Упомянутые результаты послужили основой для данного проекта.
В результате его выполнении за первый год работы удалось показать:
1. В области вычисления интегралов [10].
1.1. Удалось качественно обосновать с иллюстрациями и численными примерамиасимптотику убывания остатка квазислучайных кубатур для интегрирования поs-мерному гиперкубу ($s \sim 10-40$).
1.2. Показано, что рандомизация квазислучайных последовательностей приводит кслучайным кубатурным формулам с одним свободным узлом. Это позволяетиспользовать полученные ранее в упомянутой области результаты и снимает рядвопросов. В частности, указана возможность сочетания рандомизованныхквазислучайных чисел и других методов понижения дисперсии — существеннойвыборки, ветвления и др. Для чисел Холтона указана система функций, для которыхточна соответствующая кубатурная формула.
1.3. Установленная связь со случайными кубатурами позволяет дать четкиерекомендации по методике оценки погрешности и построению доверительныхинтервалов в случае рандомизации.
1.4. Были проведены предварительные численные эксперименты по использованиюрандомизованных квазислучайных чисел в следующих областях:
а) Бессеточных методах решения задачи Коши для эллиптических уравнений спостоянными коэффициентами;
б) Методы деревьев и сеток для расчета американских опционов;
в) Многоуровневых методов решения стохастических дифференциальных уравнений,где для оценки дисперсии в схеме Джиллса (M.B. Giles) использовались методыоценки дисперсии, развитые авторами проекта.

2. Была предложена и строго обоснована новая модификация метода имитацииотжига, использующая квазислучайные последовательности и ориентированная наслучай, когда искомый глобальный экстремум не является единственным [1].
Эта модификация особенно перспективна в задачах планирования эксперимента и прирешении больших систем уравнений. В качестве примеров её применения был решенряд задач построения точных D-оптимальных планов для случая, когда функциярегрессии является многочленом второй степени от двух переменных (ищетсяглобальный максимум функции от 6, 8, 20 переменных, решение не являетсяединственным). По результатам экспериментов готовится к публикации статья (С.М.Ермаков, Д.Н. Семенчиков). В качестве примера ниже приведены результаты —точные D-оптимальные планы для квадратичной регрессии от двух переменных вквадрате и усеченном квадрате ( 14 переменных , 16 переменных) (примерно 20 минут работы персональногокомпьютера).
Также с помощью разработанного метода успешно решена достаточно сложнаяприкладная задача о влиянии гомотетии области планирования на число опорныхточек оптимального плана [5,6] (двумерная модель Эйена-Петерса).
Все полученные в области планирования эксперимента результаты являются новыми ипредставляют несомненный прикладной интерес в соответствующих областях.

2-й этап: В течение 2018 года исполнителями проекта были полученыследующие результаты:
1.В области квази случайного интегрирования продолжалось изучение погрешностиметода.
Как было ранее установлено, для кратности интегралов выше 8 асимптотикаостатка, определяемая неравенством Коксмы-Хлавки, достигается при числеиспытаний, не достижимом на современных компьютерах. Для рандомизованного квазиМонте-Карло на численных примерах изучалась средняя асимптотика убываниядоверительного интервала. В рамках экспериментирования были получены интересныерезультаты.
1.Удалось сравнить последовательности Холтона и Соболя и выяснить ихпреимущества и недостатки.
2.В частности, (это ожидаемый результат) рандомизация позволяет эффективновычислять интеграл с особенностью. Также был опробован ряд методов повышенияэффективности случайных квадратур, упомянутых в заявке на 2018 год. Результатыопубликованы в статье S.M.Ermakov, S.N.Leora «Remarks on randomization ofquasi-random numbers» и докладывались на конференции. Эксперименты поприменению квази Монте-Карло в одном из вариантов бессеточного метода длярешения краевых задач привели в целом к отрицательным результатам (улучшения посравнению с обычным Монте-Карло не наблюдалось). Результат обсуждался на конференции (SeventhConference on Finite Difference Methods:Theory and Applications, June 11-16,2018 Lozenetz, Bulgaria) и будет опубликован в её трудах.
В целом, можно отметить, что дляширокого класса задач РММК может быть эффективно использован, но в некоторыхслучаях затраты на его реализацию могут себя не оправдать. Более чёткоеопределение областей эффективной применимости метода предлагается осуществить в следующем году.
2.Задачи оптимизации. Было продолжено изучение предложенной в статье ЕрмаковаС.М., Семенчикова Д.Н. «О методах оптимизации в задачах планированияэксперимента» модификации метода имитации отжига. Получены новые результаты поего усовершенствованию, в частности, с использованием рандомизованных квазислучайных последовательностей. Установлены связи с другими методами поискаглобального экстремума, в особенности с методами генетического типа. Улучшенныеметоды оптимизации были применены к задачам построения точных Д-оптимальныхпланов регрессивного эксперимента и задачам решения систем уравнений. Частьрезультатов докладывалась на международной конференции в Барселоне(подготовлена статья для публикации в трудах конференции, издатель «Шпрингер»)и будет опубликована статья в январском номере журнала «Заводская лаборатория».Примером применения разработанных методов оптимизации может служить решениезадачи влияния гомотетии области планирования на число опорных точекоптимального плана при фиксированных значениях параметров регрессионной модели.В качестве модели выбрана двумерная, нелинейная по параметрам модельКобба-Дугласа, которая используется в микроэкономике. Показано, что существуетдва типа оптимальных планов: насыщенные (т.е. планы, число точек носителякоторых равно числу параметров модели) и избыточные (число точек носителябольше числа параметров модели). Оптимальные планы с минимальным числом точекнайдены в явном виде. Для нахождения планов с большим числом точек использованычисленные методы. В частности, исследован подход, предложенный руководителемпроекта, и заключающийся в модификации метода имитации отжига. Исследованияпоказывают, что данный подход позволяет находить оптимальные планы с высокой точностью.
Запланированные на 2-й год задачи гранта решены полностью. Результаты доложенына двух международных конференциях и опубликованы в 2-х журналах, входящих всистему Scopus, 2 статьи приняты к печати: Ермаков С.М., Семенчиков Д.Н. «Ометодах оптимизации в задачах планирования эксперимента» /Заводская лаборатория(январь 2019г.), Сипин А.С. «Numerical Experiments For Some Markov Models ForSolving Boundary Value Problemsв» в трудах конференции (Seventh Conference onFinite Difference Methods:Theory and Applications, June 11-16, 2018 Lozenetz,Bulgaria), 2 работы подготовлены к печати в Трудах международной конференции(9th International Workshop on Simulation. Universitat Polit ecnica deCatalunya, Barcelona, June 25 - June 29, 2018).
К сожалению, Каштанов Ю.Н. не поместил ссылку на грант в своей публикации, аРукавишникова А.И. не смогла в полной мере участвовать в работе коллектива пообъективным причинам.

3-й этап, заключительный:  Основныерезультаты, полученные в рамках гранта за последние 3 года, распределены по 3направлениям.

1. Квази стохастические методыинтегрирования. Показано, что для кратностей интеграла >=5 известноенеравенство Коксмы-Хлавки – не залог правильного порядка убывания остатка причисле испытаний, которое может быть реализовано на современных компьютерах.Указаны методы оценки реального порядка асимптотики. Проведены численныеэксперименты [4, 2019], [5, 2019].Полученные результаты подтверждены также прирешении некоторых типов краевых задач [1, 2019 ].Изучены рандомизованные(scrambled) квазислучайные последовательности Холтона. Установлена их связь сослучайными квадратурами с одним свободным узлом. Указан класс функций, длякоторых эти квадратуры точны и получено выражение их дисперсии [4,2017].Полученные результаты позволяют дать четкие рекомендации относительноприменения квазислучайных квадратур при вычислении интегралов и решении болеесложных прикладных задач.

2. Получен ряд новых результатов прирешении задач глобальной оптимизации функций многих переменных. Наряду сиспользованием квазислучайных последовательностей на каждом этапе генетическогоалгоритма предложено использовать технику оценки матрицы ковариаций пробныхвекторов. Эта техника была впервые предложена руководителем проекта в 1976году, показала надёжные результаты, но мало использовалась ввиду её большойтрудоёмкости. В работе [8, 2019] доказана лемма, позволяющая уменьшить этутрудоёмкость на порядок. Полученные результаты легли в основу системы программ,позволивших решить несколько сложных задач планирования эксперимента [1, 2019], [2, 2019].В процессе эксплуатации программы продемонстрировали высокую эффективностьразработанных алгоритмов.

3.Как известно, большие системыдифференциальных уравнений возникают при решении широкого круга прикладныхзадач. Простейший пример – задачи массового обслуживания, описываемыемарковскими цепями даже с бесконечным числом состояний. При использованииквазислучайной техники для решения подобных систем было отмечено, чтополученные алгоритмы позволяют также решать стохастические дифференциальныеуравнения. При этом в линейном случае смещение равно нулю (метод Эйлера даётсмещение порядка $\sqrt{\Delta t}$). Это интересный и важный результат ([3,2019], [7, 2019]), требующий дальнейшего развития.

Публикации:

2019г.

1.Sipin, Alexander S., Zeifman, Alexander I. Numerical Experiments for SomeMarkov Models for Solving Boundary Value Problems. 2019, 493-500.
2. Ермаков С.М., Семенчиков Д.Н. О методах оптимизации в задачах планированияэксперимента. Заводская лаборатория. Диагностика материалов, 2019, 85 - 1,72-77.
3. Ермаков, С. М., Товстик, Т. М. Метод Монте-Карло для решения систем ОДУ.Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия,2019, 6(64) - 3, 411-421.
4. Ermakov Sergej M., Leora Svetlana N. Decrease of the mean of thequasi-random integration error. Communications in StatisticsPart B: Simulation and Computation, 2019, 1-9.
5. Ermakov Sergey, Leora Svetlana. Monte Carlo Methods and the Koksma-HlawkaInequality. Mathematics, 2019, 7 - 8, 725.
6. S. M. Ermakov, T.M. Tovstik. Monte Carlo Method for Solving ODE Systems.Vestnik of the St. Petersburg University: Mathematics, 2019, 52 - 3, 272-280.
7. Ermakov Sergej M., Pogosian Anna A. On solving stochastic differentialequations. Monte Carlo Methods and Applications, 2019, 25 - 2, 155-161.
8. Ermakov Sergej M., Semenchikov Dmitriy N. Genetic global optimizationalgorithms. Communications in Statistics Part B: Simulation and Computation,2019, 1-10.
9. Grigoriev Yu. D., Melas V. B., Shpilev P. V. Excess and saturated D-optimaldesigns for the rational model. Statistical Papers, 2019.
10. Sipin Alexander. Monte Carlo Algorithms for the Parabolic Cauchy Problem.Mathematics, 2019, 7 - 2, 177.
11. Alexander S. Sipin. A RANDOMIZED QUASI-MONTE CARLO ALGORITHMS FOR SOMEBOUNDARY VALUE PROBLEMS. 2020.

2018г.

1. S.M.Ermakov, S.N.Leora.  Remarks on randomization ofquasi-random numbers. Monte Carlo Methods and Applications , 2018, 24 - 2,139-145.
2. Yu. D. Grigoriev, V. B. Melas P. V. Shpilev. Excess of locally D-optimaldesigns for Cobb–Douglas model. Statistical Papers, 2018, 59 - 4, 1425–1439,IPF 1.024.
3. Ermakov S.М.,Leora S.N.  Some properties ofquasirandom numbers and their randomization Booklet of Abstracts of the Ninth Workshop on Simulation, Barcеlona,June 25 - June 29, 2018, 19.
4. Ermakov S.М.,Semenchikov D.N . On quasirandom search . Booklet of Abstracts of the NinthWorkshop on Simulation, Barcеlona,June 25 - June 29, 2018,  21.

2017г.
1. Ермаков Сергей Михайлович, Куликов Денис Валерьевич, Леора СветланаНиколаевна. К анализу метода имитации отжига в многоэкстремальном случае.Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия,2017, 4 (62) - 2, 220-226.