Формулировка решаемой проблемы:

Изучение предельных динамических режимов (аттракторов) и устойчивости необходимо как в классических теоретических, так и в актуальных практических задачах управления, где состояние системы должно подстраиваться с помощью внутренних или внешних механизмов к требуемому режиму работы. Одни из первых таких задач были связаны с подстройкой к стационарному или периодическому режиму с некоторой частотой. Идеи фазовой автоподстройки частоты (ФАП, ФАПЧ, Phase-locked loop, PLL) были впервые использованы в радиотехнике и телевидении в начале прошлого века для подстройки частоты генератора к частоте входного сигнала. В настоящее время различные виды ФАПЧ реализуются в виде компактных электронных схем и программных алгоритмов и используются для управления механическими системами, для синтеза частот, слежения за частотой и фазой входного сигнала, демодуляции данных.

Схемы ФАПЧ получили широкое распространение в современном телекоммуникационном оборудовании, распределенных компьютерных архитектурах, глобальных навигационных спутниковых системах (ГНСС, GPS, ГЛОНАСС), гироскопии и других приложениях [1-6]. Схемы ФАПЧ являются нелинейными системами автоматического регулирования, реализующими
принцип master-slave (ведущий-ведомый) синхронизации фаз периодических сигналов. Принцип работы ФАПЧ основан на использовании фазового детектора – нелинейного элемента, позволяющего оценить разность фаз сигналов, которая затем трансформируется в управляющее воздействие на частоту подстраиваемого сигнала для достижения синхронизации колебаний. Важными инженерными характеристиками работы ФАПЧ являются диапазоны разностей частот, для которых происходит подстройка генераторов с требуемыми свойствами переходных процессов (полоса удержания, полоса
захвата, полоса быстрого захвата без проскальзывания циклов), время подстройки и помехоустойчивость.

В середине прошлого века были заложены основы математической теории фазовой синхронизации, позволившие проводить анализ и синтез ФАПЧ [7-11]. При этом основными инструментами в инженерной литературе являются использование линейных моделей ФАПЧ, применение методов линейного анализа, эмпирических правил и моделирования [12]. В последние десятилетия происходило бурное развитие новых областей применения фазовой автоподстройки и проектирование различных новых модификаций ФАПЧ, а также появились технологические возможности точной реализации предлагаемых математических моделей ФАПЧ на практике. Все это потребовало разработки более полных математических моделей ФАПЧ, уточнения и адаптации основных используемых определений и дальнейшего развития строгого математического аппарата для нелинейного анализа и синтеза ФАПЧ [13-17].
1. Перов А.И. (ред.) ГЛОНАСС. Модернизация и перспективы развития. М.: Радиотехника. 2020
2. Kaplan E.D., Hegarty C.J. Understanding GPS: Principles and Applications. 3rd ed. Boston: Artech House. 2017.
3. Желтов С.Ю., Веремеенко К.К., Ким Н.В., Козорез Д.А., Красильщиков М.Н., Себряков Г.Г., Сыпало К.И., Черноморский А.И. Современные информационные технологии в задачах навигации и наведения беспилотных маневренных летательных аппаратов. М.: Физматлит. 2009.
4. Teunissen P., Montenbruck O. (Eds.) Springer Handbook of Global Navigation Satellite Systems. Cham: Springer. 2020.
5. Best R.E. Phase-Lock Loops: Design, Simulation and Application. 6th ed. McGrow-Hill. 2007.
6. Каляев И.А., Левин И.И., Семерников Е.А., Шмойлов В.И. Реконфигурируемые мультиконвейерные вычислительные структуры. Ростов-на-Дону: ЮНЦ РАН, 2008.
7. Gardner F. Phaselock techniques. NY: John Wiley & Sons. 1966.
8. Viterbi A. Principles of coherent communications. NY: McGraw-Hill. 1966.
9. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Фазовая автоподстройка частоты. М.: Связь. 1966.
10. Lindsey W., Tausworthe R. A bibliography of the theory and application of the phase-lock principle. NASA Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology, JPL Tech. Rep. 1973.
11. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука. 1978.
12. Abramovitch D. Phase-locked loops: A control centric tutorial // Proceedings of the American Control Conference. 2002. Vol. 1. P. 1-15.
13. Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Hold-in, pull-in, and lock-in ranges of PLL circuits: rigorous mathematical definitions and limitations of classical theory // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. 2015. Vol. 62. P. 2454-2464.
14. Best R.E., Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Tutorial on dynamic analysis of the Costas loop // IFAC Annual Reviews in Control. 2016. Vol. 42. P. 27-49.
15. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Hidden attractors in dynamical models of phase-locked loop circuits: limitations of simulation in MATLAB and SPICE // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017. Vol. 51. P. 39-49.
16. Кузнецов Н.В., Лобачев М.Ю., Юлдашев М.В., Юлдашев, Р.В. О проблеме Гарднера для систем управления фазовой автоподстройкой частоты // Доклады Академии наук. 489(6). 2019. C. 541-544.
17. Кузнецов Н.В., Теория скрытых колебаний // Известия РАН. Теория и системы управления. №5. 2020 (http://apcyb.spbu.ru/wp-content/uploads/2020-rus-TISURAN-Theory-hidden-oscillations-Controlsystems.pdf)

Цели научного исследования: Цели научного исследования можно разделить на теоретические, практические и кадровые. Теоретическое научное исследование направлено на разработку новых методов теорий синхронизации, аттракторов, скрытых колебаний, устойчивости и управления.
Практическая часть исследования состоит в адаптации существующих теоретических методов к изучению практических задач синхронизации в электроэнергетике, компьютерных архитектурах, системах связи и интернета вещей. Кроме того, целью исследований будет подготовка молодых специалистов и будущих исследователей в прикладной и теоретической областях, связанных с синхронизацией и теорией управления, укрепление международного сотрудничества с исследователями-инженерами и ведущими мировыми специалистами в указанных областях.

Задачи научного исследования:

Проект направлен на развитие эффективных качественных
методов анализа устойчивости и детерминированных и хаотических колебаний нелинейных динамических систем. Исследования, проводимые в проекте, будут связаны как с такими известными фундаментальными проблемами (как гипотезы Игана (https://en.wikipedia.org/wiki/William_F._Egan#Egan's_conjecture_on_the_pull-in_range_of_type_II_APLL), Гарднера (https://en.wikipedia.org/wiki/Floyd_M._Gardner#Gardner's_conjecture_on_charge-pump_phaselocked_loops), Беста, так и с исследованием прикладных электромеханических, электронных, управляющих и других прикладных моделей, использующих фазовую синхронизацию, в которых аттракторы (их отсутствие или наличие и расположение) играют важную роль. Задачами проекта являются: дальнейшее развитие эффективных аналитико-численных методов выявления скрытых регулярных и хаотических колебаний для оценки границ глобальной устойчивости и устойчивости в большом, описание сценариев рождения аттракторов, анализ аттракторов в прикладных моделях фазовой синхронизации; развитие аналитических методов анализа динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством и их применение для анализа и синтеза современных систем фазовой автоподстройки, используемых в гироскопии, распределенных вычислительных системах, телекоммуникационном оборудовании;
создание достоверных аналитико-численных процедур для определения количественных характеристик переходных процессов, неустойчивости и хаотического поведения; развитие (определение возможностей и ограничений) частотных методов анализа устойчивости и колебаний.

Новизна научного исследования:

Будут получены принципиально новые результаты, позволяющие решать актуальные теоретические и прикладные задачи в области фазовой синхронизации, будет проведено усовершенствование уже известных результатов. Новизна и актуальность предложенного направления исследований, соответствие научного потенциала коллектива научной школы и планируемых результатов мировому уровню в данной области подтверждаются приглашениями руководителя коллектива научной школы с обзорными и планарными докладами по предложенной тематике исследований на ведущие российские и международные конференции, в том числе в этом году:
- Кузнецов Н.В., Пленарный доклад “Теория скрытых колебаний и глобальная устойчивость систем управления”, Осенние математические чтения в Адыгее, 2021;
- Kuznetsov N.V., Plenary lecture “The theory of hidden oscillations and stability of dynamical systems”, 2nd Online Conference on Nonlinear Dynamics and Complexity, 2021 (https://www.youtube.com/watch?v=WbfXz4iBN0I);
- Кузнецов Н.В., Пленарный доклад “Развитие математических методов анализа и синтеза систем фазовой автоподстройки: 2018-2021”, 14-я Мультиконференция по проблемам управления, 2019, Дивноморское [https://www.youtube.com/watch?v=EU0a_n8KzBU];
- Kuznetsov N.V., Plenary lecture “Stability and hidden attractors in the simulation and theoretical study ofdynamical models”, The 2nd International Conference on Cyber-Physical Systems and Control (CPS&C 2021), 2021 [http://cpsc.spbstu.ru/files/CPSC_2021_PROGRAMME_2906.pdf];
- Kuznetsov N.V., Plenary lecture “Global stability boundary, hidden oscillations, and non-equilibrium dynamics in models with cylindrical phase space: PLL and Sommerfeld effect”, Dynamics in Siberia, 2021 [http://www.math.nsc.ru/conference/ds/2021/PROGRAM.pdf]
(http://math.nsc.ru/conference/ds/2021/talks/Kuznetsov.pdf);
- Kuznetsov N.V., G.A. Leonov and his scientific school: from the stability of motion to the analysis of hidden oscillations, International scientific conference mechanics «The Ninth Polyakhov’s Reading», 2021
[https://events.spbu.ru/eventsContent/events/2021/polyakhov/final_Пленарные.pdf].

Также возможность получения результатов мирового уровня как в развитии теории, так и при решении практических задач, обеспечивается сотрудничеством с известными иностранными инженерами и учеными, среди которых: Гуанронг Чен (Гонконг, IEEE Fellow, h=119;), Леон Чуа (США, IEEE Fellow, h=85), Игорь Бойко (ОАЭ,h=16), Геза Колумбян (Венгрия, IEEE Fellow, h=18), Мариус Данка (Румыния, h=15), Роланд Бест (Швейцария) и другие.