Одной из интересных задач качественной теории дифференциальных уравнений является проблема колеблемости решений. Важная задача качественной теории нелинейных систем - изучение асимптотического поведения всех решений на бесконечности. Для автономных систем эта задача сводится к изучению структуры предельных множеств всех полутраекторий и способов приближения траекторий к этим множествам. Многочисленные исследования были посвящены изучению глобальных свойств конкретных систем дифференциальных уравнений. В связи с запросами теории автоматического управления в 50-х годах XX века была развита новая отрасль качественной теории дифференциальных уравнений – теория устойчивости в целом. Важную роль в теории колебаний играют диссипативные системы – системы, у которых все решения с ростом времени попадают в некоторую ограниченную область.
Одним из центральных разделов качественной теории дифференциальных уравнений является теория интегральных множеств периодических систем, в которой изучается структура границы замкнутого, связного, асимптотически устойчивого интегрального множества, исследуется поведение решений на этом множестве, вскрывается связь между числом периодических решений, лежащих на интегральном множестве нулевой меры и структурой самого этого множества. Особое внимание уделяется системам, обладающим различными свойствами структурной устойчивости. Описываются свойства интегральных множеств систем уравнений, имеющих бесконечно много периодических решений с ненулевыми характеристическими показателями. Все эти задачи и рассматриваются в настоящем проекте для конкретных систем.
Интерес к системам автоматического управления с гистерезисом растет в связи с применением их для описания процессов в точном современном оборудовании, в нанотехнологии, нанобиологии, энергетике, микроэлектронике и адаптивной оптике, требующих обеспечения абсолютной устойчивости. Исследование динамических систем и систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями, являющихся математическими моделями реальных систем автоматического управления и макроэкономических систем, активно изучаются в последние десятилетия, что свидетельствуют о важности и актуальности данного направления.
Развитие исследования слабо гиперболических предельных множеств с топологической точки зрения (Плисс В.А., Бегун Н.А.), а также продолжение исследования хаотического инвариантного множества динамической системы, описывающей макроэкономическую модель инфляции с гистерезисным stop оператором (Бегун Н.А.) так же весьма перспективно.
В ряде современных прикладных задач, имеющих актуальный характер и связанных с физикой, механикой, астрономией, теорией управления, теорией устойчивости, асимптотическими методами, популяционной биологией и др., где мы не можем по тем или иным причинам (теоретического или экспериментального характера) точно указать дифференциальное уравнение, описывающее данный процесс, возникают дифференциальные неравенства, сфера изучения и применения которых очень широка.
Объединение символической динамики и численных методов (понятие символического образа), получение новых методов исследования глобальной динамики и создание теоретических основ компьютерно-ориентированных методов весьма актуально в настоящее время для исследования гиперболичности и устойчивости динамических систем.
