В проекте ставились следующие задачи.
1) - Изучение спектральных свойств магнитного оператора Шредингера на периодических метрических графах.
- Изучение спектральных свойств оператора Лапласа на периодических метрических графах, возмущенных волноводами, т.е. графами, периодическими по одним направлениям и конечными по другим.
- Изучение спектральных свойств оператора Лапласа на периодических метрических графах, вложенных в полупространство.
2) - Исследование спектральных свойств самосопряженного оператора третьего порядка с периодическими коэффициентами на оси, ассоциированного с уравнением bad Boussinesq на окружности.
- Исследование спектральных свойств несамосопряженного оператора третьего порядка с вещественными периодическими коэффициентами на оси, ассоциированного с уравнением good Boussinesq на окружности.
- Исследование уравнений Дубровина для оператора Дирака с периодическими коэффициентами, ассоциированного с нелинейным уравнением Шредингера на окружности.
3) Построение аналога матрицы рассеяния для существенно неоднородных многомерных дефектов и изучить её свойства.
Исследование обратной задачи: как восстановить свойства дефектов по преломлённым и отражённым волнам.
Все эти задачи были успешно решены.
Полученные результаты опубликованы в 16 статьях в журналах,
индексированных в Web of Science и Scopus.
Сделано 20 докладов на международных конференциях.
1) Метрический граф представляет собой непрерывное (метрическое) пространство, состоящее из ребер (одномерных пространств), соединяющихся в вершинах графа. Оператор Лапласа действует на функциях, определенных вдоль каждого ребра графа и подчиненных специальным граничным условиям в вершинах, обеспечивающих самосопряженность оператора. Дифференциальные операторы на метрических графах, или, другими словами, квантовые графы, имеют многочисленные приложения в квантовой механике, химии, нанотехнологиях, теории волноводов и других областях естествознания.
Квантовые графы используются при описании процесса распространения волн различной природы в окрестности графоподобной структуры, например, движения электронов в органических молекулах. Также квантовые графы могут выступать в роли моделей простых механических систем, например, для описания малых поперечных колебаний сетки из струн. Специфика, связанная с периодичностью графа, делает наши результаты особенно интересными в связи с описанием электрических свойств новых материалов.
2) Особый интерес к уравнению Буссинеска продиктован нестандартным поведением солитонных решений этого уравнения. Обычно солитоны в интегрируемых системах устойчивы и при их взаимодействии происходит только сдвиг фазы. Солитоны уравнения Буссинеска могут разрушаться под действием возмущения или, наоборот, образовывать сингулярность за конечное время. При этом само уравнение Буссинеска является обычным нелинейным интегрируемым обобщением волнового уравнения и имеет вполне определенный физический смысл. Так же как и уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение Буссинеска имеет бесконечный набор инволютивных интегралов движения и к нему может быть применен метод обратной спектральной задачи.
До настоящего времени не исследованы уравнения Дубровина для оператора Дирака на окружности. Напомним, что оператор Дирака является L-оператором для нелинейного уравнения Шредингера. Уравнения Дубровина описывают движение собственных значений вспомогательной краевой задачи для оператора Дирака при сдвиге потенциала. Эти собственные значения являются существенной частью данных обратной спектральной задачи.
3) Изучение турбулентных явлений в жидких и газообразных средах играет важнейшую роль в современной науке: от астрофизических феноменов (взрывы сверхновой) до предсказания локальных погодных аномалий и глобальных изменений климата. Это явление настолько сложное, что до сих пор не существует единых надёжных методов его исследования. В нашей работе мы комбинируем новые алгебраическиеметоды и методы математической физики для анализа данных явлений.
Рассмотрена спектральная задача для несамосопряженного оператора третьего порядка с трехточечными условиями Дирихле. Найдена асимптотика спектра при высоких энергиях и получена формула следов.
Рассмотрена спектральная задача для самосопряженного оператора третьего порядка с периодическими коэффициентами на оси. Найдена асимптотика точек ветвления риманова поверхность мультипликаторов.
Рассмотрен оператор Шредингера с потенциалом, периодическим по координатной переменной и вещественно аналитическим в правой полуплоскости по спектральному параметру.
Найдены условия вещественности спектра и его асимтотика при высоких энергиях.
Рассмотрена обратная спектральная задача для оператора третьего порядка, ассоциированного с уравнением Буссинеска, в случае малых коэффициентов. Построено отображение из пространства коэффициентов в пространство спектральных данных, доказана его невырожденность в окрестности малых коэффициентов.
Рассмотрены резонансы дифференциальных операторов третьего порядка с коэффициентами с компактным носителем. Определена асимптотика числа резонансов в большом круге.
Определены отношения между собственными значениями Штурма – Лиувилля на единичном интервале, на полупрямой и прямой и получены оценки собственных значений в терминах потенциалов.
Для оператора Шредингера с вещественным интегрируемым потенциалом на периодическом метрическом графе доказано, что волновой оператор существует и является полным. Также доказано, что определитель Фредгольма определен для любой размерности периодического графа. Показано, что определитель Фредгольма аналитичен в верхней полуплоскости и соответствующая матрица рассеяния удовлетворяет условиям Бирмана-Крейна.
Доказано, что все собственные функции метрического оператора Лапласа в слое равномерно ограничены.
Рассмотрен оператор Шредингера с периодическим потенциалом на периодических дискретных графах, возмущенный положительным потенциалом, периодическим по одним направлениям и имеющим конечный носитель по другим. Получена локализация зон спектра возмущенной задачи в лакунах невозмущенного оператора в терминах собственных значений оператора Шредингера на некоторых конечных графах. Найдены достаточные условия на возмущающий потенциал, при которых спектр возмущенного оператора в лакунах невозмущенной задачи отсутствует.
Получены формулы следов для оператора Шредингера с периодическим потенциалом на периодических дискретных графах. Формулы следов использованы для получения двусторонних оценок суммарной длины спектральных зон оператора Шредингера в терминах геометрических инвариантов графа и потенциала.
Для оператора Дирака на оси с дислокацией в периодическом потенциале исследовано движение состояний (собственных значений и резонансов) в зависимости от параметра дислокации. Показано, что в каждой открытой лакуне существуют ровно два различных состояния, которые непрерывно зависят от параметра дислокации, и найдены локальные асимптотики состояний. Для состояний найден аналог уравнения Дубровина. Построены примеры операторов, которые имеют состояния разных типов в лакуне.
Решена обратная задача в терминах резонансов и нулей коэффициентов отражения для безмассового оператора Дирака на оси с потенциалом с компактным носителем. Для резонансов и нулей коэффициентов отражения найдены асимптотики считающей функции. Показано, что для резонансов существует запрещенная зона и нули коэффициентов отражения являются свободными параметрами.
Решена задача стабильности для резонансов безмассового оператора Дирака на полуоси с потенциалом с компактным носителем. Показано, что потенциал непрерывно зависит от возмущения бесконечного числа резонансов.
Изучены волновые уравнения, связанные со сложными структурами с волноводами, с локальными дефектами. Основное внимание уделено решению волновых уравнений, а также изучению спектра волновых операторов. Показано, что волновые операторы на дискретных структурах с дефектами образуют алгебры специального типа. Дана классификация таких алгебр, изучены изоморфизмы между ними.
Рассмотрена обратная спектральная задача для оператора третьего порядка, ассоциированного с уравнением Буссинеска, в случае малых коэффициентов. Получены асимпотики собственных значений трехточечной задачи Дирихле, точек ветвления римановой поверхности мультипликаторов. Построено
отображение из пространства коэффициентов в пространство спектральных данных, найдена асимптотика этого отображения, доказана его невырожденность в окрестности малых коэффициентов.
Рассмотрен оператор Штурма – Лиувилля с интегрируемым потенциалом q на единичном интервале.
Кроме того, рассмотрен оператор Шредингера с вещественным финитным потенциалом на полупрямой и прямой, где этот потенциал совпадает с q на единичном интервале и обращается в нуль вне. Определены отношения между собственными значениями таких операторов и получены оценки собственных значений в терминах потенциалов.
Рассмотрен дискретный оператор Шредингера с периодическим электрическим потенциалом на периодических графах. Получены формулы следов, устанавливающие взаимосвязи между спектральными характеристиками оператора (следами) и геометрическими параметрами графов (индексами циклов фундаментального графа, числом циклов, степенями вершин). Формулы следов использованы для получения двусторонних оценок суммарной длины
спектральных зон оператора Шредингера в терминах геометрических инвариантов графа и электрического потенциала.
Решена задача стабильности для резонансов безмассового оператора Дирака на полуоси с потенциалом с компактным носителем. Показано, что потенциал
непрерывно зависит от возмущения бесконечного числа резонансов.
Показано, что алгебры конечно-разностных операторов с ограниченными коэффициентами не зависят от размерности. Они все изоморфны универсальной гиперконечной алгебре. Помимо теоретического интереса, этот факт существенно упрощает разработку практических методов решения конечно-разностных аппроксимаций волновых уравнений. Если же мы расширим алгебру конечно-разностных операторов интегральными операторами, что отражает наличие сложных дефектов, то расширенные алгебры уже зависят от размерности. Тем не менее, алгебры конечно-разностных интегральных операторов поддаются явной классификации, что также даёт возможность разработки мощных методов решения соответсвующих волновых уравнений.
Рассмотрена обратная спектральная задача для оператора третьего порядка, ассоциированного с уравнением Буссинеска, в случае малых коэффициентов.
Рассмотрен оператор Штурма – Лиувилля с интегрируемым потенциалом q на единичном интервале, и оператор Шредингера с вещественным финитным потенциалом на полупрямой и прямой, где этот потенциал совпадает с q на единичном интервале и обращается в нуль вне интервала. Определены отношения между собственными значениями таких операторов и получены оценки собственных значений в терминах потенциалов.
Рассмотрен дискретный оператор Шредингера с периодическим электрическим потенциалом на периодических графах. Получены формулы следов и двусторонние оценки суммарной длины спектральных зон.
Решена задача стабильности для резонансов безмассового оператора Дирака на полуоси с потенциалом с компактным носителем.
Показано, что алгебры конечно-разностных операторов с ограниченными коэффициентами не зависят от размерности.
Е.Л.Коротяев, профессор Кафедры математического анализа
А.В.Баданин, доцент Кафедры высшей математики и математической физики
А.В.Баданин и Е.Л.Коротяев рассмотрели обратную спектральную задачу для оператора третьего порядка, ассоциированного с уравнением Буссинеска, в случае малых коэффициентов.
Е.Л.Коротяев рассмотрел оператор Штурма – Лиувилля с интегрируемым потенциалом q на единичном интервале, и оператор Шредингера с вещественным финитным потенциалом на полупрямой и прямой.
Е.Л.Коротяев и Н.Ю.Сабурова рассмотрели дискретный оператор Шредингера с периодическим электрическим потенциалом на периодических графах.
Е.Л.Коротяев и Д.С.Мокеев решили задачу стабильности для резонансов безмассового оператора Дирака на полуоси с потенциалом с компактным носителем.
А.А.Куценко показал, что алгебры конечно-разностных операторов с ограниченными коэффициентами не зависят от размерности.
Вклад в процентах:
Е.Л.Коротяев 40%
А.В.Баданин 25%,
Н.Ю.Сабурова 20%,
Д.С.Мокеев 9%,
А.А.Куценко 6%
| Акроним | RFBR_a_2019 - 3 |
|---|
| Статус | Завершено |
|---|
| Эффективные даты начала/конца | 2/04/21 → 28/12/21 |
|---|
