Геометрические свойства функциональных систем в различных функциональных пространствах, различные понятия базисности и разложения по таким семействам функций (в том числе по собственным функциям различных классов операторов) представляют собой одну из фундаментальных задач анализа. В частности, одной из центральных тем гармонического анализа 20 столетия было изучение геометрических свойств экспоненциальных систем. Важнейшими достижениями в этой области стали теория Берлинга-Мальявена, работы о базисах и фреймах из экспонент (Р. Пэли и Н. Винер, Р. Даффин и А. Шеффер, М.И. Кадец, Б.С. Павлов, С.В. Хрущев и Н.К. Никольский), а также совсем недавние результаты об экспонециальных фреймах (Х. Ортега-Серда и К. Сейп), проблеме спектральной лакуны (А. Полторацкий) и решение проблемы о спектральном синтезе для экспоненциальных систем руководителем проекта А.Д. Барановым совместно с Ю.С. Беловым и А.А. Боричевым. Другие актуальные направления исследования связаны с системами экспонент на несвязном спектре (К. Сейп, А. Олевский, А. Улановский, Г. Козма и Ш. Нитцан) и с фреймами Габора в частотно временном анализе (К. Сейп, Ю. Любарский, Ч. Грохениг).
В последнее время особый интерес вызывает более общая задача исследования геометрических свойств воспроизводящих ядер в гильбертовых пространствах аналитических (в частности, целых) функций. Эта постановкам включает в себя большинство задач о геометрических свойствах экспонент, а также задачи о разложениях по системам собственных функций различных классов дифференциальных операторов (например, операторов Шредингера и двумерных канонических систем). В то же время геометрические свойства (полнота, базисность, фреймовое свойство) для систем воспроизводящих ядер тесно связаны с аналитическими свойствами соответствующих пространств аналитических функций (множества единственности, сэмплинга или интерполяции).
Пространства аналитических функций являются одной из центральных тем в современном анализе. Эта область является примером плодотворного взаимопроникновения комплексного анализа, абстрактного функционального анализа и теории операторов. Рассматриваемые пространства включают в себя пространства Харди (в круге или полуплоскости), весовые пространства Бергмана, пространства целых функций (пространства Пэли-Винера и более общие пространства де Бранжа, пространства фоковского типа) и многие другие примеры. Специальные классы линейных операторы в пространствах аналитических фунцкий играют важную роль и имеют многочисленные приложения в различных разделах математики: операторы Теплица и Ганкеля (играющие важную роль в математической физике и теории управления), операторы композиции, операторы вложения типа Карлесона или Соболева. Еще одним важным аспектом теории операторов в функциональных пространствах является тот факт, что они могут служить моделями для разнообразных абстрактных операторов. Примерами могут служить модель Надя-Фойаша для операторов сжатия в гильбертовом пространстве, модель де Бранжа-Ровняка, а также более новые модели для возмущений самосопряженных или нормальных операторов (С.Н. Набоко, Г.М. Губреев, В.В. Капустин, Д.В. Якубович и А.Д. Баранов).
Гомологические методы, привнесённые в алгебраическую геометрию Ж.-П. Серром и А. Гротендиком в середине 20го века, оказались крайне действенным аппаратом для изучения задач алгебро-геометрической природы. Однако в последние десятилетия все большее внимание уделяется более изощрённым гомотопическим методам, начало систематическому применению которых положили В. Воеводский и Ф. Морель, заложившие основы мотивной теории гомотопий и расширившие алгебро-геометрический арсенал целым рядом надлежащим образом адаптированных методов классической теории гомотопий. К примерам крайне плодотворных адаптаций классических методов можно отнести:
- слайс-фильтрацию В. Воеводского (адаптация башни Постникова из классической теории гомотопий), позволяющую единообразно и прямолинейно строить мотивные аналоги спектральных последовательностей Атьи-Хирцебруха для произвольных мотивный теорий когомологий, значительно обобщая крайне изощрённые конструкции С. Блоха, С. Лихтенбаума, Э. Фридландера, А.А. Суслина, применимые только для алгебраической K-теории;
- вычисление Ф. Морелем кольца эндоморфизмов мотивного сферического спектра и его
отождествление с кольцом Гротендика-Витта квадратичных форм (мотивный аналог утверждения о том, что гомотопический класс эндоморфизма сферы любой размерности
определяется степенью отображения), положившее начало мотивной перечислительной
геометрии, развиваемой в работах М. Левина, К. Викельгрен, М. Вендта, Е. Баер и других,
концептуально объединяющей имеющиеся результаты вещественной и комплексной
перечислительных геометрий.
В рамках настоящего проекта планируется изучить гомотопические свойства некоторых
классических алгебро-геометрических инвариантов, что позволит поместить их в контекст
мотивной теории гомотопий, а также получить новые вычисления и структурные результаты для стабильной мотивной гомотопической категории.
Последние 20 лет развития современной математики характеризуются выдающимися продвижениями в геометрии и динамике пространств модулей. Результаты в этой области внесли существенный вклад в присуждение премий Филдса (М. Концевич, А. Окуньков, А. Авила, М. Мирзахани). Некоторые из этих результатов, такие, как теорема жесткости Эскина-Мирзахани-Мохаммади (часто называемая «теоремой волшебной палочки»), совсем новые. Эта проблематика по-прежнему важна, актуальна и значима.
Феномен возникновения неустойчивости фронта при вытеснении вязких жидкостей известен с 50-х годов, в результате пятно вытеснения обладает сложной геометрической, а иногда и топологической структурой. Этот феномен часто называется «вязкие пальцы» (viscous fingers). В последние годы этот феномен приобрел дополнительную роль, в связи с приложениями в нефтегазовой отрасли, связанными с активизацией разработки трудноизвлекаемых запасов.
На данный момент создано множество различных математических моделей, в которых можно наблюдать феномен вязких пальцев, часть из них применимы к нефтегазовой отрасли, часть нет. В научной литературе хорошо изучен вопрос локального поведения вязких пальцев, при этом практически отсутствуют работы описывающие их глобальное поведение.
В данном проекте мы собираемся рассматривать математические модели, описывающие процессы вытеснения вязких жидкостей актуальные для описания процессов происходящих в нефтегазовых пластах и при использовании третичных методов увеличения нефтеотдачи. При этом концентрироваться на изучении фундаментальных феноменов, связанных с описанием глобальной структуры пятна вытеснения, создающих базу для прикладных исследований в нефтегазовой отрасли.
