Математическое моделирование динамики и определение устойчивости в технических системах является
актуальнейшим направлением в научном и технологическом развитии любого государства, которое стремится занять
лидирующие позиции в современном мире. Изучение предельных динамических режимов (аттракторов) и
устойчивости необходимо в широко известных классических теоретических и в актуальных практических задачах (16-
ая проблема Гильберта о числе предельных циклов двумерных полиномиальных систем, эффект Зоммерфельда -
застревание частоты вращения, задача Андронова-Вышнеградского - о глобальной устойчивости регулятора с
разрывной нелинейной характеристикой, гипотезы Айзермана и Калмана - о синтезе глобально устойчивых
нелинейных систем управления, гипотеза Игана - о глобальной устойчивости систем фазовой автоподстройки и
другие).
Границы глобальной устойчивости в пространстве параметров системы определяются либо локальными
бифуркациями в фазовом пространстве (тривиальные участки границы,для анализа которых хорошо развиты
аналитические методы), либо нелокальными бифуркациями (скрытые участки границы, связанные с рождением
скрытых колебаний). При этом, различные гипотезы о глобальной устойчивости по первому приближению
предполагают наличие толькотривиальных границ глобальной устойчивости. В практических задачах часто важным
является определение границ устойчивости, связанных с переходом от глобальной устойчивости стационарного
множества к рождению в фазовом пространстве системы нетривиальных (колебательных) аттракторов. На практике
переход состояния системы к скрытому аттрактору, вызванный внешними возмущениями, часто приводит к
нежелательным режимам работы систем управления и оказывается причиной аварий и катастроф.
Внутренняя оценка границ глобальной устойчивости может быть получена с помощью достаточных критериев
глобальной устойчивости, а внешняя оценка требует развития аналитических и численных методов для выявления аттракторов иизучения локальных и нелокальных сценариев рожденияколебаний. При этомдля практических задач
анализа и синтеза динамических моделей часто требуется точная оценка границ глобальной устойчивости ианализ
зазора между имеющимися достаточными условиями глобальной устойчивости инеобходимыми (линейными)
условиями устойчивости.
Современный этап развития теории глобальной устойчивости,теории робастного управления, теории бифуркаций и
новые вычислительные технологии позволили по-новому взглянуть на такие задачи, что привело к появлению теории
скрытых колебаний, ставшей современным этапом развития теории колебаний А.А. Андронова (http://apcyb.spbu.ru/wp-
contenl/uploads/2020-rus-TISURAN-Theory-hidden-oscillations-Control-systems.pdf). Основой теории скрытых
колебаний стала новая классификация колебаний как самовозбуждающихся или скрытых. В то время как
самовозбуждение колебаний может быть эффективно исследовано численно примоделировании системы с
начальными данными из окрестности неустойчивых состояний равновесия,выявление скрытых колебаний, область
притяжения которых не связана с состояниями равновесия, является нетривиальной задачей итребует соединения
численных и аналитических методов. Эта теория оказалась востребована во многих теоретических и актуальных
инженерных задачах, в которых скрытые аттракторы (их отсутствие или наличие и расположение) играют важную роль.
За последние годы теория скрытых колебаний привлекла большое внимание мирового научного сообщества [1-6].
Особую трудность представляет анализ сценариев рождения колебаний и выявление скрытых аттракторовв моделях с
разрывными и/или периодическими характеристиками, где глобальный аттрактор можетсодержать как континуум
состояний равновесия (в случае разрывной характеристики),так и вообще не содержать состояний равновесия (в
случае периодической характеристики и цилиндрического фазового пространства,как, например, вряде моделей с
эффектом Зоммерфельда и фазовой автоподстройки).
Данный проект будет направлен на развитие аналитико-численных методов анализа границ глобальной устойчивости и
выявления скрытых колебаний. В основном фокусе проекта будет анализ систем с разрывными и периодическими
характеристиками.
