Получение новых теоретических результатов относительно оценки погрешности методов квази Монте-Карло, позволяющих улучшить порядок сходимости схем метода Монте-Карло для ряда актуальных прикладных задач.
В частности.
а) Повышение порядка сходимости и эффективная оценка погрешности методов вычисления интегралов высокой кратности. В качестве примеров интегралов 50-150-й кратности в финансовой математике.
б) Приложение рандомизованных методов квази Монте-Карло в многоуровневых алгоритмах Монте-Карло.
в) Использование рандомизованных методов квази Монте-Карло совместно с бессеточными методами решения краевых задач для уравнений в частных производных и некоторых других задач.
г) Использование рандомизованных методов квази Монте-Карло при решении экстремальных задач теории планирования эксперимента.
Моделирование случайности на современном компьютере требуется в большом числе задач, как при создании различных игр, так и при решении задач вычислительной математики. В последнем случае мы имеем универсальные и удобные алгоритмы, но их недостатком является большая трудоёмкость. Для устранения этих недостатков были предложены так называемые квазислучайные алгоритмы, которые при решении многих задач обладают меньшей трудоемкостью. Однако, если случайные алгоритмы допускают оценку погрешности в процессе вычислений, то квазислучайные лишены этого важного свойства.
В рамках проекта были исследованы погрешности квазислучайных алгоритмов вычисления многократных интегралов и решения некоторых уравнений в частных производных. Это позволяет эффективно решать многие прикладные задачи, в том числе задачи вычислительной математики.
Так называемые квазислучайные последовательности чисел использовались при решении задач нахождения глобального максимума функций многих переменных в рамках генетических алгоритмов.
Алгоритмы такого рода основаны на последовательном вычислении поколений (группы) значений функции. Каждый раз оставляем точки, где функция наибольшая, и забываем те точки, где она мала. В каждом поколении определяется область (эллипсоид), где функция превосходит некоторые значения. В рамках гранта получены результаты, позволяющие значительно уменьшить трудоёмкость алгоритма. Это очень важно, так как при решении реальных задач число переменных может превосходить десятки и даже сотни.
В рамках гранта предложены также новые методы решения систем стохастических дифференциальных уравнений, но их популярное изложение вряд ли возможно.
1-й этап: В России в последние десятилетия выполнен ряд исследованийИ.М. Соболем с соавторами и авторами настоящего проекта. Так, в рамках проекта№ 11-01-00769-а «(Квази) стохастические алгоритмы моделирования: погрешность,параллелизм, аппаратная поддержка» были разработаны методы пониженияконструктивной размерности при решении систем линейных алгебраических уравнений(С.М.Ермаков и А.И.Рукавишникова) и в рамках проекта № 14-01-00271-а«Исследование асинхронных и квази стохастических методов с приложением кнекоторым задачам оценки малых вероятностей» методы оценивания дисперсии дляодного класса случайных кубатур, точных для обобщенных функций Хаара.(С.М.Ермаков и А.А.Антонов).
