Мы планируем исследовать унипотентные группы над конечными полями из q элементов (в первую очередь, максимальные нильпотентные подгруппы U в конечных группах Шевалле); примером является группа строго верхнетреугольных матриц Un(q). Основной инструмент в теории представлений такой группы - метод орбит Кириллова, который гласит, что неприводимые комплексные характеры группы U находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами её коприсоединённого представления в пространстве U*, двойственном к алгебре Ли u группы U. Полная классификация орбит даже для Un(q) является дикой задачей, поэтому особый интерес представляет изучение специальных классов орбит, наиболее важных с точки зрения теории представлений. С другой стороны, даже если известно описание какого-то класса орбит, получение явной формулы для соответствующих характеров является отдельной трудной вычислительной задачей.
Орбиты максимальной размерности для Un(q) были описаны в самой первой работе А.А. Кириллова по методу орбит в 1962 г.; соответствующие характеры были вычислены К. Андре в явном виде лишь в 2001 году. Орбиты предмаксимальной размерности были классифицированы А.Н Пановым в 2007 г.; в том же году отвечающие им характеры были вычислены М.В. Игнатьевым. Для максимальной унипотентной подгруппы в конечной симплектической группе характеры максимальной размерности были посчитаны К. Андре и А.-М. Нето в 2008 г.; для остальных групп Шевалле вопрос остаётся открытым. За последние годы возникло большое число работ М. Айзекса, К. Андре, А.Н. Панова и др., посвящённым вычислению тех или иных характеров групп типа U, что говорит об актуальности этой тематики.
Мы планируем существенно расширить класс орбит, для которых характер допускает явное описание. А именно, мы собираемся найти формулу для характеров максимальной и предмаксимальной размерности в ортогональном случае, а также для характеров предмаксимальной размерности в симплектическом случае. Далее мы хотим обобщить полученные результаты на исключительные системы корней. Наконец, на u* в классическом случае есть естественная стратификация U-инвариантными подмногообразиями, при которой характеры максимальной и предмаксимальной размерностей отвечают орбитам максимальной размерности в нулевом и первом слоях стратификации соответственно. Мы планируем пойти дальше и вычислить в явном виде характеры, отвечающие орбитам максимальной размерности для следующих слоёв стратификации. Все эти являются абсолютно научно новыми.
Проблема вычисления длины ассоциативной алгебры восходит к работам Спенсера и Ривлини для случая алгебры 3 × 3 матриц в задачах механики сплошной среды. Вопрос оценки длины является не только глубокой и интересной открытой задачей, относящейся к чистой алгебре и остающейся открытой последние полвека, но и актуален для целого ряда прикладных вопросов. Обычно функция длины служит мерой сложности проверки тех или иных алгебраических условий. Задача вычисления длины полной матричной алгебры Mn(F) как функции размера матриц была поставлена в работе Паза и является открытой до сих пор. Известные на сегодняшний день верхние оценки длины полной матричной алгебры являются нелинейными функциями от n. Первая такая оценка была получена в 1984 году в работе Паза. Улучшение данной оценки было получено Папаченой и в недавней работе Шитова, однако эти оценки далеки от гипотетической оценки 2n − 2, предложенной Пазом. В ряде работ оценка Паза подтверждена для отдельных систем образующих. В недавних работах Гутермана и Кудрявцева положено начало изучению функции длины для неассоциативных алгебр. Ими была получена верхняя (точная) оценка длины для произвольных n-мерных неассоциативных алгебр и описана длина для некоторых неассоциативных алгебр малых размерностей (например, для алгебры октонионов).
