Для класса линейных стационарных систем с запаздыванием в рамках первого этапа проекта доказаны новые конечные критерии экспоненциальной устойчивости, выраженные в терминах матриц Ляпунова. А именно, доказанные критерии выражены в терминах положительной (неотрицательной) определенности блочных матриц, определяемых значениями матриц Ляпунова в точках дискретизации. Рассмотрены следующие подходы:
1. Синтез метода дискретизации функционалов Ляпунова – Красовского, предложенного автором Keqin Gu, и метода функционалов с заданной производной. Ключевая идея здесь заключается в следующем: использование функционала, производная которого задана в виде отрицательно-определенной квадратичной формы (по аналогии со случаем обыкновенных дифференциальных уравнений), позволяет избежать дискретизации производной; вместо нее учитывается погрешность дискретизации. В результате получены (а) новые конструктивные достаточные условия устойчивости, обладающие свойством сходимости к необходимым условиям устойчивости с уменьшением шага дискретизации, (б) вычислена размерность блочной матрицы, при которой полученные условия становятся необходимыми и достаточными условиями экспоненциальной устойчивости. Блочная матрица, неотрицательную определенность которой требуется исследовать для проверки устойчивости, состоит из сумм значений матриц Ляпунова в точках дискретизации, умноженных на матрицы системы. Для линейных стационарных систем с одним запаздыванием получена связь между такой матрицей и матрицей, состоящей только из значений матриц Ляпунова в точках дискретизации, фигурировавшей в литературе. Однако ранее размерность этой матрицы для необходимого и достаточного условия устойчивости определялась фундаментальной матрицей системы, а также зависела от параметров системы экспоненциально. В нашем подходе размерность матрицы полиномиально зависит от параметров системы. Таким образом, размерность существенно снижена по сравнению с известными из литературы критериями. Этот подход оказался самым перспективным из рассмотренных. Различные аспекты работы в этом направлении представлены на конференциях 17th IFAC Workshop on Time Delay Systems (Монреаль, Канада, 27-30 сентября 2022, онлайн-участие); Всероссийской конференции с международным участием «Теория управления и математическое моделирование», посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова (Ижевск, 13–17 июня 2022); LIII международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 4-8 апреля 2022). Также имеется модификация этого подхода, в которой кусочно-линейная аппроксимация ядер функционалов заменена кусочно-постоянной аппроксимацией. Оказывается, что оценка погрешности, проведенная ранее для кусочно-линейной аппроксимации ядер, годится и для кусочно-постоянного случая. Однако такая аппроксимация многое упрощает. Эта модификация разработана для линейных систем запаздывающего типа с несколькими запаздываниями. Работа подана на рассмотрение для участия в IFAC World Congress 2023 (Yokohama, Япония, 9–14 июля 2023).
2. Модификация группы конструктивных методов проверки положительной определенности функционалов с заданной производной, предложенных в диссертационном исследовании руководителя проекта. Как и в диссертационном исследовании руководителя, рассмотрены кусочно-линейные приближения аргументов функционалов. В результате функционал, как и ранее, представлен в виде квадратичной формы, матрица которой определяется интегралами от матриц Ляпунова и матриц Ляпунова, умноженных на линейные функции. Преимущества предложенной модификации по сравнению с исходной работой заключаются в следующем: (а) результаты сформулированы в виде критериев устойчивости, а не только достаточных условий, как это было ранее. Другими словами, явно вычислена размерность матрицы, положительная (неотрицательная) определенность которой эквивалентна экспоненциальной устойчивости линейной системы. При этом размерность полиномиально зависит от параметров системы; (б) получен явный вид матрицы, положительная (неотрицательная) определенность которой эквивалентна экспоненциальной устойчивости; (в) разработана рекуррентная процедура, позволяющая выразить интегралы, определяющие матрицу, только через значения матриц Ляпунова в точках дискретизации. Использование этой процедуры существенно повышает вычислительную эффективность разработанных методов анализа устойчивости, поскольку вычисление большого количества интегралов является затратной с вычислительной точки зрения операцией. Результаты работы в этом направлении отражены в выступлениях на конференциях 25th International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS-2022, Байройт, Германия, 12-16 сентября 2022, онлайн-участие) и 17th IFAC Workshop on Time Delay Systems (Монреаль, Канада, 27-30 сентября 2022, онлайн-участие). Результаты получены для линейных систем запаздывающего и нейтрального типов с одним запаздыванием. Отметим, что была также исследована возможность замены кусочно-линейной аппроксимации аргументов функционалов аппроксимацией сплайнами. Поскольку такая замена приводит к существенному усложнению блочной матрицы, положительную определенность которой требуется проверить, от такой замены авторы на данный момент отказались.
3. Конкретизация подхода, объединяющего в себе метод функционалов Ляпунова — Красовского и метод Разумихина для линейных стационарных систем с запаздыванием. Идея заключается в следующем: замечено, что для проверки экспоненциальной устойчивости системы положительную определенность функционалов с заданной производной достаточно исследовать только на функциях специального вида, определяемых экспонентами, синусами и косинусами. На основе этого факта доказан новый критерий экспоненциальной устойчивости, выраженный в терминах неотрицательной определенности одной матрицы, размерность которой всего в два раза превышает порядок исходной системы. Сама же матрица определяется интегралами от матрицы Ляпунова и является функцией двух параметров, которые изменяются на отрезках конечной длины. Кроме того, в плоскости этих параметров построена конечная сетка, в узлах которой достаточно проверять условие критерия для того, чтобы сделать вывод об устойчивости. Таким образом, полученный в этом подходе критерий устойчивости также является конечным. В скалярном случае показано, что от операции интегрирования в этом подходе можно избавиться. В общем случае этот вопрос пока остается открытым. Публикация по результатам работы в этом направлении находится в процессе подготовки.
Выполнена программная реализация в среде MATLAB конструктивных методов анализа устойчивости, разработанных на основе доказанных в пп. 1–3 критериев устойчивости. Работа программ протестирована на примерах.
Кроме того, для класса однородных систем с распределенным запаздыванием, порядки однородности правых частей которых строго больше единицы, получены новые условия робастной устойчивости на основе метода функционалов Ляпунова – Красовского. А именно, разработаны новые конструкции функционалов Ляпунова – Красовского для такого класса систем, и с их помощью найдены условия на возмущения правых частей, при выполнении которых нулевые решения возмущенных систем остаются асимптотически устойчивыми при любых значениях запаздываний, в предположении о выполнении этого свойства для невозмущенных систем. Публикация по результатам работы в этом направлении находится в процессе подготовки.
Также для класса однородных систем с сосредоточенными запаздываниями и порядками однородности правых частей, строго большими единицы, предложен аналог условия Ляпунова, выраженный в терминах существования функции Ляпунова для соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой запаздывания положены равными нулю. Такой аналог имеет теоретическое значение для развития метода функционалов Ляпунова — Красовского для класса однородных систем. А именно, в том случае, когда порядки однородности правых частей строго больше единицы, методом функций Ляпунова — Разумихина доказано следующее: если соответствующая система, в которой запаздывания положены равными нулю, асимптотически устойчива, то и нулевое решение системы с запаздываниями обладает этим свойством при любых значениях запаздываний. Однако доказательство обратного утверждения методом функций Ляпунова — Разумихина невозможно. А метод функционалов Ляпунова — Красовского имеет соответствующий аппарат, и выделение правильно сформулированного условия Ляпунова позволяет в терминах функционалов разработать теорию, предлагающую необходимые и достаточные условия как асимптотической устойчивости, так и неустойчивости решений однородных систем с порядками однородности правых частей, строго большими единицы. Результаты работы в этом направлении частично представлены на Всероссийской конференции с международным участием «Теория управления и математическое моделирование», посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова (Ижевск, 13–17 июня 2022).