, ортогональном слоям ламината.
Осуществлено полностью конструктивное построение транзитивной формы самосопряженной дилатации произвольного максимального диссипативного оператора в терминах теории узлов (Одесская школа теории операторов), крайне удобной (в отличие от стандартного абстрактного подхода) при исследовании интегральных операторов и дифференциальных операторов в частных производных. Данная модель позволяет получать результаты не в полностью абстрактных терминах, а в терминах коэффициентов (параметров) исследуемого максимального диссипативного оператора. Получены новые результаты, касающиеся упрощенного варианта минимальной самосопряженной дилатации в специальных случаях, гораздо более общих, чем случай отделения мнимой части оператора. В частности, исследован случай максимального диссипативного оператора из теории расширений симметричных операторов, включающий ранее не изученную ситуацию разных индексов дефекта.
Проведено построение функциональной модели максимального диссипативного оператора, возникающего при изучении композитов. В соответствующем модельном представлении получены формулы для резольвент "близких" операторов, в том числе самосопряженного, отвечающего стандартному условию связи на интерфейсе раздела различных материалов. Изучены вопросы модельного и немодельного описания абсолютно непрерывных подпространств. Получена асимптотика (чисто дискретного) спектра для оператора, описывающего жесткое включение в относительно мягкой компактной матрице, возникающего в классических задачах типа ультразвуковой диагностики. Здесь же начато изучение асимптотики матрицы рассеяния. Для этой задачи установлено представление оператора, отвечающего краевой задаче на компактной части (компактная мягкая матрица, содержащая жесткое включение) в виде треугольного возмущения оператора Теплица в пространстве с воспроизводящим ядром.
На базе построенной в рамках проекта функциональной модели максимального диссипативного оператора, возникающего при изучении композитов, методами функциональной модели изучена задача рассеяния, получены явные выражения для матриц рассеяния в терминах подходящих отображений типа Дирихле-к-Нейману. Отметим здесь, что в этой части исследования мы имеем в виду консервативную постановку, в которой материалы, составляющие композит, предполагаются непоглощающими (в отличие от более общей постановки вопроса, изложенной абзацем выше). Тем не менее, метод построения теории рассеяния, приводящий к явному выражению для матрицы рассеяния, основан здесь на функциональной модели специальным образом выбранного диссипативного оператора и тем самым является существенно несамосопряженным. Данный метод был впервые предложен в 1980х годах С.Н. Набоко.
Изучено поведение первых собственных значений при склеивании двух эрмитовых квантовых графов. С использованием обобщенных отображений Дирихле-к-Нейману найдены новые необходимые и достаточные условия "монотонности" поведения первых собственных значений при произвольном склеивании графов.
Изучена сходимость дифференциальных операторов в частных производных, заданных на тонких структурах, к операторам на метрических графах в топологии нормы разности резольвент в случае оператора Лапласа. Полученные здесь результаты являются глубоким обобщением известных о спектральной сходимости (Кучмент, Зенг, Экснер, Пост). В частности, из наших результатов немедленно вытекает точная скорость спектральной сходимости и тем самым выявлена резонансная природа специального случая, обнаруженного цитированными выше авторами. Более того, прослежено ухудшение спектральной сходимости в ситуации, когда объемы "вершинных" областей тонкой структуры убывают медленно, что позволяет связать указанные выше результаты с результатами Павлова для вершинных областей фиксированного объема. Получено явное описание свойств временной и пространственной дисперсии, возникающих в тонких структурах при исключении "ребер" из наблюдаемой части системы. Далее, в данной области изучена задача, в которой области типа вершин рассматриваемой тонкой структуры находятся в резонансном случае, выявленном ранее Кучментом, Зенгом, Экснером, Постом, а также обладают некоторой внутренней структурой (например, снабжены малыми выколотыми отверстиями с краевыми условиями Дирихле или Робена). В обсуждаемом случае нами описано дополнительное резонансное условие (накладываемое на скорость уменьшения отверстия относительно скорости уменьшения всей области типа вершины, а также, в случае условия Робена, на соответствующую константу в граничном условии), при соблюдении которого условие связи в вершине у предельного дифференциального оператора на метрическом графе существенным образом изменяется (в частности, на данном пути оказывается возможным получить условие дельта-типа, по сравнению с условием дельта-штрих-типа, возникающим в ситуации отсутствия внутренней структуры).
Получены оценки "матричных элементов" (которые сами являются матрицами) матриц Грина для эрмитовых неограниченных блочных матриц Якоби в случае наличия разрыва в существенном спектре. Рассмотрены многочисленные примеры (некоторые - частично эвристически), иллюстрирующие ситуацию.
Для эрмитовых матриц Якоби с внедиагональными элементами вида $a_n = n^{a}$ и диагональными элементами вида $b_n = b n^{a} $ с $0<a<1$ получены новые формулы для спектральной плотности (т.е. производной спектральной функции) в трудном критическом случае $b = \pm 2$ в терминах пределов некоторых выражений от ортогональных полиномов. Предложенная техника позволяет также более просто получать и результаты в некритическом случае $-2 < b < 2$, ранее рассмотренном Аптекаревым и Джеронимо. Указанные результаты можно рассматривать как еще один шаг в исследовании трудной задачи исследования спектрального фазового перехода от дискретного спектра к абсолютно непрерывному и наоборот. В нашей модели такой спектральный фазовый переход имеет место при прохождении параметром $b$ через значения 2 и -2.
Найдены новые методы доказательства оценок матричных элементов резольвент эрмитовых неограниченных блочных матриц Якоби, позволяющие улучшить существующие результаты. Методы применимы независимо от наличия конечной или полубесконечной лакуны в существенном спектре оператора и дают оценку для всех невещественных значений спектрального параметра. При этом, как и в предшествующих работах по данному вопросу (Janas-Naboko (2013), Janas-Naboko-Silva (2018, 2020)), в случае лакуны в существенном спектре результат распространяется на вещественные значения спектрального параметра, лежащие в лакуне, причем для точек дискретного спектра, которые могут там быть, вместо оценки резольвенты получается оценка компонент собственного вектора. Точность оценок подтверждается специально подобранными примерами, для анализа которых доказан асимптотический результат в духе теоремы Левинсона, обобщающий один из результатов Янаса и Мошинского (2003).
Обнаружено далеко идущее обобщение и уточнение условий дискретности спектра и принадлежности идеалам компактных операторов для матриц Якоби с растущими весами. Это обобщение состоит в окончательном критерии дискретности спектра и принадлежности резольвенты сингулярной канонической системы широкому классу симметрично нормированных идеалов. Указанный класс включает в себя все идеалы, удовлетворяющие свойству Мацаева, в частности, идеалы Шаттена-фон Неймана $S^p$, $1<p$, а также более общие идеалы типа Орлича, идеалы типа Лоренца, и многие другие. Удалось также указать критерий принадлежности резольвенты произвольным идеалам типа Орлича или Лоренца. Полученные результаты могут рассматриваться как точные оценки на функцию Грина оператора.
Исследовались вероятностные представления решений задач Коши для ряда эволюционных уравнений с псевдодифференциальными операторами. Использовался способ аппроксимации точного решения задачи Коши регуляризованными математическими ожиданиями функционалов от сумм независимых случайных величин. Получены оценки скорости сходимости аппроксимации к точному решению в метрике пространств Соболева.
В рамках методов теории отражающихся процессов рассматривались одномерные марковские процессы специального вида, которые являются несимметричными скачкообразными процессами Леви, принимающими значения на конечном интервале и отражающимися от граничных точек. Исследовались свойства полугрупп операторов, порожденных указанными процессами.
В рамках исследований методами гармонического анализа вопросов существования локального времени у комплексного одномерного винеровского процесса предложена схема регуляризации возникающих в связи с данной постановкой расходящихся интегралов. Показано, что средние значения функционалов от построенных объектов имеют свойства, аналогичные свойствам средних значений функционалов от локального времени вещественного винеровского процесса. Построен аналог локального времени процесса комплексного
броуновского движения.
Получен ряд новых результатов, относящихся к исследованию локального времени случайных процессов -- получена аппроксимация локального времени винеровского процесса обобщенным локальным временем последовательности сложных пуассоновских процессов. В рамках данных исследований рассмотрено вероятностное представление оператора Шредингера на оси с дельтаобразным потенциалом и аппроксимация данного оператора последовательностью интегро-дифференциальных (первого порядка) операторов в смысле сильной сходимости полугрупп экспонент, порожденных исследуемыми операторами. Рассмотрена задача о локальном отражении винеровского процесса.
