Реферат

Проект направлен на изучение структуры и качественных свойств решений ряда вариационных и нестационарных задач, возникающих в теории многофазных сред.

Программа исследований включает в себя задачи, моделирующие среды с нелокальным взаимодействием и среды с реакциями в тонком пограничном слое, задачу Синьорини и задачу с тонким препятствием, задачи оптимизации формы, уравнения с негладкими правыми частями, в том числе с операторами гистерезисного типа, а также недиагональные системы с условиями сопряжения на границе раздела сред.

В различных частях работы применялись свои новые оригинальные методы и приемы исследований. Так, был использован новый метод исследования регулярности обобщенных решений квазилинейных и нелинейных систем уравнений с недиагональной главной матрицей. В применяемых ранее исследованиях использовались два основных подхода в изучении регулярности: метод доказательства от противного и так называемый прямой метод (сравнение решения исследуемой задачи с решением простейшей модельной с постоянными коэффициентами). Новый метод позволяет сравнивать не решения исходной и модельной задач, а соответствующие им интегральные тождества. Этот метод является более гибким и позволяет ослабить требования гладкости на данные задачи. Отметим, что рассмотрение различных граничных условий требует модификации данного метода.

Введение

Программа исследований включает в себя широкий круг задач в области нелинейных уравнений с частными производными. Коллектив проекта давно ведет исследования по этой теме, предварительные результаты во многом определяют современное состояние этой области исследований.
Основная часть отчета о НИР
Получено точное неравенство между нормой функции и нормой ее модуля для нормы, порождаемой дробным лапласианом Дирихле с показателем больше единицы. Доказательство основано на новом приеме аппроксимации функций в пространствах Соболева-Слободецкого.

Доказана достижимость экстремума в дробных неравенствах Харди-Соболева-Мазьи и в неравенствах Харди-Соболева для дробных лапласианов Неймана в полупространстве. При изучении полусуженного (semirestricted) лапласиана Неймана важную роль играли оценки специального оператора продолжения, введенного авторами.

Получены результаты о множественности положительных решений уравнения, порождаемого дробными неравенствами Харди-Соболева и Ильина-Каффарелли-Кона-Ниренберга. Для этого, в частности, получены новые весовые оценки для оператора обобщенного гармонического продолжения в полупространстве.

Установлен эффект множественности в краевых задачах с дробными лапласианами Навье и Дирихле в кольце единичной ширины: cуществует сколь угодно много положительных решений при достаточно большом радиусе кольца. Также эффект множественности был выявлен для обобщенного уравнения Хенона в единичном шаре с операторами $p$-лапласиана, дробными лапласианами Навье и Дирихле.

Изучено влияние кривизны границы на существование решений в задаче, порожденной дробным неравенством Харди--Соболева со спектральным дробным лапласианом Дирихле: для звездной относительно нуля области доказано отсутствие решений, тогда как для ограниченной области с вогнутой в среднем в нуле границей решение существует.

Исследованы целые ограниченные решения некоторых полулинейных уравнений в $R^n$. Построены решения, обладающие различными симметриями, как положительные, так и знакопеременные.

Получены необходимые и достаточные условия ("точные константы") для выполнения обобщенных неравенств Харди для вектор-функций. Получены точные константы в теореме вложения, порождаемой магнитным оператором Шредингера на отрезке.

Изучены эллиптические вариационные неравенства, порождаемые задачей с тонкими препятствиями и задачей Синьорини. Получены оценки отклонения (в терминах энергетических норм) произвольной функции из допустимого класса от точного решения и обоснована их эффективность. В качестве произвольной функции допускается использование любого приближенного решения, вне зависимости от метода его получения. Установлен ряд апостериорных оценок для эллиптических задач с препятствием для бигармонического оператора.

В модельном одномерном случае описан процесс фазовых переходов при возрастании температуры для граничных условий Синьорини. Приведено его сравнение с аналогичным процессом для условий Дирихле. Изучен характер потери устойчивости однофазовых состояний в многомерном случае для произвольных квадратичных плотностей энергии двухфазовой среды при изменении температуры в зависимости от класса возмущения. В вариационной задаче теории двухфазовых упругих сред с односторонними граничными условиями типа Синьорини доказана сильная сходимость её решений к однофазовым состояниям при неограниченном возрастании температуры и дано достаточное условие существования температур фазовых переходов. Доказана разрешимость этой задачи при положительности коэффициента поверхностного натяжения.

Для многомерной параболической задачи с пространственно-распределенным гистерезисом доказан модифицированный вариант формулы монотонности вейссовского типа и исследован ряд свойств свободной границы. Получен ряд утверждений о монотонном характере поведения свободной границы в пространственно одномерном случае.

Исследован вопрос о корректных и некорректных постановках задач для уравнений реакции-диффузии с гистерезисными нелинейностями. Проведена дискретизация пространственной переменной, получена решетчатая динамическая система с гистерезисной нелинейностью, и произведен анализ нового механизма, приводящего к появлению пространственно-временной картины, называемой "rattling".

Получена формула типа Адамара для первой производной по области главного критического уровня некоторых функционалов энергии. Как следствие, доказано, что в шаре функция, на которой достигается главный знакопеременный уровень, не является радиальной.

Доказано, что в областях, симметричных по Штейнеру, для некоторых функционалов энергии выполняется гипотеза Пейна, то есть функция, на которой достигается главный знакопеременный критический уровень, имеет ровно две зоны знакопостоянства и разделяющая их поверхность трансверсально пересекает границу области. Получена явная формула, оценивающая сверху вторую производную по деформации главного энергетического уровня некоторых функционалов энергии.

Исследована регулярность решений различных краевых задач (в том числе и задача Вентцеля) для квазилинейных систем. Получены новые результаты по регулярности систем высокого порядка, недивергентных систем, и класса нелинейных систем. Для эллиптических систем введен в рассмотрение новый общий вид краевых условий, включающий одновременно условия Дирихле (для части компонент вектор-функции) и нелинейные краевые условия.

Доказана теорема о представлении решений в классе мер нестационарного уравнения неразрывности на произвольном метрическом пространстве с негладким полем скоростей, как потока мер, порожденного обыкновенным дифференциальным уравнением с полем скоростей в правой части, понимаемым в смысле (липшицевых) наблюдаемых.

Получен результат о представлении абсолютно непрерывных кривых в пространствах мер на произвольном метрическом пространстве, снабженных транспортной метрикой Канторовича-Вассерштейна, как решений уравнения неразрывности с некоторым векторным полем скоростей.

Получен наиболее общий результат об описании динамики продукции белков в клетке, регулируемой генно-регуляторными сетями, при помощи механизма гибридного управления системой ОДУ заданным конечным автоматом.

Получены частичные результаты о топологической структуре решений задачи максимизации жесткости пластины с одномерным связным подкреплением со штрафной функцией, пропорциональной длине подкрепления.

Получена теорема о конечности длины ограниченных кривых, самосжимаемых в произвольной норме конечномерного пространства.

Получен результат о гельдеровской регулярности линий уровня отображений стандартной группы Гейзенберга в двумерное евклидово пространство, являющихся регулярными лишь во "внутреннем" смысле группы Гейзенберга.

Получены результаты о глобальной управляемости во всем (неограниченном) пространстве автономных систем ОДУ с бездивергентной правой частью, и аналог леммы Пью для таких систем.

Доказаны теоремы существования и единственности геометрических интегралов от одномерных и двумерных аналогов "грубых дифференциальных форм", построенных на гельдеровых функциях, для конструкции, аналогичной предложенной R. Zust'om. Тем самым получен один из возможных двумерных аналогов одномерного интеграла Янга.

Найден топологический вид минимайзеров локального расстояния от заданного плоского множества, являющегося границей многоугольника. Найден явный вид минимайзеров функционала максимального расстояния для границ некоторых многоугольников. Доказан ряд геометрических свойств минимайзеров функционала максимального расстояния. Доказана конечность длины самосжимающейся кривой, лежащей в компакте, в любом нормированном конечномерном пространстве.

Заключение

По результатам исследований опубликовано 39 печатных работ и 12 препринтов, сделаны 20 докладов на конференциях.