Научная проблема, на решение которой направлен проект:
Проект направлен на решение фундаментальной проблемы теории дифференциальных уравнений, которая заключается, прежде всего, в разработке общих подходов и методов исследования задач с параметрами для уравнений и систем с разрывными правыми частями, затем в поиске условий разрешимости поставленных задач и, наконец, в применении полученных теоретических результатов к конкретным краевым задачам прикладного характера. Наличие разрывных правых частей существенно усложняет исследование рассматриваемых задач и требует разработки специального математического аппарата. Планируется изучить обобщенные, сильные, полуправильные, а также периодические и непериодические решения. Цель проекта состоит в развитии теории систем с разрывными нелинейностями, исследовании актуальных классов задач с параметрами для уравнений и систем с разрывными правыми частями на предмет существования по крайней мере одного решения, а также решений с определенными (желательными) свойствами (полуправильные, периодические и непериодические колебательные решения), с заданными параметрами (количество точек переключения, величина периода или времени возврата на поверхности разрыва) и заданных конфигураций.
Научная значимость и актуальность решения обозначенной проблемы:
В последние годы большое внимание уделяется изучению уравнений и систем с разрывными правыми частями. Такие объекты исследования вызывают интерес как с теоретической точки зрения, так и при решении прикладных задач. При этом разнообразие применяемых подходов и методов требует обобщений и построения теории. Разработка математического аппарата для получения условий разрешимости уравнений и систем с разрывными правыми частями является актуальной задачей. Приложения к конкретным задачам востребованы в гидродинамике, электрофизике, робототехнике, биологии, медицине и других областях естествознания. Весомое число научных публикаций по проблеме исследования задач с параметрами для рассматриваемых уравнений и систем за последние 10 лет свидетельствует об особом исследовательском интересе ученых к таким задачам. Ожидаемые научные результаты представляются конкурентноспособными в сравнении с результатами аналогичных исследований зарубежных ученых в данной области знаний.
Конкретная задача (задачи) в рамках проблемы, на решение которой направлен проект, ее масштаб и комплексность:
Задачи проекта: 1) найти условия разрешимости рассматриваемых нелинейных задач с параметрами, 2) определить условия существования решений с определенными свойствами и параметрами, а также их число, 3) рассмотреть приложения общих результатов к прикладной задаче М.А. Гольдштика, 4) синтезировать законы управления для существования решений с наперед заданными свойствами, параметрами и конфигурациями. Масштаб и комплексность задач определяется общностью предлагаемых методов, позволяющих исследовать широкие классы уравнений и систем, в том числе многомерные системы, с разрывными правыми частями.
Научная новизна исследований, обоснование того, что проект направлен на развитие новой для научного коллектива тематики, обоснование достижимости решения поставленной задачи (задач) и возможности получения предполагаемых результатов:
Научные результаты, полученные ранее Д.К. Потаповым для абстрактных задач с разрывными операторами, предполагается распространить на другие классы задач для дифференциальных уравнений и систем с разрывными нелинейностями, в том числе на те, которые востребованы в приложениях (например, на задачу М.А. Гольдштика). Подход и методы, которые использовались ранее В.В. Евстафьевой и Д.К. Потаповым для исследования периодических решений у систем с гистерезисом, планируется применить для изучения других типов колебательных решений и внешних возмущений. В результате предполагается получить новые теоремы существования решений для исследуемых задач с разрывными правыми частями. Предыдущая тематика научных исследований О.В. Баскова посвящена алгоритмам сужения множества Парето. До настоящего времени студентка М.Ю. Гусева научной работой не занималась, но обладает хорошими аналитическими способностями, навыками программирования и проявляет интерес к исследовательской работе. Таким образом, рассматриваемые задачи являются новыми для научного коллектива. В проекте планируется модификация классических методов для решения изучаемых задач с особенностями, к которым неприменимы традиционные подходы. Предполагается формулировка новых постановок задач, исследование и получение новых научных знаний. В отличие от других работ в данном проекте планируется ослабление ограничений на нелинейности, входящие в изучаемые уравнения и системы, исследование других типов решений и развитие классических методов.
Современное состояние исследований по данной проблеме, основные направления исследований в мировой науке и научные конкуренты:
Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями активно изучаются последние 45 лет. Интерес к ним обусловлен непрерывным развитием теории дифференциальных уравнений, а также наличием в современных областях естествознания (гидродинамике, теплофизике, физике плазмы, химических технологиях и др.) конкретных прикладных задач, приводящих к таким уравнениям. Отметим, что нелинейные задачи довольно часто имеют более одного решения. Поэтому актуальной является оценка числа решений. В ситуации, когда задача априори имеет тривиальное решение, актуальна проблема существования ненулевых решений. Выделим основные направления исследований по данной проблематике за последние годы.
Проблема существования решений задачи Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью изучалась зарубежными учеными в работах:
1. Carl S., Heikkila S. On the existence of minimal and maximal solutions of discontinuous functional Sturm-Liouville boundary value problems // J. Inequal. Appl. 2005. No 4. P. 403-412.
2. Bonanno G., Bisci G.M. Infinitely many solutions for a boundary value problem with discontinuous nonlinearities // Bound. Value Probl. 2009. Art. ID 670675. 20 pp.
3. Bonanno G., Buccellato S.M. Two point boundary value problems for the Sturm-Liouville equation with highly discontinuous nonlinearities // Taiwanese J. Math. 2010. Vol. 14. No 5. P. 2059-2072.
4. Bonanno G., D’Agui G., Winkert P. Sturm-Liouville equations involving discontinuous nonlinearities // Minimax Theory Appl. 2016. Vol. 1. No 1. P. 125-143.
5. Bonanno G., Iannizzotto A., Marras M. On ordinary differential inclusions with mixed boundary conditions // Differ. Integral Equ. 2017. Vol. 30. No 3-4. P. 273-288.
Исследования Потапова Д.К. представлены в следующих работах:
1. Потапов Д.К. Задача Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. No 9. С. 1284-1286.
2. Потапов Д.К. Существование решений, оценки дифференциального оператора и «разделяющее» множество в краевой задаче для дифференциального уравнения второго порядка с разрывной нелинейностью // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. No 7. С. 970-974.
3. Potapov D.K. Solutions of second-order differential equations with discontinuous right parts. Analytic Methods of Analysis and Differential Equations: AMADE 2015. Cottenham: Cambridge Scientific Publishers, 2016. P. 135-144.
Отметим также статью
Павленко В.Н., Постникова Е.Ю. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения с разрывной нелинейностью // Челяб. физ.-мат. журн. 2019. Т. 4. Вып. 2. С. 142-154.
В работах других отечественных математиков данная проблема не рассматривалась.
Еще одному важному направлению исследований различных аспектов теории нелинейных колебаний посвящаются ежегодно тысячи работ. Теория нелинейных колебаний достаточно полно развита для дифференциальных уравнений 2-го порядка, тем не менее, есть нерешенные вопросы, связанные с существованием периодических, непериодических и скользящих решений в невозмущенных и возмущенных системах с различными типами разрывных нелинейностей. В последние годы обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с разрывными правыми частями исследовались в следующих работах:
1. Нижник И.Л., Краснеева А.А. Периодические решения дифференциальных уравнений второго порядка с разрывной нелинейностью // Нелин. колеб. 2012. Т. 15. No 3. С. 381-389.
2. Jacquemard A., Teixeira M.A. Periodic solutions of a class of non-autonomous second order differential equations with discontinuous right-hand side // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2012. Vol. 241. No 22. P. 2003-2009.
3. Llibre J., Teixeira M.A. Periodic solutions of discontinuous second order differential systems // J. Singularities. 2014. Vol. 10. P. 183-190.
4. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Solution to second-order differential equations with discontinuous right-hand side // Electron. J. Differ. Equ. 2014. No 221. P. 1-6.
5. Самойленко А.М., Нижник И.Л. Дифференциальные уравнения с биустойчивой нелинейностью // Укр. матем. журн. 2015. Т. 67. No 4. С. 517-554.
6. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Non-existence of periodic solutions to non-autonomous second-order differential equation with discontinuous nonlinearity // Electron. J. Differ. Equ. 2016. No 04. P. 1-8.
7. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Existence of solutions for second-order differential equations with discontinuous right-hand side // Electron. J. Differ. Equ. 2016. No 124. P. 1-9.
8. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. On uniqueness and properties of periodic solution of second-order nonautonomous system with discontinuous nonlinearity // J. Dyn. Control Syst. 2017. Vol. 23. No 4. P. 825-837.
9. da Silva C.E.L., da Silva P.R., Jacquemard A. Sliding solutions of second-order differential equations with discontinuous right-hand side // Math. Meth. Appl. Sci. 2017. Vol. 40. No 14. P. 5295-5306.
10. da Silva C.E.L., Jacquemard A., Teixeira M.A. Periodic solutions of a class of non-autonomous discontinuous second-order differential equations // J. Dyn. Control Syst. 2020. Vol. 26. No 1. P. 17-44.
При повышении размерности системы методы, успешно применяемые для двухмерных систем, становятся технически затруднительными в применении. По этой причине активно используются методы декомпозиции систем высокой размерности на системы низких размерностей. Данной проблеме посвящены нижеследующие статьи:
1. Евстафьева В.В. О необходимых условиях существования периодических решений в динамической системе с разрывной нелинейностью и внешним периодическим воздействием // Уфимск. матем. журн. 2011. Т. 3. No 2. С. 20-27.
2. Yevstafyeva V.V. Existence of a unique kT-periodic solution for one class of nonlinear systems // J. Sib. Fed. Univ. Math. & Phys. 2013. Vol. 6. No 1. P. 136-142.
3. Kamachkin A.M., Shamberov V.N. The decomposition method of research into the nonlinear dynamical systems’ space of parameters // Appl. Math. Sci. 2015. Vol. 9. No 81. P. 4009-4018.
4. Rachinskii D. Realization of arbitrary hysteresis by a low-dimensional gradient flow // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 2016. Vol. 21. No 1. P. 227-243.
5. Евстафьева В.В. Существование T/k-периодических решений нелинейной неавтономной системы с кратным собственным числом матрицы // Матем. заметки. 2021. Т. 109. Вып. 4. С. 529-543.
6. Камачкин А.М., Потапов Д.К., Евстафьева В.В. Метод преобразования сложных систем автоматического управления к интегрируемой форме // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Прикл. матем. Информ. Проц. упр. 2021. Т. 17. Вып. 2. С. 96-212.
Среди нелинейных физических явлений, которые актуальны в современных исследованиях, гистерезис занимает одну из ключевых позиций. Обсуждение гистерезисного феномена и обзор его приложений можно найти в работах итальянского ученого Висинтина А.:
1. Visintin A. Ten issues about hysteresis // Acta Appl. Math. 2014. Vol. 132. No 1. P. 635-647.
2. Visintin A. P.D.E.S with hysteresis 30 years later // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S. 2015. Vol. 8. No 4. P. 793-816.
Математическая теория систем с гистерезисом трактует гистерезисные нелинейности как операторы или преобразователи с пространствами состояний. К настоящему времени свойства только некоторых классов гистерезисных операторов хорошо изучены, и их физическую реализуемость можно отнести к общему свойству, важному для приложений. Однако неясными остаются некоторые аспекты динамики систем с гистерезисом, в частности, вопросы существования различных динамических режимов колебаний систем. Их изучение осложняется тем, что гистерезисные операторы не обладают свойством сильной дифференцируемости и могут иметь весьма сложные пространства состояний. Это отмечено в работе
Brokate M., Krejci P. Weak differentiability of scalar hysteresis operators // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. A. 2015. Vol. 35. No 6. P. 2405-2421.
Наиболее часто используемой моделью гистерезиса является модель Прейсаха, способная описывать различные формы гистерезисных циклов, которые отвечают поведению широкого класса гистерезисных систем. Подходы и методы, которые используют авторы статей о системах с гистерезисом, развиваются независимо и имеют свои области применения, что подтверждают следующие работы:
1. McCarthy S., Rachinskii D. Dynamics of systems with Preisach memory near equilibria // Math. Bohem. 2014. Vol. 139. No 1. P. 39-73.
2. Pimenov A., Rachinskii D. Homoclinic orbits in a two-patch predator-prey model with Preisach hysteresis operator // Math. Bohem. 2014. Vol. 139. No 2. P. 285-298.
3. Fang L., Wang J., Zhang Q. Identification of extended Hammerstein systems with hysteresis-type input nonlinearities described by Preisach model // Nonlinear Dyn. 2015. Vol. 79. No 2. P. 1257-1273.
4. Vasquez-Beltran M.A., Jayawardhana B., Peletier R. Recursive algorithm for the control of output remnant of Preisach hysteresis operator // IEEE Control Syst. Lett. 2021. Vol. 5. No 3. P. 1061-1066.
Системы с разрывным управлением широко используются в практике автоматического управления. В теории автоматического регулирования релейный гистерезис рассматривается как несовершенства реле. Методы припасовывания, неподвижных точек и точечных отображений сыграли большую роль для определения периодических режимов и до сих пор остаются необходимыми для исследования кусочно-интегрируемых (в том числе релейных) систем и определения других возможных колебательных режимов (в том числе непериодических), что отражено в работах
1. Евстафьева В.В. Об условиях существования двухточечно-колебательного периодического решения в неавтономной релейной системе с гурвицевой матрицей // Автомат. и телемех. 2015. No 6. C. 42-56.
2. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Existence of periodic solutions to automatic control system with relay nonlinearity and sinusoidal external influence // Int. J. Robust Nonlinear Control. 2017. Vol. 27. No 2. P. 204-211.
3. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Existence of subharmonic solutions to a hysteresis system with sinusoidal external influence // Electron. J. Differ. Equ. 2017. No 140. P. 1-10.
4. Евстафьева В.В. Периодические решения системы дифференциальных уравнений с гистерезисной нелинейностью при наличии нулевого собственного числа // Укр. матем. журн. 2018. Т. 70. No 8. С. 1085-1096.
5. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Existence of periodic modes in automatic control system with a three-position relay // Int. J. Control. 2020. Vol. 93. No 4. P. 763-770.
6. Фурсов А.С., Тодоров Т.С., Крылов П.А., Митрев Р.П. О существовании колебательных режимов в одной нелинейной системе с гистерезисами // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. No 8. С. 1103-1121.
7. Евстафьева В.В. О существовании двухточечно-колебательных решений вомущенной релейной системы с гистерезисом // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. No 2. С. 169-178.
8. Євстаф’єва В.В. Iснування двоточково-коливних розв’язкiв релейної неавтономної системи з кратним власним числом дiйсної симетричної матрицi // Укр. матем. журн. 2021. Т. 73. No 5. С. 640-650.
9. Фурсов А.С., Митрев Р.П., Крылов П.А., Тодоров Т.С. О существовании периодического режима в одной нелинейной системе // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. No 8. С. 1104-1115.
10. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Continuous dependence on parameters and boundedness of solutions to a hysteresis system // Appl. Math. 2022. Vol. 67. No 1. P. 65-80.
11. Камачкин А.М., Потапов Д.К., Евстафьева В.В. Неподвижные точки отображения, порожденного системой обыкновенных дифференциальных уравнений с релейным гистерезисом // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. No 4. С. 456-469.
В последние годы активно применяют гистерезисные блоки в качестве фильтрующих и регуляризирующих элементов сложной колебательной системы. Для исследования волновых явлений используют модели цепочек связанных осцилляторов (циклические структуры с обратной связью), которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями или дифференциальными уравнениями в частных производных. С прикладной точки зрения широкое распространение получили радиотехнические цепочки, используемые как фильтры для выделения или подавления сигналов с определенными частотами, и цепочки связанных осцилляторов как модели сплошных сред. Ниже отметим работы в данном направлении
1. Balanov Z., Kravetc P., Krawcewicz W., Rachinskii D. Equivariant degree method for analysis of Hopf bifurcation of relative periodic solutions: Case study of a ring of oscillators // J. Differ. Equ. 2018. Vol. 265. No 9. P. 4530-4574.
2. Камачкин А.М., Потапов Д.К., Евстафьева В.В. Динамика и синхронизация циклических структур осцилляторов с гистерезисной обратной связью // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Прикл. матем. Информ. Проц. упр. 2020. Т. 16. Вып. 2. С. 186-199.
3. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Synchronization in feedback cyclic structures of oscillators with hysteresis. Stability and Control Processes: SCP 2020. Lecture Notes in Control and Information Sciences – Proceedings. Springer, 2022. P. 119-125.
В обзорной статье
Leonov G.A., Shumafov M.M., Teshev V.A., Aleksandrov K.D. Differential equations with hysteresis operators. Existence of solutions, stability, and oscillations // Differ. Equ. 2017. Vol. 53. No 13. P. 1764-1816.,
посвященной исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений с гистерезисом с точки зрения современной нелинейной теории управления, приведено большое разнообразие определений гистерезиса, в которых учитываются специфические свойства гистерезисных операторов, моделирующих феномены и процессы различной природы и меняющихся в зависимости от области приложения, подхода и методов исследования конкретного автора. Отмечено, что теория существования и единственности решений детально разработана для дифференциальных уравнений с непрерывными гистерезисными операторами, но подобной теории нет для разрывных систем с гистерезисом. Проблема изучения колебаний в многомерных гистерезисных системах упомянута как особо сложная. В силу того, что параметры, от которых зависит динамическое поведение гистерезисных систем, задаются с некоторой точностью и могут меняться в процессе эксплуатации системы, актуальными являются вопросы существования ограниченных и неограниченных режимов, а также вопросы устойчивости и неустойчивости этих режимов при вариации параметров. Развитие идей и подходов, связанных с управлением неустойчивых колебательных систем с гистерезисом, в настоящее время имеет место в робототехнике и космических технологиях, см., к примеру, работу
Медведский А.Л., Мелешенко П.А., Нестеров В.А., Решетова О.О., Семенов М.Е., Соловьев А.М. Неустойчивые колебательные системы с гистерезисом: задачи стабилизации и управления // Изв. РАН. ТиСУ. 2020. No 4. С. 58-82.
Проблема неограниченных решений обсуждается в статье
Solovyov A.M., Semenov M.E., Meleshenko P.A., Reshetova O.O., Popov M.A., Kabulova E.G. Hysteretic nonlinearity and unbounded solutions in oscillating systems // Proc. Engin. 2017. Vol. 201. P. 578-583.
Следует отметить еще две важные работы последних лет о системах с гистерезисом и приложениях
1. Botkin N.D., Brokate M., El Behi-Gornostaeva E.G. One-phase flow in porous media with hysteresis // Physica B: Condensed Matter. 2016. Vol. 486. P. 183-186.
2. Arnold M., Begun N., Gurevich P., Kwame E., Lamba H., Rachinskii D. Dynamics of discrete time systems with a hysteresis stop operator // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 2017. Vol. 16. No 1. P. 91-119.
Данный проект предполагает развитие указанных выше современных направлений исследований. В отличие от работ других авторов планируется ослабление ограничений на множество точек разрыва нелинейности (ненулевая мера этого множества), кроме того, изучение решений как с определенными свойствами, так и заданными наперед параметрами, исследование аппроксимирующих задач и задач управления, а также рассмотрение обобщений уравнений на вариационные неравенства и системы. Ожидаемые нами научные результаты по ряду позиций будут опережать аналогичные мировые разработки в данной области знаний.
Предлагаемые методы и подходы, общий план работы на весь срок выполнения проекта и ожидаемые результаты:
Проблему существования решений задач Штурма-Лиувилля с разрывными нелинейностями предполагается исследовать вариационным методом и методом верхних-нижних решений, развитыми применительно к уравнениям с разрывными операторами. Для поиска приближенного решения одномерной задачи Гольдштика планируется использовать метод пристрелки. Неавтономные динамические релейные системы предполагается исследовать методами нелинейной теории колебаний. Используемые нами аналитические методы (метод точечных отображений, метод сечений пространства параметров, метод неподвижной точки, метод фазовых траекторий, метод припасовывания, методы решения систем трансцендентных уравнений) и подход, основанный на неособых преобразованиях систем с разрывными правыми частями (приводящих систему к диагональному виду или нормальной жордановой форме), позволяют проводить глубокий анализ пространства параметров и фазового пространства нелинейных систем, выписывать в явном виде зависимости значений точек и моментов времени переключения реле от параметров системы для рассмотрения вопросов существования/несуществования периодических и непериодических колебательных решений у систем с заданными параметрами. При исследовании задач на разрешимость будут применены современные методы нелинейного функционального анализа. Задачи с разрывными правыми частями будут изучаться в тех случаях, когда широко используемые методы нелинейного анализа не могут быть применимы. В связи с этим предполагаем разработку новых подходов к решению задач нелинейного анализа. Методы и подходы, которые планируется использовать, отвечают современному уровню математической строгости, соответствуют поставленным задачам и отличаются гибкостью к модификациям.
Общий план работ на весь срок выполнения проекта:
1 год. 1.1. Исследование задачи Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью и одномерной задачи Гольдштика (исполнители Потапов Д.К., Басков О.В.).
1.1.1. Исследовать проблему близости решений аппроксимирующей задачи с непрерывной нелинейностью к решениям исходной задачи Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью.
1.1.2. Поставить задачи управления и предложить подход исследования этих задач на разрешимость; изучить топологические свойства множества допустимых пар «управление - состояние» для задачи Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью.
1.1.3. Исследовать разрешимость вариационного неравенства в задаче Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью.
1.1.4. Полученные на этапах 1.1.1-1.1.3 результаты применить к одномерному аналогу модели Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости. Дополнительно установить некоторые свойства решений данной задачи, а также свойства функционала энергии при различных значениях параметра завихренности. Найти приближенное решение исследуемой задачи.
1.2. Исследование одного класса релейных систем с гистерезисом и периодическим внешним возмущением. Решение задачи Коши (исполнители Евстафьева В.В., Гусева М.Ю.).
1.2.1. Исследовать аналитическими методами систему обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности с постоянной матрицей в линейной части и релейной нелинейностью гистерезисного типа и непрерывной
периодической функцией возмущения общего вида в нелинейной части. Решить задачу Коши, в которой рассмотреть непрерывные решения системы с двумя точками переключения в фазовом пространстве и переходом с одной
поверхности переключения на другую поверхность в интегральном пространстве за равные промежутки времени. Исследовать конфигурацию решения, при которой поверхности переключения не пересекаются.
1.2.2. Изучить вопрос существования колебательных решений с различными частотами, соизмеримыми с частотой функции возмущения.
За 1 год в исследованиях предполагается использовать вариационный метод, метод пристрелки, методы нелинейной теории колебаний и теории динамических систем, методы решения систем трансцендентных уравнений.
2 год. 2.1. Исследование несамосопряженной и со смешанными граничными условиями задач Штурма-Лиувилля с разрывными нелинейностями. Исследование уравнения с разрывным нелинейным оператором и параметром (исполнители Потапов Д.К., Басков О.В.).
2.1.1. Применить метод верхних-нижних решений к исследованию разрешимости нелинейной задачи Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью без условия формальной самосопряженности дифференциального оператора.
Получить достаточные условия разрешимости исследуемой несамосопряженной краевой задачи.
2.1.2. Рассмотреть задачи с параметрами для уравнений с разрывными нелинейными операторами в коэрцитивном случае. Получить улучшенные оценки бифуркационных параметров и норм операторов для исследуемых задач.
2.1.3. Исследовать задачу Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью, в которой вместо граничных условий рассмотреть равенство значений функции и ее первых производных на концах отрезка.
2.2. Анализ пространства параметров автоматической системы с релейным управлением. Синтез законов управления (исполнители Евстафьева В.В., Гусева М.Ю.).
2.2.1. Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих релейную характеристику с отрицательным гистерезисом и функцию возмущения, изучить существование ограниченных непериодических решений в зависимости от собственных чисел постоянной матрицы системы, используя канонические преобразования, методы решения систем трансцендентных уравнений и метод фазовых траекторий.
2.2.2. Исследовать пространство параметров неавтономной автоматической системы управления, которая описывается n-мерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, с релейным гистерезисом. Рассмотреть нелинейность в качестве управления. Принимая за параметры пороговые числа и выходные значения релейной характеристики с зоной неоднозначности, провести анализ влияния размера и расположения петли гистерезиса на
количество решений.
2.2.3. Предложить подход к поиску точек "склейки" на поверхностях разрыва и построению в фазовом пространстве непериодических колебательных решений с различными частотами и простейшим поведением. Предполагается в
подходе использовать метод сечений пространства параметров, метод припасовывания и метод фазовых траекторий.
Ожидаемые результаты:
1 год. Планируется рассмотреть непрерывную аппроксимацию задачи Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью (аппроксимирующая задача получается из исходной малыми возмущениями спектрального параметра и аппроксимацией нелинейности каратеодориевыми функциями). С помощью вариационного метода предполагается доказать теорему о близости решений исходной и аппроксимирующей задач. Планируется установить новые теоремы существования решений соответствующих задач управления и о топологических свойствах множества допустимых пар «управление - состояние». Предполагается также доказать теоремы существования полуправильных решений и об оценке сверху величины бифуркационного параметра для вариационного неравенства в задаче Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью. В качестве приложения рассмотрим одномерный аналог модели Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости. Используя метод пристрелки, планируется найти приближенное решение и установить некоторые свойства решений исследуемой задачи. В задаче с гистерезисной нелинейностью и периодическим возмущением предполагается разработать подход к поиску одного типа непериодических колебательных решений, которые периодически возвращаются на поверхности переключения, а время возврата соизмеримо с периодом функции возмущения. Планируется доказать критерий существования непериодических колебательных решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейностью типа неидеального реле и периодическим возмущением общего вида. Предполагается сформулировать и доказать новую теорему существования ограниченных решений для функции возмущения специального вида, а именно, укороченного ряда Фурье, и кроме того, построить численный пример, подтверждающий конструктивность условий полученной теоремы существования.
2 год. Методом верхних-нижних решений планируется доказать теорему существования решений задачи Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью без условия формальной самосопряженности дифференциального оператора.
Получить теоремы об оценках бифуркационных параметров и норм операторов для уравнения с параметром и разрывным оператором в коэрцитивном случае. Доказать теоремы существования периодических решений для задачи
Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью и смешанными граничными условиями. Используя канонические преобразования, методы решения систем трансцендентных уравнений и метод фазовых траекторий, планируется
получить достаточные условия существования непериодических колебательных решений в зависимости от собственных чисел матрицы системы обыкновенных дифференциальных уравнений с гистерезисной релейной характеристикой. Построить законы управления возмущенной автоматической системой с определенными динамическими свойствами. Установить зависимость между количеством решений и размером, а также расположением
зоны неоднозначности в релейной характеристике. Разработать алгоритм поиска точек на поверхностях переключения и построения непериодических колебательных решений в фазовом пространстве, в том числе заданной конфигурации.
Имеющийся у научного коллектива научный задел по проекту, наличие опыта совместной реализации проектов:
В 2000-2012 гг. Д.К. Потаповым установлены новые теоремы о существовании луча положительных собственных значений, об оценках величины бифуркационного параметра и нормы оператора для уравнений с разрывными операторами, а также их приложения к задачам на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными по фазовой переменной нелинейностями. Кроме того, доказаны теоремы о сходимости в равномерной метрике решений аппроксимирующей задачи с непрерывной нелинейностью к решению исходной задачи с разрывной нелинейностью основных краевых задач для уравнений эллиптического типа со спектральным параметром и разрывной нелинейностью. Исследована математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости М.А. Гольдштика. В 2010-2011 гг. изучен вопрос о «разделяющем» множестве для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями. В 2011-2013 гг. получены теоретические результаты для задач управления, а также о числе решений в спектральных задачах для уравнений с разрывными правыми частями. В 2012-2013 гг. результаты о разрешимости уравнений с разрывными операторами обобщены на спектральные задачи для вариационных неравенств с разрывными операторами. В 2013-2014 гг. теоретические результаты приложены к задачам гидродинамики (М.А. Лаврентьева) и электрофизики (H.J. Kuiper). В 2014-2016 гг. исследовались обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с разрывными правыми частями, опубликованы 2 работы в журнале "Дифференциальные уравнения", глава в коллективной монографии (издательство Cambridge Scientific Publishers) по существованию решений задачи Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью и в соавторстве с А.М. Камачкиным и В.В. Евстафьевой 3 статьи в журнале "Electronic Journal of Differential Equations" по проблеме существования и несуществования периодических решений изучаемых уравнений. Результаты этих исследований планируется развивать в рамках данного проекта. В 2015-2021 гг. исследовались эллиптические краевые задачи с параметрами и разрывными нелинейностями (полученные результаты опубликованы в 13 работах в соавторстве с В.Н. Павленко в журналах "Математический сборник", "Математические труды", "Математические заметки", "Сибирский математический журнал", "Дифференциальные уравнения", "Известия РАН. Серия математическая", "Челябинский физико-математический журнал"). В 2017-2022 гг. в соавторстве с А.М. Камачкиным и В.В. Евстафьевой в журналах "International Journal of Robust and Nonlinear Control", "Electronic Journal of Differential Equations", "Journal of Dynamical and Control Systems", "International Journal of Control", "Applications of Mathematics", опубликованы 5 работ по проблеме существования периодических решений гистерезисной системы с синусоидальным внешним воздействием. Дополнительно, изучалась динамика и синхронизация циклических структур осцилляторов с гистерезисной обратной связью (совместно с А.М. Камачкиным и В.В. Евстафьевой в 2020 г. опубликована статья в журнале "Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления", а в 2022 г. - глава в коллективной монографии в "Lecture Notes in Control and Information Sciences"). В 2021 г. предложен метод преобразования систем автоматического управления к интегрируемой форме, который опубликован в совместной с А.М. Камачкиным и В.В. Евстафьевой статье в журнале "Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления". В 2022 г. по проблеме существования неподвижных точек отображения, порожденного системой обыкновенных дифференциальных уравнений с релейным гистерезисом в соавторстве с А.М. Камачкиным и В.В. Евстафьевой опубликована статья в журнале "Дифференциальные уравнения". В ходе выполнения проекта планируется развитие данных результатов для систем автоматического управления с релейными характеристиками. Полученные ранее результаты Д.К. Потапова для уравнений с разрывными правыми частями опубликованы в 124 научных работах (в их число входят 50 статей из перечня российских рецензируемых научных журналов и 2 рецензируемые монографии; 43 публикации включены в международные базы цитирования). В этих работах разработаны вариационный метод и метод монотонных операторов, развита теория топологической степени, метод верхних-нижних решений применительно к спектральным задачам для уравнений и вариационных неравенств с разрывными правыми частями. Развитые методы исследования цитируются в современных научных публикациях 2011-2022 гг. других авторов (индекс Хирша по РИНЦ Д.К. Потапова равен 14, общее количество цитирований - 583).
Доцент В.В. Евстафьева более 30 лет занимается исследованием динамики возмущенных систем управления с неоднозначными нелинейностями. Ею внесен значительный вклад в развитие методов нелинейной теории колебаний, общей теории динамических систем и применение канонических преобразований систем. Индекс Хирша по РИНЦ В.В. Евстафьевой равен 9, общее количество цитирований - 181.
Помимо совместных научных публикаций в 2016-2018 гг. Д.К. Потапов и В.В. Евстафьева совместно проводили экспертизы исследовательских работ по следующим темам:
1) «Позиционный регулятор для бытовых устройств с запаздыванием» (договор с ООО «Концепт техника»);
2) «Системы автоматического управления различными типами раздвижных дверей» (договор с ООО «Респект»).
Предыдущая научная работа доцента О.В. Баскова посвящена алгоритмам сужения множества Парето на основе информации о предпочтениях лиц, принимающих решения. Индекс Хирша по РИНЦ О.В. Баскова - 3, общее количество цитирований - 39. Имеет опыт реализации проектов в качестве исполнителя. В рамках данного проекта предполагается привлечение молодого ученого О.В. Баскова к новой перспективной научной тематике - исследованию уравнений с разрывными правыми частями.
В рамках данного проекта предполагается привлечение студента очной формы обучения М.Ю. Гусевой к научным исследованиям систем обыкновенных дифференциальных уравнений с гистерезисной релейной нелинейностью и численным реализациям.
Информация для ЕГИСУ НИОКТР:
Имеющийся у коллектива исполнителей научный задел по проекту:
В 2020-2022 гг. Д.К. Потаповым исследовались эллиптические краевые задачи и эллиптические системы с параметрами и разрывными нелинейностями. Полученные теоремы о существовании решений изучаемых задач опубликованы в 8 работах в соавторстве с В.Н. Павленко в журналах "Известия РАН. Серия математическая", "Дифференциальные уравнения", "Математический сборник", "Математические заметки", "Челябинский физико-математический журнал". В 2020-2022гг. Д.К. Потаповым в соавторстве с А.М. Камачкиным и В.В. Евстафьевой в журналах "International Journal of Control" и "Applications of Mathematics" опубликованы 2 статьи по проблеме существования периодических и ограниченных решений гистерезисных систем с внешним воздействием. Дополнительно, изучалась динамика и синхронизация циклических структур осцилляторов с гистерезисной обратной связью (совместно с А.М. Камачкиным и В.В. Евстафьевой в 2020 г. опубликована статья в журнале "Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления", а в 2022 г. – глава в коллективной монографии в "Lecture Notes in Control and Information Sciences"). В 2021 г. предложен метод преобразования систем автоматического управления к интегрируемой форме, который опубликован в совместной с А.М. Камачкиным и В.В. Евстафьевой статье в журнале "Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления". В 2022 г. по проблеме существования неподвижных точек отображения, порожденного системой обыкновенных дифференциальных уравнений с релейным гистерезисом в соавторстве с А.М. Камачкиным и В.В. Евстафьевой опубликована статья в журнале "Дифференциальные уравнения". В 2021 г. В.В. Евстафьевой опубликованы 3 работы в журналах "Дифференциальные уравнения", "Математические заметки" и "Украинский математический журнал" о существовании двухточечно-колебательных решений возмущенных релейных систем с гистерезисом. Предыдущая научная работа О.В. Баскова посвящена алгоритмам сужения множества Парето на основе информации о предпочтениях лиц, принимающих решения. О.В. Басков имеет опыт реализации проектов в качестве исполнителя. В рамках данного проекта предполагается привлечение молодого ученого О.В. Баскова к новой перспективной научной тематике - исследованию уравнений с разрывными правыми частями. В рамках данного проекта предполагается также привлечение студента очной формы обучения М.Ю. Гусевой к научным исследованиям систем обыкновенных дифференциальных уравнений с гистерезисной релейной нелинейностью и численным реализациям.
Публикации:
1. Павленко В.Н., Потапов Д.К. Об одном классе эллиптических краевых задач с параметром и разрывной нелинейностью // Изв. РАН. Сер. матем. 2020. Т. 84. № 3. С. 168-184.
2. Камачкин А.М., Потапов Д.К., Евстафьева В.В. Динамика и синхронизация циклических структур осцилляторов с гистерезисной обратной связью // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2020. Т. 16. Вып. 2. С. 186–199.
3. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Existence of periodic modes in automatic control system with a three-position relay // Int. J. Control. 2020. Vol. 93. № 4. P. 763-770.
4. Евстафьева В.В. О существовании двухточечно-колебательных решений возмущенной релейной системы с гистерезисом //Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 2. С. 169-178.
5. Евстафьева В.В. Существование T/k-периодических решений нелинейной неавтономной системы с кратным собственным числом матрицы //Матем. заметки. 2021. Т. 109. Вып. 4. С. 529-543.
6. Євстаф’єва В.В. Iснування двоточково-коливних розв’язкiв релейної неавтономної системи з кратним власним числом дiйсної симетричної матрицi //Укр. мат. журн. 2021. Т. 73. № 5. С. 640-650.
7. Камачкин А.М., Потапов Д.К., Евстафьева В.В. Метод преобразования сложных систем автоматического управления к интегрируемой форме // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2021. Т. 17. Вып. 2. С. 196-212.
8. Павленко В.Н., Потапов Д.К. Полуправильные решения эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями экспоненциального роста // Матем. сб. 2022. Т. 213. № 7. С. 121-138.
9. Камачкин А.М., Потапов Д.К., Евстафьева В.В. Неподвижные точки отображения, порожденного системой обыкновенных дифференциальных уравнений с релейным гистерезисом // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 4. С. 456-469.
10. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Continuous dependence on parameters and boundedness of solutions to a hysteresis system // Appl. Math. 2022. Vol. 67. № 1. P. 65-80.
Доклады по тематике исследования на международных научных семинарах и конференциях:
1. Евстафьева В.В. Теорема существования одного типа колебательных решений возмущенной системы с реле // XIII Белорусская математическая конференция: Материалы Междунар. научн. конф. Ч. 1. Минск: Беларуская навука, 2021. С. 44.
2. Павленко В.Н., Потапов Д.К. О решениях задачи Купера // Седьмые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Материалы Междунар. науч. конф., посвящ. 100-летию со дня рождения проф. Ю.С. Богданова. Минск: Институт математики НАН Беларуси, 2021. С. 185-187.
3. Павленко В.Н., Потапов Д.К. О решениях задачи Дирихле для квазилинейного уравнения эллиптического типа с параметром и разрывной нелинейностью // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Материалы 10-го Междунар. семинара. Минск: Институт математики НАН Беларуси, 2021. С. 64.
4. Павленко В.Н., Потапов Д.К. Уравнения эллиптического типа с разрывными нелинейностями экспоненциального роста // Уфимская осенняя математическая школа: Материалы Междунар. науч. конф. Т. 2. Уфа: Аэтерна, 2021. С. 73-75.
5. Камачкин А.М., Потапов Д.К., Евстафьева В.В. Непрерывная зависимость от параметров и ограниченность решений систем с гистерезисом // Еругинские чтения – 2022: Материалы XX Междунар. науч. конф. по дифференц. уравнениям. Ч. 1. Новополоцк: Полоцкий государственный университет, 2022. С. 95-97.