Итоговый отчет по гранту No 6.65.37.2017«Современные проблемы теории вероятностей и математической статистики: гауссовские аппроксимации и малые уклонения для случайных процессов» 
Руководитель: Никитин Яков Юрьевич
Реферат
Цель работы – исследование ряда современных теоретических проблем математической теории вероятностей, группирующихся вокруг центральной предельной теоремы (гауссовские аппроксимации) и проблемы малых уклонений случайных процессов. Попутно исследованы новые функционалы от диффузий и скошенного броуновского движения. Исследованы также близкие проблемы, связанные с вычислением асимптотической эффективности критериев согласия и симметрии. Исследована проблема сложности аппроксимации гауссовских случайных полей. Попутно найдены новые неравенства для дифференциальных операторов типа дробных лапласианов и исследована спектральная асимптотика интегральных операторов, построенных по ковариациям исследуемых гауссовских случайных процессов и полей. Получены новые результаты мирового уровня во всех этих областях, многие из них – в соавторстве с немецкими коллегами. Результаты носят чисто теоретический фундаментальный характер, они важны для развития области исследований, но экономической эффективности в данный момент не имеют. Прогнозирую дальнейшее развитие исследований в описанных областях.
Введение 
В качестве темы исследования были выбраны разнообразные задачи теории вероятностей и математической статистики, тесно связанные с двумя фундаментальными направлениями - гауссовскими аппроксимациями стохастических объектов и малыми уклонениями случайных процессов. Первая тема изучается с конца 18 века и является практически неисчерпаемой. Важность ее для теории вероятностей и математической статистики невозможно переоценить. К ней примыкают многие вспомогательные задачи, имеющие самостоятельный интерес и использующие гауссовскую аппроксимацию или помогающие ее исследовать. Все это является традиционной темой исследования санкт-петербургской школы со времен Чебышева и Ляпунова. Малые уклонения - гораздо более новая тема, ее начали изучать в 70-х годах прошлого века в СССР, а затем и во всем мире. В Санкт-Петербурге достигнуты большие успехи в области исследования малых уклонений гауссовских процессов в гильбертовой норме. Впервые в этой задаче во многих случаях были получены окончательные результаты. В проекте полученные результаты расширяются, обобщаются, а также решается множество тесно связанных задач, имеющих самостоятельный интерес. 
Основная часть отчета
Основное содержание работы - асимптотические задачи теории вероятностей и математической статистики, в частности, теория малых уклонений, гауссовская аппроксимация сверток, распределение функционалов от диффузий, асимптотический анализ новых статистических критериев и вычисление их эффективности.
       А.И.Назаровым изучались (совместно с М.А. Лифшицем) логарифмические асимптотики малых уклонений стационарных гауссовских процессов на окружности и на оси в $L_2$-норме с весом. Сами процессы имеют дискретный или непрерывный полиномиальный спектр. С помощью результатов М.С. Бирмана и М.З. Соломяка об асимптотиках сингулярных чисел псевдодиф¬ференциальных операторов с асимптотически однород¬ным символом получена формула для точной константы в таких асимптотиках. При этом существенно усилены и расширены предыдущие результаты, полученные авторами совместно с S.Y. Hong. 
      Им же рассматривались (совместно с Я.Ю. Никитиным) асимптотики малых уклонений смешанных гауссовских процессов в $L_2$-норме. Получены точные асимптотики для двух классов смесей гриновских гауссовских процессов, из которых одна компонента – дробное броуновское движение, процесс, вызывающий огромный интерес во всем мире. Эти результаты были уже перенесены на некоторые другие смеси в работах интернациональной группы Chigansky, Kleptsyna, Marushkevych. А. И. Назаров также изучил (совместно с А.М. Минарским, Академический Университет РАН) спектральные задачи, порождаемые одномерными теоремами вложения высокого порядка. Такие задачи оказались неожиданно связаны с задачами о малых уклонениях гриновских гауссовских случайных процессов с исключенным трендом высокого порядка. Для некоторых значений параметров показано, что спектры различных задач, соответствующие четным собственным функциям, не могут пересекаться. Он также изучал (совместно с М.А. Лифшицем) асимптотики вероятности длительного пребывания броуновской частицы в областях типа возмущенной мультиполосы, что близко по постановке к задачам малых уклонений случайных процессов. При некоторых условиях показано, что эта вероятность убывает медленнее, чем вероятность невыхода из невозмущенной полосы. Этот эффект, впервые обнаруженный в теории случайных процессов, аналогичен возникновению захваченных волн в волноводах. 
      А.И. Назаров рассматривал (совместно с R. Musina, Universita di Udine) неравенства Харди-Соболева для дробных лапласианов Неймана в полупространстве. Операторы дробного лапласиана различного вида являются генераторами процессов типа полетов Леви и возникают в различных моделях физики и биологии. Для указанных неравенств доказана достижимость экстремалей. В соавторстве с той же R. Musina изучались весовые оценки для оператора обобщенного гармонического продолжения в полупространстве, необходимые для дальнейшего исследования свойств дробных лапласианов. Получены необходимые и достаточные условия на показатель веса для ограниченности этого оператора в $L_p$ с весом, а также достаточные условия для того, чтобы оператор был нерастягивающим в этих пространствах. Результаты являются новыми даже в классическом случае гармонического продолжения. 
      М.А. Лифшицем (совместно с F.Aurzada, Дармштадт) изучен момент первого выхода многомерного дробного броуновского движения из неограниченных областей. В частности, исследуется верхний хвост соответствующего распределения в случае, когда область имеет форму обобщенной параболы. Как и в изученном ранее случае броуновского движения (Лифшиц и Ши), решение задачи представляет собой комбинацию методов теории малых уклонений по одним координатам и теории больших уклонений по другим. Им же изучалась (совместно с F.Aurzada) ошибка дискретизации (квантования) случайного множества в булевской модели относительно метрики Хаусдорфа, а также связанные с этим вопросом задачи теории вероятностей больших уклонений в упомянутой модели. В зависимости от размерности пространства и распределения радиусов шаров, образующих случайное множество, получен ряд окончательных либо частичных результатов и сформулированы нерешенные вопросы. 
      М.А. Лифшиц также изучал (совместно с З. Каблучко и И.А. Ибрагимовым) задачу адаптивной линейной аппроксимации стационарных процессов с непрерывным или дискретным временем, обобщающая классическую задачу линейного прогнозирования. Наряду с качеством прогноза оптимизация учитывает и другие свойства аппроксимирующего процесса, например, количество кинетической энергии, затрачиваемой на аппроксимацию и гладкость процесса. Такая постановка встречается впервые в мировой литературе. Для некоторых важных классов процессов найдены оптимальные методы адаптивной аппроксимации. Задача решается в терминах спектральных характеристик аппроксимируемого процесса с использованием классических результатов и аналитических методов теории прогнозирования. Рассмотрена задача неадаптивной аппроксимации, далее предложено решение в адаптивном варианте, когда для построения аппроксимации доступна только траектория до настоящего момента времени. Для решения задачи адаптивной аппроксимации используются существенно модифицированные аналитические методы решения задач прогнозирования случайных процессов (техника пространств Харди, свойства внешних функций на комплексной полуплоскости, факторизация спектральной плотности и др). Все модификации являются оригинальными. 
      Н.В. Растегаев получил новые обобщения результатов, касающихся асимптотики спектра задачи Штурма-Лиувилля с сингулярным весом, обладающим структурой самоподобия. В предшествующих результатах по данной теме рассматривались самоподобные весовые меры обобщенного канторовского типа. Для таких мер удается в широком классе случаев получить достаточно точную информацию о поведении главного члена спектральной асимптотике для задачи Штурма-Лиувилля, в частности в главном члене асимптотики обнаруживается периодическая функция логарифма, и при определенных условиях может быть продемонстрировано ее непостоянство. Продолжалась работа над расширением класса мер, на которые можно обобщить результат о таком непостоянстве. В то же время, обобщения на более широкие классы сингулярных мер требуют и более простых спектральных оценок. Результат о непостоянстве периодической компоненты главного члена асимптотики распространен на произвольные веса, обладающие арифметическим самоподобием и ненулевыми промежуточными интервалами. Получены результаты, связывающие спектры задач на отрезке и подотрезках, содержащих носитель весовой меры. Полученные новые результаты применяются в теории малых уклонений случайных гауссовских процессов. Самоподобные меры обобщенного канторовского типа характеризуются тем, что отдельные их части совпадают с самой мерой с точностью до умножения на константу и аффинного сжатия носителя. Каждая такая мера задается набором констант и аффинных сжатий. Если рассмотреть вместо аффинных сжатий произвольные сжимающие функции, получится существенно более богатый класс сингулярных весовых мер, для которых могут быть поставлены те же вопросы об асимптотике спектра задачи Штурма-Лиувилля, что и для самоподобных мер. Мы называем набор констант и неаффинных сжатий системой конформных итерированных функций, а задаваемую ими меру самоконформной. Для самоконформных мер получены следующие результаты: - сформулировано сильное условие ограниченного искажения (strong bounded distortion property, SBDP) для систем конформных итерированных функций. Известное ранее условие ограниченного искажения (bounded distortion property) выполняется для произвольных систем конформных итерированных функций. Его более сильный вариант, SBDP, выделяет рассматриваемый нами класс систем.- показано, что если система конформных итерированных функций, задающая самоконформную сингулярную меру, удовлетворяет SBDP, то такую меру можно получить из какой-то самоподобной меры липшицевой деформацией носителя.- для сингулярных самоконформных весовых мер, системы конформных итерированных функций для которых удовлетворяют SBDP, получена точная формула для показателя степенного роста главного члена спектральной асимптотики задачи Штурма-Лиувилля. Таким образом, обобщается результат T. Fujita (Taniguchi Symp. PMMP Katata, 1985), полученный для самоподобных мер.- результат о спектральной асимптотике задачи Штурма-Лиувилля с сингулярным самоконформным весом применяется для получения оценки на малые уклонения винеровского процесса на отрезке с соответствующей самоконформной мерой. Аналогичным образом результат может быть применен для других гауссовских процессов, например, для броуновского моста, процесса Слепяна, процесса Орнштейна — Уленбека. 
    А.Ю. Зайцев занимался главным образом аппроксимацией распределений сверток посредством гауссовских, и в более общей постановке – посредством безгранично делимых распределений. В 80-е годы прошлого века Т. Арак получил несколько важных неравенств для функций концентрации сумм независимых случайных величин. Используя эти результаты, он решил одну старую проблему, сформулированную ранее А.Н. Колмогоровым. В совместной работе А.Ю. Зайцева и Ф. Гётце с помощью неравенств Арака существенно уточнено и усилено утверждение обратного принципа Тао, Ву и Нгуена как в смысле зависимости постоянных от распределений слагаемых и от вектора весов, так и за счет неасимптотического характера формулировок. Получены результаты с логарифмической погрешностью точности аппроксимации вектора весов обобщенной арифметической прогрессией. Уменьшено количество элементов вектора весов, не аппроксимируемых приближающей обобщенной арифметической прогрессией. Результаты формулируются для собственных аппроксимирующих обобщенных арифметических прогрессий. Ранее использовались несобственные прогрессии. Близкие результаты получены для пуассоновской аппроксимации. А.Ю. Зайцев занимался также улучшением многомерного варианта второй равномерной предельной теоремы Колмогорова. 
В 1956 А.Н.Колмогоров (1956) поставил задачу оценки точности безгранично делимой аппроксимации распределений сумм независимых случайных величин, распределение которых сосредоточено на коротких интервалах длины t<1/2 с точностью до малой вероятности p. Ограничение на распределения слагаемых является неасимптотическим аналогом классического условия бесконечной малости (пренебрежимости) в схеме серий независимых случайных величин. Оценка скорости приближений может быть рассматривается как количественное уточнение классической теоремы Хинчина о множестве бесконечно делимых распределений как множестве предельных законов для распределений сумм, участвующих в схеме серий. А.Ю. Зайцев (1983) доказал, что в одномерном случае точность аппроксимации в метрике Леви имеет порядок p+t log(1/t), что значительно точнее как первоначального результата А.Н. Колмогорова, так и полученных позднее результатов других авторов. В качестве приближающих использовались так называемые сопровождающие безгранично делимые распределения. Более того, как показал Т. Арак, оценка оказалась правильной по порядку. Позднее А.Ю. Зайцев (1989) показал, что анало-гичная оценка справедлива и в многомерном случае, причем вместо абсолютной константы в оценке появляется множитель c(d), зависящий только от размерности d. Многомерный аналог метрики Леви определялся так же, как расстояние Прохорова, только вместо произвольных борелевских множеств использовались параллелепипеды со сторонами, параллельными координатным осям. Основной результат состоит в том, что вместо параллелепипедов в этом результате можно взять выпуклые многогранники. Это описано в совместной работе с Ф. Гётце и Д.Н. Запорожцем. 
       А.Н. Бородиным получены результаты, позволяющие вычислять распределения интегральных функционалов от диффузий, остановленных в момент, обратный к размаху. Рассмотрен момент остановки, равный мини-муму из момента, обратного к размаху и экспоненциально распределенного момента, не зависящего от диффузии. Рассмотрен пример вычисления совместного распределения такого момента и броуновского движения с линейным сносом взятого в этот момент. Им же найдены результаты, позволяющие вычислять совместные распределения функционалов от телеграфного процесса и диффузий с переключениями. Переключения с одного набора диффузионных коэффициентов на другой наступают в случайные моменты времени, соответствующие моментам скачков процесса Пуассона, не зависящего от исходных диффузий. Вычислена совместная характеристическая функция телеграфного процесса и броуновского движения с переключающейся дисперсией. Также получены результаты, позволяющие вычислять распределения функционалов от диффузий с переключениями и скачками. В моменты скачков процесса Пуассона, не зависящего от исходных диффузий, кроме переключений диффузия имеет скачки. Процесс управляющий переключениями задается цепью Маркова. Приведены примеры вычисления явных формул, связанных с броуновским движением с линейным сносом и переключающимися коэффициентами. Изучено предельное поведение сложного пуассоновского процесса с переключениями. Переключения обеспечиваются бернуллиевскими случайными величинами. При подходящей нормировке предельным процессом является броуновское движение с переключающейся дисперсией.       А.Н. Бородиным изучено предельное поведение сложного пуассоновского процесса с переключениями и доминирующими слагаемыми. Переключения обеспечиваются бернуллиевскими случайными величинами и цепью Маркова с двумя состояниями. В моменты переключений в сложный пуассоновский процесс включаются доминирующие слагаемые, значение которых сравнимо с нормировкой. Предельное поведение обеспечивается редкостью таких слагаемых. При подходящей нормировке предельным процессом является броуновское движение с переключающейся дисперсией и скачками .         Совместно с финским профессором П. Салминеном, А.Н. Бородин осуществил исследование по теории распределений функционалов от случайных процессов. Получено описание локального времени скошенного броуновского движения как процесса по пространственной переменной. Скошенное броуновское движение отличается от обычного только локальным поведением в нуле. У него вероятности выхода в положительные и отрицательные области не равны. Доказано, что локальное время скошенного броуновского движения является марковским процессом. Вычислены его производящие операторы. Основываясь на этом описании получен результат, позволяющий вычислять распределения интегральных функционалов от локального времени скошенного броуновского движения. В качестве примера применения этого результата выведена явная формула для распределения супремума локального времени скошенного броуновского движения. 
       За период гранта А. А. Хартовым были получены следующие результаты. Совместно с М. Зани (Университет Орлеана, Франция) рассматривались аддитивные случайные поля, которые представляют собой суммы некоррелированных случайных процессов с, вообще говоря, различной ковариационной структурой и зависящих от различных параметров. Для указанных случайных полей изучалась так называемая сложность аппроксимации в среднем. Эта величина для данного случайного поля определяется как наименьшее число линейных непрерывных функционалов необходимых для его аппроксимации со средней квадратической ошибкой не превышающей заранее заданного порога. Изучение этой величины представляет как естественный теоретический, так и определенный практический интерес (например, в компьютерном моделировании случайных процессов), чему посвящены ряд недавних работ российских и зарубежных авторов. А. А. Хартовым совместно с М. Зани рассматривалась задача исследования асимптотического поведения сложности аппроксимации в среднем для аддитивных случайных полей при сколь угодно малом фиксированном пороге ошибки и возрастающей к бесконечности параметрической размерности случайного поля. В такой постановке указанная задача ранее не изучалась в работах по этой тематике. 
      По этой задаче А. А. Хартовым совместно с М. Зани сначала были получены результаты в предположении, что ковариационные операторы суммируемых случайных процессов имеют собственным вектором тождественную единицу. Более точно, получены общее интегральное представление и асимптотики сложности аппроксимации в среднем при достаточно общих предположениях на поведение собственных чисел ковариационных операторов суммируемых случайных процессов. Эти результаты, в свою очередь, применены к важному классу случайных полей с маргинальными ковариациями, являющимися ядрами Коробова. Здесь получены асимптотики сложности аппроксимации в среднем при естественных предположениях на параметры гладкости и масштабирования. Далее были получены фактически аналогичные результаты, но уже без исходного предположения о тождественной единице: для сложности аппроксимации дано общее интегральное представление, а также получены для нее точные и логарифмические асимптотики при достаточно слабых условиях на асимптотическое поведение собственных чисел ковариационных операторов суммируемых случайных процессов. Эти результаты были применены к важнейшему примеру аддитивных случайных полей, а именно к суммам винеровских процессов с возможно различными дисперсионными параметрами. Следует отметить, что ключевой идеей при получении вышеперечисленных достижений являлось представление аддитивных случайных полей в виде суммы интегралов от них и центрированных версий этих полей. Если отдельно рассмотреть это разло-жение, то можно заметить, что его части ортогональны (в пространстве суммируемых с квадратом функций), но в общем случае коррелированы. А. А. Хартовым совместно с М. Зани для однородных аддитивных случайных полей было найдено другое разложение, в котором части являются ортогональными и некоррелированными. Причем части этого разложения близки соответственно к частям первого разложения с малой относительной средней квадратической ошибкой при большой параметрической размерности поля.          А. А. Хартовым рассматривался класс так называемых квази-безгранично делимых вероятностных распределений. На самом деле, эти распределения возникали в теории разложений вероятностных законов, и сейчас имеют различные применения в теории случайных процессов и финансовой математике. Характеристические функции квази-безгранично делимых распределений имеют представление типа Леви с вещественным параметром сдвига, неотрицательной гауссовской компонентой, но с, вообще говоря, немонотонной спектральной функцией. В настоящее время появляются первые работы по аналитическим свойствам таких распределений и вопросам их слабой сходимости. Наиболее полные результаты получены для квази-безгранично делимых распределений на целых числах. В частности, существует критерий их слабой сходимости в терминах параметров их представлений типа Леви. А. А. Хартовым этот критерий был дополнен подобными критериями относительной и стохастической компактности последователь¬ностей квази-безгранично делимых распределений на целых числах с условием того, что частичные пределы должны быть из этого же класса. Такого рода результаты потенциально могут быть применены в задачах аппроксимации случайных полей большой параметрической размерности подобно тому, как применялись классические предельные теоремы с безгранично делимыми законами в работах А. А. Хартова по данной тематике. 
     Несколько статей, написанных участниками гранта в соавторстве, посвящены описанию основных результатов ленинградской – санкт-петербургской школы по теории вероятностей и математической статистике академиков РАН Ю. В. Линника и И.А. Ибрагимова за 50-летний период 1969 -- 2019 гг. Первый выпуск (Зайцев А.Ю., Зингер A.A., Лифшиц М.А., Никитин Я.Ю., Петров В.В.) был посвящен многочисленным результатам о предельном поведении сумм независимых случайных величин, и, в большой мере, гауссовской аппроксимации их распределений (центральная предельная теорема). Следующий выпуск (Ибрагимов И.А., Лифшиц М.А., Назаров А.И., Запорожец Д.Н.) посвящен предельным теоремам для зависимых случайных величин и теории случайных процессов. Значительное место уделяется теории малых уклонений случайных процессов. Третий выпуск – его авторы Бородин А.Н., Давыдов Ю.А., Невзоров В.Б. - посвящен обзору научных результатов Ленинградской--Санкт-Петербургской вероятностной школы по теории распределений функционалов от случайных процессов, стохастической геометрии и теории экстремумов, в частности, теории рекордов. Наконец, четвертая статья из этой серии обзоров (Зайцев А.Ю., Каган, А.М., профессор ун-та Мэриленд, США, и Никитин Я.Ю.) посвящена статистическим вопросам – теории характеризации распределений, асимптотическому сравнению статистических критериев и предельным теоремам для оценок плотностей.              За время работы по гранту Я.С. Голиковой ею была проведена исследовательская работа по таким темам как оценка функции концентрации для сумм независимых случайных величин, оценка близости функций распределений последовательных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Производилось численное вычисление констант в различных неравенствах по обоим вышеуказанным темам. В частности, опубликована статья. Стоит отметить, что полученный результат может иметь прикладное значение. Я.С. Голиковой также получены численные значения констант в неравенствах Арака для функций концентрации сверток вероятностных распределений. Значение констант в данных неравенствах ранее не вычислялись. Статья с полученными результатами готовится к публикации. Указанные результаты позволят в дальнейшем получить численные значения констант в неравенстве для равномерного расстояния между функциями распределений последовательных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин, которые также пока неизвестны, что, в свою очередь, сделает возможным применение данных неравенств на практике. 
      Я.Ю.Никитиным (в соавторстве с С.Абрамовичем, ун-т Стони Брук, США) была исследована знаменитая задача Чебышёва о вероятности взаимной простоты двух наугад выбранных целых чисел. Теоретико-вероятностный ее аспект сравнивался с теоретико-числовым. Выяснилось, что задача была известна, скорее всего, Эйлеру и Гауссу, а первым ее решение получил Дирихле. В решении этой задачи участвует удивительно много различных областей математики. Обсуждается возможность использования подобных знаменитых задач для обучения школьников и студентов. Я.Ю.Никитин (совместно с учениками Волковой К.Ю. и Каракуловым М.С.) рассматривал критерии согласия, связанные с отношением порядковых статистик. Выясняется, что эти критерии имеют высокую асимптотическую эффективность. При их анализе используется гауссовская аппроксимация. В работе, написанной совместно с другим учеником Г.Т. Букия, изучается поведение эффективностей одного класса критериев симметрии против обобщенных скошенных альтернатив в духе Аззалини – это очень модная и востребованная тема современной математической статистики. Я.Ю.Никитина написал первый в мире обзор новой области математической статистики – критериев согласия и симметрии, основанных на характеризации. Идея восходит к академику Ю.В. Линнику, однако длительное время такие критерии было невозможно реализовать ввиду недостаточно развитой теории. После развития теории U-статистик и теории U-эмпирических мер, построение таких критериев, их асимптотическое исследование и вычисление их эффективностей по Бахадуру и Питмену стало возможным. Развитие этих исследований, а также формулировка нерешенных задач и новых направлений исследования делается в указанной статье. 
    Я.Ю. Никитин исследовал конкретные критерии нормальности, основанные на одной характеризации нормального распределения, принадлежащей американскому статистику М. Ахсануллаху. Строятся интегральный критерий и критерий типа Колмогорова, вычисляется их локальная асимптотическая эффективность по Бахадуру, которая оказывается весьма высокой для стандартных альтернатив. В другой работе, написанной в соавторстве с тремя статистиками из Белграда, Я.Ю. Никитин строит и изучает критерии симметрии, основанные на характеризации симметрии французских математиков Донати-Мартин, Сонга и Йора. Помимо гауссовских аппроксимаций там играет важную роль вычисление спектра специальных интегральных операторов, связанных с рассматриваемой характеризацией.        И.А. Рагозин за время работы по гранту построил и исследовал (совместно с Я.Ю.Никитиным) два новых критерия для логистического закона распределения: интегральный и типа Колмогорова, основанные на характеризации двух тайванских математиков Ху Чинюана и Гво Донг Лина, где используются случайные экспоненциальные сдвиги. Вычислены логарифмические большие уклонения и бахадуровская эффективность для подходящих альтернатив. Стоит отметить, что построенные критерии подходят для проверки сложной гипотезы о принадлежности семейству логистических распределений со сдвигом. Помимо всего были изучены условия локальной асимптотической оптимальности и найдены области локальной асимптотической оптимальности, в классе функций, удовлетворяющих определенным условиям регулярности. В большинстве случаев интегральный критерий превосходит критерий типа Колмогорова по бахадуровской эффективности, что довольно естественно и представляет собой обычное явление. 
     В 2008 Лао и Майер ввели в рассмотрение такое понятие как U-max статистика. Ее можно рассматривать как предельный случай U-статистики, где вместо обычных сумм по подмножествам рассматривается максимум ядра. Такая статистика часто появляются в стохастической геометрии. Но в статьях Лао и Майера, а также в более поздних работах на эту тематику, изучение предельного поведения производилось для конкретных значений ядер. Е.Н. Симаровой были изучены новые свойства U-max статистик. Стало возможным обобщить метод изучения U-max статистик на более широкий класс ядер, а это позволило описать предельное поведение для целого класса U-max статистик. Оказывается, что для целого класса ядер, действующих на множествах точек, принадлежащих единичной окружности, у которых точки максимума выглядят особым образом, можно описать их предельное поведение около максимального значения, используя только гессиан ядра в точках максимума. Это позволяет обобщить предыдущие результаты, а также дает возможность легко изучать предельное поведение конкретных U-max статистик, что может быть полезно в стохастической геометрии. Были изучены предельные поведения для некоторых конкретных ядер, далее приведены некоторые из них. Во всех следующих примерах ядро зависит от m точек на единичной окружности. Получившиеся результаты для конкретных функций: - изучено предельное поведение U-max статистики с ядром: сумма попарных расстояний между m точками, где m=3,4,5,6, а также выяснено, от чего оно зависит в случае произвольного m;- рассмотрено предельное поведение U-max статистики с ядром: сумма y-x степеней сторон выпуклого m-угольника с вершинами на единичной окружности, в случае, когда y лежит в интервале от 0 до 1;- рассмотрено предельное поведение U-min статистики с ядром: сумма y-x степеней сторон выпуклого m-угольника с вершинами на единичной окружности, в случае, когда y отрицательно;- изучено предельное поведение U-min статистики с ядром сумма расстояний от центра окружности до вершин описанного m-угольника.
Заключение
Тема исследования весьма широка и не может быть исчерпана. Участники проекта сильно и глубоко продвинулись в решении задач по его тематике.Получены результаты мирового класса, опубликованные в ведущих мировых журналах, разработаны новые методы исследования, решены многочисленные вспомогательные задачи. Открылись новые горизонты и направления. Есть все основания считать проект чрезвычайно успешным и выполненным на исключительно высоком уровне, не уступающим мировому.