В проекте изучаются содержательные актуальные задачи спектральной теории, возникающие в разных областях современной математической физики. Будут исследоваться почти-периодические операторы (оператор почти-Матье), спектральные задачи для оператора Лапласа в клиньях, конусах и подобных областях с разными граничными условиями (обобщенные собственные функции и собственные функции дискретного спектра), рассеяние и структура абсолютно непрерывного спектра для теплицевых операторов (в том числе с разрывными символами), дискретный спектр псевдодифференциальных операторов нулевого порядка. По каждому из перечисленных направлений будут изучаться важные нерешенные задачи, вызывающие активный интерес известных специалистов.
Спектр оператора почти-Матье с с иррациональной частотой - разностного оператора Шредингера с простейшим почти-периодическим потенциалом на целочисленной решетке - канторов. Его свойства привлекают внимание многих известных математиков. В квазиклассическом приближении естественно последовательно обнаруживаются конечные наборы из все меньших и меньших лакун, что приводит к описанию спектра, подобного описанию классического канторова множества. Одна из важных открытых задач - исследование спектральных свойств оператора около центра спектра и вблизи аналогичных точек на интервалах, содержащих спектр и оказывающимися между найденными лакунами после обнаружения очередного конечного набора лакун. Именно около таких точек асимптотически концентрируется большая часть спектра. Мы нацелены на описании геометрии спектра, плотности состояний, и, возможно, обобщенных собственных функций в этих зонах. Для решения этой задачи потребуется содержательное развитие комплексного метода ВКБ для разностных уравнений. (А.А. Федотов, Е.В. Щетка, И.И. Лукашева)
Задачи рассеяния на клиньях, бесконечных многоугольниках и подобных областях возникают в теории распространения волн и вызывают постоянный большой интерес у специалистов-прикладников. С помощью интегральных преобразований они сводятся к исследованию систем разностных уравнений, которое проводится методами комплексного анализа. Подобные задачи начали активно изучаться и в спектральной теории методами функционального анализа. Мы планируем использовать опыт, накопленный в теории распространения волн для решения задач спектральной теории. В частности, будут исследованы некоторые спектральные задачи углах с краевыми условиями Робэна, изучены спектр и собственные функции (включая обобщенные). Особый интерес вызывают случаи узких клиньев, конусов и т.д. Здесь масса вопросов, которые не удается хорошо исследовать даже численно. Математически же дело сводится к исследованиям в квазиклассическом приближении. Такими задачами мы тоже планируем активно заниматься. (М.А.Лялинов, В.А.Сергеев)
Сотни работ были посвящены асимптотике и оценкам собственных значений (псевдо-)дифференциальных операторов положительного и отрицательного порядка. Теперь возник интерес к анализу операторов нулевого порядка, что связано, в частности, с вопросами распространения волн в жидкости. Получен ряд важных результатов о свойствах абсолютно непрерывного спектра и решений соответствующего эволюционного уравнения. Относительно дискретного спектра результатов нет. В проекте предполагается исследовать его и, в частности, найти оценки и асимптотику собственных значений. (Г.Розенблюм)
Операторы Теплица с разрывными символами, особенно типа Фишера-Хартвига, являются традиционным объектом классического анализа. Их изучали с помощью "обрезанных" теплицевых матриц. Мы предлагаем новый взгляд на эту проблему, основанный на идеях теории рассеяния. Мы применим этот подход для классификации абсолютно непрерывного спектра самосопряженных тёплицевых операторов. Для этого, в частности, мы собираемся построить теорию рассеяния для таких операторов. (Д.Яфаев)
