Использование композитных материалов и наноструктур в современной практике предопределяет актуальность исследования волновых процессов в периодических средах, волноводах и решетчатых конструкциях. В отличие от однородных сплошных сред спектры периодических волноводов обладают лакунарным строением, при котором зоны прохождения волн (спектральные сегменты) могут чередоваться с зонами торможения (спектральные лакуны). Определение геометрических характеристик лакун и создание периодических волноводов и решеток с заданным набором лакун - основная задача инженерии чересполосного спектра, совсем недавно зародившейся науки. Локальные возмущения (повреждения) периодических сред могут приводить к возникновению собственных чисел операторов, изолированных, принадлежащих дискретному спектру или вкрапленных в непрерывный спектр, и собственных функций, отвечающих захваченным волнам. Собственные числа и точки комплексного резонанса приводят к разнообразным спектральным аномалиям, зачастую реализующихся на околопороговых частотах, например, в непосредственной близости от краев лакун.
Основной целью проекта является асимптотический анализ спектров волноводов разнообразных форм (цилиндрические, периодические, решетчатые и пикообразные) и физической природы (акустические, квантовые, упругие и пьезоэлектрические). Объектом исследования служит
лакунарное строение спектра в периодическом случае и точечный спектр в случае локальных возмущения, а также порожденные ими спектральные аномалии, например, необычно быстрая изменяемость дифракционной картины около порогов - анамалия Вуда - или почти полное отражение (или прохождения - новый эффект, обнаруженный участниками проекта) волн на околопороговых частотах - аномалия Вайнштейна. Еще одно направление работы - изучение способов формирования непрерывного спектра при предельном переходе в результате сингуляного возмущения волноводов, т.е. усечения неограниченного волновода или скругления
пикообразного заострения, обеспечивающих дискретность спектра в допредельных задачах. При этом спектральные сегменты могут образоваться в результате концентрации собственных чисел или заметания "блуждающими" собственными числами (новый эффект, обнаруженный участниками проекта). В современной математической и физической литературе имеется много общих и конкретных сведений о лакунарном строении периодических волноводов, однако преимущественно для скалярных задач в липшицевых областях. В предлагаемом проекте особое внимание будет уделено упругим и пьезоэлектрическим волноводам, описываемых системами
дифференциальных уравнений в частных производных, а также телам с пикообразными заострениями - так называемым "черным дырам" или поглотителям акустических и упругих волн, применяемым в практике с понятными целями. Поскольку изготовление идеальных заострений
невозможно, наибольший интерес представляет изучение спектров в случае сглаженных пиков. Характерная черта пьезоэлектрических тел, порожденная свободным переходом в них механической энергии в электрическую и наоборот, - отсутствие формальной самосопряженности
системы дифференциальных уравнений. Исследование околопороговых аномалий рассеяния проводилось только для волноводов с цилиндрическими выходами на бесконечность и в скалярном случае, однако даже для таких задач запланированные в проекте результаты окажутся новыми. При этом недавно обнаруженная участниками проекта связь аномалий с возникновением "почти стоячих" волн на пороге непрерывного спектра (например, крае лакуны) позволит обнаружить общие причины появления околопороговых спекттральных аномалий и создать методы их описания, пригодные для любых эллиптических краевых задач в областях с цилиндрическими и периодическими выходами на бесконечность.
