Проект нацелен на решение ряда конкретных задач в рамках теории всплесков, а также систем, инвариантных относительно сдвига и свёрточных операторов. Среди них отдельно отметим следующие задачи.
Планируется развитие теории мультивсплесков и изучение такого типа систем в случае, когда они не являются формально фреймами, однако обеспечивают разложение функций аналогичное разложению по фреймам. Ослабление условий ведёт к упрощению общей конструкции что позволит обеспечивать востребованные в приложениях свойства, в частности, высокий порядок аппроксимации и симметричность при малом носителе.
Планируется изучение топологических свойств множества всех масштабирующих масок систем всплесков. Результаты могут быть использованы для построения всплесковых алгоритмов (быстрого всплескового преобразования и каскадного алгоритма), адаптированных к изучаемому сигналу. Также с помощью этих результатов мы планируем изучать аппроксимационные свойства фреймов непериодических и периодических всплесков.
Имеющийся задел.
Команда имеет успешный опыт совместной реализации проекта гранта РНФ «Пространства, инвариантные относительно сдвигов, и всплески», 2018-2022. Кроме того, члены команды многократно публиковали совместные работы друг с другом. По конкретным задачам имеется следующий задел.
Изучение классических систем всплесков не являющихся фреймами, но обеспечивающих схожее с фреймами разложение, проводилась участниками проекта (М.А Скопина, А.В. Кривошеин, 2011). Алгоритмы построения систем всплесков, в частности базисов, фреймов и фреймоподобных систем, со специальными свойствами, такими как симметрия, компактный носитель, высокий порядок аппроксимации, были предложены в цикле работ А.В. Кривошеина.
В 2022 году нами (Е.А.Лебедевой) построены фреймы Парсеваля всплесков, масштабирующие маски которых порождают однопараметрическое семейство, приближающее произвольную непрерывную периодическую функцию. Функции, образующие фрейм, имеют компактный носитель, любое заранее заданное количество обнуляющихся моментов. Масштабирующая функция имеет стабильные целочисленные сдвиги.
В 2021 году нами (А.А.Горшановой) изучался порядок аппроксимации системами периодических всплесков и получен аналог теоремы Джексона.
В работе [2S] мы определили ортогональный базис типа Уолша для пространства L_2(U), где U − компактное самоподобное множество в R^d, играющее роль единичного отрезка на полупрямой. Характеристические функции таких самоподобных множеств являются масштабирующими функциями при построении всплесков в L_2(R^d). Таким образом, по аналогии с известными результатами о всплесках в анализе Уолша открывается перспектива развития теории всплесков на самоподобных множествах в R^d, ассоциированных с подходящей матрицей М, т.е., на М-положительных множествах.
Недавно нами были получены прямые и обратные теоремы теории приближений в пространствах Лебега L_p с весами Макенхаупта. Константы в этих теоремах зависят лишь от характеристики Макенхаупта веса, но не от показателя p. В серии более ранних работ в классическом безвесовом случае нами построены агрегаты приближения, позволяющие получить прямые и обратные теоремы с наименьшими известными на настоящее время постоянными.
Нами получен ряд результатов, касающихся экстремальности пространств сдвигов в метрике L_2. Так, мы получили критерии экстремальности пространств сдвигов для приближения классов периодических свёрток и свёрток на оси. Данные результаты обобщают известные неравенства для приближения классов дифференцируемых функций сплайнами. Кроме того, использованная техника позволила получить ряд точных неравенств для приближения классов дифференцируемых функций на отрезке, удовлетворяющих некоторым граничным условиям. Также нами была вычислена средняя размерность пространств, порождённых равноотстоящими сдвигами одной функции, в метрике L_p.
Информация о некоторых публикациях:
1. Yu.Kolomoitsev and M.Skopina, “Uniform approximation by multivariate quasi-projection operators” Anal. Math. Phys. 12 (2022), no.2 WOS, SCOPUS, РИНЦ, Q2
2.A. Krivoshein, and M.Skopina, ”Wavelet approximation in Orlicz spaces” J. Math. Anal. Appl. 516 (2022), no. 1 WOS, SCOPUS, РИНЦ, Q1
3. Yu.Kolomoitsev, A. Krivoshein, and M.Skopina, Approximation by periodic multivariate quasi-projection operators. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 489 (2020), no 2, 124192 WOS, SCOPUS, РИНЦ, Q1
4. D. Costarelli, A. Krivoshein, M. Skopina, G. Vinti, Quasi-projection operators with applications to differential-difference expansions, Applied Mathematics and Computations, Volume 363, 15 December 2019, Article 124623 WOS, SCOPUS, РИНЦ, Q1
5. O. L. Vinogradov. Structural characterization of deviations of quasi-projectors on the real line. Journal of Mathematical Analysis and Applications.
2021. V.500, № 1. Article 125115. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0022247X21001943. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2021.125115.
6. O. L. Vinogradov. Classes of convolutions with a singular family of kernels: Sharp constants for approximation by spaces of shifts. St. Petersburg Math. J. 32 (2021), 233-260. https://www.ams.org/journals/spmj/2021-32-02/S1061-0022-2021-01646-X/. https://doi.org/10.1090/spmj/1646.
7. A. Krivoshein, Multivariate Symmetric Interpolating Dual Multiwavelet Frames Symmetry, 2022, 14(7), 1425
8. Krivoshein, A., Hexagonally symmetric orthogonal filters with √3 refinement,
Multidimensional Systems and Signal Processing, 2021, 32(1), pp. 217–238
9. Postnikov, E.B., Lebedeva, E.A., Zyubin, A.Yu., Lavrova, A.I., The cascade hilbert-zero decomposition: A novel method for peaks resolution and its application to raman spectra Mathematics, 2021, 9(21), 2802 DOI: 10.3390/math9212802
10. Lebedeva, E.A., Matched wavelets for equidistant points
International Journal of Wavelets, Multiresolution and Information Processing, 2021, 19(2), 2050066 DOI: 10.1142/S0219691320500666
Современное состояние исследований по данной проблеме
Следуя работе Б.Хана и З. Шена, где ими изучались фреймы классических всплесков на паре пространства Соболева, в работе Ю. Ли, Ш. Янга, Д. Юана аналогичная работа была проведена для фреймов мультивсплесков на паре пространств Соболева. Однако, как известно, в общем случае вектор масштабирующих функций для матричной маски состоит из обобщённых функций медленного роста. Таким образом, естественным вопросом является изучение мультивсплесков на паре пространств, где одно из них является пространством обобщённых функций медленного роста. Такого типа системы фреймами не будут, но можно обеспечить разложение фреймового типа по таким системам. Вопросы обеспечения специальных свойств для систем мультивсплесков, в частности, свойства симметрии, изучались в некоторых постановках (интерполяционный случай) в работах М. Эхлера, К. Коха, Кс. Гао и др.
Топологические свойства всплесков активно изучаются многими научными группами. Так, группа математиков из Техасского и Вашингтонского университетов под руководством Д. Ларсона и Г.Вайса доказала, что множество всех всплесков, порождающих ортонормированные базисы и построенных с помощью кратномасштабного анализа (КМА всплески), линейно связно. М. Боуник установил линейную связность и плотность множества всех фреймлетов. Результат о плотности не только в одномерном, но и в многомерном случае получен К.Кабрелли и У.Мольтер. Практическое применение результатов нашей работы напрямую связано с работами Л.В. Новикова о построении аппаратно-ориентированных всплесков. Порядки аппроксимации сдвигами масштабирующей функции и фреймами всплесков, а также их связь с условиями Стренга-Фикса изучались в работах Р. Джиа, К. де Бора, Р. Девора, А. Рона. Критерий условий Стренга-Фикса для масштабирующих функций установлен В. Ю. Протасовым. Взаимосвязь порядка аппроксимации сдвигами масштабирующей функции и фреймами всплесков в непериодическом случае изучалась И. Добеши, Б. Ханом, А. Роном, З. Шеном. Аналог обнуляющихся моментов для периодических всплесков введен в работе С. Гоха, Б.Хана, З.Шена.
Теорию всплесков на M-положительных множествах можно отнести к направлению, включающему изучение систем всплесков на локально-компактных группах, в частности, группах Виленкина, полях положительной характеристики и поле р-адических чисел, а также на полупрямой. Перечисленные темы активно развиваются в последнее время. Среди работающих в этом направлении можно назвать следующих известных математиков: J. J. Benedetto and R. L. Benedetto, W. C. Lang, B. Behera, F.A. Shah, Ю.А.Фарков, В.Ю.Протасов, С.Ф.Лукомский и др. С другой стороны, изучение всплесков на M-положительных множествах перекликается с темой «Cамоподобные замощения многогранников», которой в настоящее время активно занимается В.Ю. Протасов и его ученики.
Различным вопросами теории приближения в рассматриваемых функциональных пространствах посвящено очень много работ. За редким исключением теория развивалась лишь в периодическом случае. Назовем несколько известных авторов, занимающихся этой тематикой: В.М.Кокилашвили, Д.М.Исрафилов, Р.Акгун, А.Д.Нахман, Б.П.Осиленкер. Однако существующие методы не позволяют построить в этих пространствах полный аналог теории приближения в безвесовых пространствах Лебега.
Все основные результаты об описании экстремальных подпространств сдвигов в задачах о поперечниках функциональных классов принадлежат участникам проекта. Наиболее общие результаты об экстремальности пространств сдвигов в задачах среднеквадратичного приближения различных классов функций также принадлежат участникам проекта.
Предлагаемые методы и подходы, общий план работы на весь срок выполнения проекта и ожидаемые результаты
Планируется изучение мультивсплесковых систем, позволяющих получить разложение функции подобное разложению по фреймам, но не являющихся формально фреймами. Общая схема построения мультивсплесков представляет собой модифицированную версию унитарного принципа расширения, основной вопрос которой заключается в продолжение строк порождённых масштабирующими матричными масками до двух взаимно биортогональных матриц. В общем случае это продолжение является сложной задачей, поскольку надо обеспечить ещё ряд свойств, однако, отказ от фреймовости снимает ряд требований, что позволяет применить простую схему продолжения матриц и получить фреймоподобную систему мультивсплесков. Планируется также разработка алгоритмов построения мультивсплесков с обеспечением специальных свойств, таких как симметричность и высокий порядок аппроксимации.
2023 Получение условий для обеспечения заданного порядка аппроксимации фреймоподобных систем мультивсплесков и алгоритмов их построения.
2024 Обеспечение специальных свойств для фреймоподобных систем мультивсплесков, таких как симметрия, малый носитель, заданный порядок аппроксимации и пр.
2025 Изучение возможности применения лифтинг-схемы для улучшения фреймоподобных систем мультивсплесков до фреймов с сохранением специальных свойств. Построение примеров применения построенных систем в задачах обработки изображений.
Для изучения топологических свойств масштабирующих масок мы предполагаем использовать методы теории всплесков и теории приближения. В частности, нам будут полезны унитарный и скошенный принципы расширения, теорема Малла о достаточных условиях принадлежности масштабирующей функции пространству L_2, критерий Протасова стабильности целых сдвигов масштабирующей функции, линейные методы суммирования тригонометрических рядов, интерполирование с кратными узлами, мультипликаторы Фурье. Для изучения связи порядков аппроксимации системой всплесков и сдвигами масштабирующей функции в непериодическом и периодическом случаях и для построения фреймов всплесков, аппроксимации которыми ненамного меньше порядка аппроксимации масштабирующими функциями, мы собираемся использовать взаимосвязь порядка обнуляющихся моментов всплеск-функции и условий Стренга-Фикса.
2023 Проверить,является ли множество масштабирующих масок плотным в естественных подмножествах пространства непрерывных функций. Разработать линейные методы приближения периодических функций масштабирующими масками. Изучить связь порядков аппроксимации системой всплесков и сдвигами масштабирующей функции для систем периодических всплесков.
2024 Изучить связь порядков аппроксимации системой всплесков и сдвигами масштабирующей функции и построить фреймы всплесков, порядок аппроксимации которыми ненамного меньше порядка аппроксимации масштабирующей функцией.
2025 Проверить, является ли множество масштабирующих масок линейно связным в классических функциональных пространствах.
По аналогии с известными результатами о всплесках в анализе Уолша, существует перспектива развития теории всплесков на самоподобных множествах в R^d, многие из которых имеют фрактальную структуру. Такие множества снабжены топологией и бинарной операцией (сложением), ассоциированной с матрицей растяжения M. Эта структура является естественным обобщением полупрямой, и мы назвали ее M-положительным множеством. Функции типа Уолша для таких структур были введены и изучены в нашей предыдущей работе. Планируется описать методы построения базисов и фреймов всплесков, построенных по схеме кратномасштабного анализа. В первую очередь мы намерены развить гармонический анализ на M-положительных множествах. Следует ввести преобразование Фурье. После доказательства обычных свойств, таких как равенство Планшереля, мы должны изучить класс финитных ступенчатых функций и доказать, что преобразование Фурье такой функции принадлежит тому же классу, т. е. этот класс является аналогом класса Шварца. Необходимо также доказать преобразование типа Виленкина-Крестенсона. Далее мы намерены ввести и изучить масштабирующие функции с компактным носителем. Следуя стандартному подходу, мы должны получить масштабирующее уравнение в частотной области и показать, что соответствующая маска является полиномом Уолша. Далее предполагается доказать аналог теоремы Малла и описать явный метод построения жесткого фрейма всплесков на основе соответствующего полинома Уолша с использованием принципа матричного разложения. Мы намереваемся также дать алгоритмический способ реализации принципа матричного разложения. Мы планируем также дать характеристику полиномов Уолша, являющихся масками масштабирующих ступенчатых функций с компактным носителем, и описать метод построения фреймов всплесков на основе таких полиномов. Предполагается найти условия, при которых такой фрейм является жестким фреймом или ортонормированным базисом. Мы также собираемся изучать аппроксимационные свойства таких систем.
2023. Развитие гармонического анализа на М-положительных множествах, изучение класса финитных ступенчатых функций и масштабирующих функций.
2024. Доказательство аналога теоремы Малла и описание метода построения жесткого фрейма всплесков по заданному полиному Уолша.
2025. Описание всех полиномов Уолша, являющихся масками масштабирующих ступенчатых функций с компактным носителем, разработка метода построения фреймов всплесков порожденных такими полиномами и описание их аппроксимационных свойств.
Мы планируем получить прямые и обратные теоремы во всех рассматриваемых функциональных пространствах единым методом, подходящим как для приближения периодических функций тригонометрическими многочленами, так и для приближения непериодических функций целыми функциями экспоненциального типа. В классическом безвесовом случае для характеризации гладкости функций используются модули непрерывности, в том числе нецелого порядка. Рассматриваемые пространства функций, вообще говоря, не инвариантны относительно сдвига. Поэтому классическое определение модулей непрерывности с помощью конечных разностей непригодно. Вместо конечных разностей мы будем использовать отклонения различных усреднений функции типа средних Стеклова, а также степени таких отклонений, в том числе нецелого порядка. В качестве методов приближения предполагается использовать свёрточные операторы. В первую очередь мы собираемся разработать общую схему доказательства прямых и обратных теорем в абстрактных банаховых пространствах функций, а затем конкретизировать ее для индивидуальных пространств. Для конкретизации нам понадобится получить легко проверяемые достаточные условия ограниченности свёрточных операторов и оценки их норм.
2023. Исследование модулей непрерывности, К-функционалов и функционалов реализации, разработка общей схемы доказательства прямых и обратных теорем в абстрактных банаховых пространствах функций.
2024. Оценки норм операторов свертки в весовых пространствах Орлича. Исследование свойств модулей непрерывности, К-функционалов и функционалов реализации, конкретизация общей схемы доказательства прямых и обратных теорем в этих пространствах.
2025. Модификация общей схемы доказательства прямых и обратных теорем в более общих функциональных пространствах, таких как пространства Орлича – Муселяка и в том числе весовые пространства Лебега с переменным показателем.
Мы планируем вычислить среднюю размерность ряда подпространств, порожденных сдвигами одной функции. Для вычисления средней размерности предполагается переформулировать задачу в терминах целых функций экспоненциального типа и использовать интерполяционную формулу Картрайт. Как обычно, при оценке снизу будет применяться теорема о поперечнике шара. Планируется также получить ряд точных неравенств для приближения различных классов функций пространствами сдвигов и, в частности, сплайнами. Для доказательства этих неравенств предполагается применить технику, разработанную нами ранее для исследования экстремальности пространств сдвигов в различных задачах среднеквадратичной аппроксимации. Эта техника основана на использовании разложения по ортогональным базисам (или их континуальным аналогам) в пространствах сдвигов, которое позволяет получить явное выражения для наилучшего приближения.
2023. Вычисление средней размерности ряда подпространств и получение точных неравенств для приближения различных классов периодических функций сплайнами.
2024. Получение точных неравенств для приближения различных классов периодических функций пространствами сдвигов.
2025. Модификация техники доказательства для получения аналогичных неравенств для приближения пространствами сдвигов на оси.
