Научная проблема, на решение которой направлен проект
Проект направлен на решение фундаментальной проблемы механики деформируемых сред, содержащих наноструктурные элементы в виде пор, включений, инородных образований, возмущенных участков межфазной поверхности и поверхности тела, а также наноразмерных тел (нанопластина, нанополоса, нанопроволока, наночастица). Важнейшим направлением исследований в рамках указанной проблемы является разработка и построение передовых методов и подходов в изучении влияния механических, физических и химических свойств новых материалов на поведение этих материалов при воздействии внешних и внутренних полей возмущений. В проекте предусмотрено решение комплекса конкретных задач теории упругости и изгиба тонкостенных структур на наноуровне с целью получения новых результатов при исследовании упругих полей в окрестности нанодефектов внешних и внутренних поверхностей твердого тела, обладающих особыми упругими свойствами (поверхностной энергией), механизма образования наноразмерных неровностей на поверхности или интерфейсе под действием диффузионных процессов, нелинейного изгиба и устойчивости нанопластин, учитывающих поверхностную энергию с помощью различных теорий поверхностной упругости, процессов релаксации в пентагональных нанопроволоках, приводящие к увеличению доли их свободной поверхности за счет образования в них внутренних полостей.

Актуальностьпроблемы, научная значимость решения проблемы
Концентрация напряжений, вызванная различными дефектами, существующими в материалах и конструкциях, является одной из причин выхода устройства из строя. Большинство современных конструкционных и функциональных материалов упруго неоднородны. Во многих из них имеются удлиненные полости или включения, близкие к цилиндрической форме. Техническими примерами таких высокопористых материалов являются фотонные кристаллы с регулярной однонаправленной упаковкой цилиндрических полостей, объемные монокристаллы карбида кремния и нитрида галлия, содержащие неравномерное распределение микро- и нанотрубок. Естественными примерами являются иерархические композиты типа дентина зубов человека с однонаправленной упаковкой дентинных канальцев, а также спеченная керамика с хаотической сетью пор, которые простираются вдоль тройных соединений границ зерен. Типичными представителями неоднородных материалов с удлиненными включениями являются целые классы волокнистых композитов с металлическими, полимерными и керамическими матрицами. В этих материалах волокна разного масштаба, диаметром от сотен микрон до нескольких нанометров, распределены по-разному. Прочность и физико-химические свойства материалов в значительной степени зависят от особенностей напряженно-деформированного состояния приповерхностных и приграничных слоев в неоднородных системах. Развитие процессов пластической деформации и разрушения в этих областях определяет механическое поведение материала в целом и поэтому представляет большой интерес. Важно подчеркнуть, что традиционное рассмотрение микро- и наноразмерных полостей и включений в рамках классической теории упругости может привести к неточностям в определении уровней действующих деформаций и напряжений. В то же время состояние межфазной поверхности во многих микроэлектронных и оптических устройствах имеет первостепенное значение, особенно на наноструктурном уровне.

Конкретная задача в рамках проблемы, на решение которой направлен проект, ее масштаб
Конкретной задачей в рамках поставленной проблемы является разработка новых теоретических методов исследования наноструктурных материалов. Масштаб и комплексность указанной проблемы определяется рассмотрением широкого круга вопросов:

• исследование механизма образования наноразмерных неровностей на плоской и круговой цилиндрической поверхностях твердого тела под действием диффузионных процессов в рамках новой модели, содержащей уточненные определяющие соотношения материала поверхности;

• разработка универсального метода, позволяющего исследовать напряженно-деформированное состояние тела с наноразмерными искривлениями свободной и межфазной плоской поверхности при использовании точной модели поверхностной упругости Гертина-Мердока;

• построение уточненной теоретической модели образования неровностей на межфазной поверхности твердого тела под действием диффузионных процессов с учетом поверхностной энергии по модели Гертина-Мердока;

• Построение модели почти кругового цилиндрического дефекта (канала, включения) при учете поверхностного напряжения и поверхностного натяжения и разработка общего подхода к исследованию упругого поля в окрестности такого дефекта;

• разработка теоретических моделей эволюции внутренних пор в пентагональных нанопрволоках, описывающих кинетику их роста и сокращения (залечивания) в поле остаточных напряжений в случаях объемной и зернограничной диффузии.

• построение модели нелинейного изгиба и исследование устойчивости нанопластин при учете поверхностной энергии с помощью различных теорий поверхностной упругости

Научная новизна поставленной задачи, обоснование достижимости решения поставленной задачи и возможности получения запланированных результатов

В предложенной постановке задачи ставятся впервые. В процессе выполнения проекта будут получены новые аналитические решения граничных задач, на основе которых будут разработаны новые теоретические модели, описывающие структурные изменения и упругие свойства наноматериалов, а именно: образование рельефа нанометрового размера на свободной и межфазной поверхности твердого тела и поля напряжений в окрестности такого рельефа при учете упругой энергии поверхности по полной модели Гертина-Мердока; образование полости в пентагональных нанопроволоках за счет релаксации остаточных упругих напряжений; поведение тонкостенных наноструктур, в том числе содержащих наноразмерные неоднородности, при плоском напряженном состоянии и изгибе в условиях однородных и неоднородных упругих полей при использовании различных моделей поверхностной упругости.
Поставленные в проекте задачи представляются вполне достижимыми в силу:
• имеющегося у членов коллектива научного задела и большого опыта совместного решения подобных научных проблем;
• корректной постановки соответствующих краевых и начально-краевых задач;

Современное состояние исследований по данной проблеме

Обзор современного состояния исследований по проблеме, сформулированной в проекте, состоит из трех блоков, содержание которых объединено единой направленностью – исследованием упругого поведения и упругих свойств наноразмерных объектов и наноструктур. В первом блоке приводится цикл работ по методам решения проблем образования наноразмерного рельефа на внешней свободной поверхности или интерфейсе под действием диффузии и исследованию упругих полей в окрестности подобного рода нанодефектов. Второй блок касается проблемы зарождения и роста пор в наночастицах и нанопроволоках и различных методов, связанных с изучением процессов эволюции пор в наночастицах. В третьем блоке дается подробное описание изгибных свойств тонкостенных наноструктур и публикаций по проблемам изгиба и устойчивости пластин нанометровой толщины при использовании различных моделей поверхностной упругости.
• планируемого использования для их численного и численно-аналитического решения хорошо зарекомендовавших себя методов математической физики, таких, как метод комплексных переменных, метод возмущений границы, метод граничных интегральных уравнений;
• применения в ходе решения программных комплексов Maple, Matlab, Mathematica, широко распространенных в современных научных исследованиях.
Впервые проблема эволюции рельефа поверхности твердого тела, находящегося в напряженном состоянии, была рассмотрена Азаро и Тиллером [1] при анализе роли поверхностной диффузии и поверхностного растворения через прилегающую жидкость в процессе коррозионного растрескивания. Подобное исследование проводилось также независимо Гринфельдом [2] и Сроловицем [3]. Полученные теоретические результаты были подтверждены многочисленными экспериментальными исследованиями, например [4, 5]. Стоит отметить, что в модели морфологической неустойчивости Азаро-Тиллера-Гринфельда (АТГ) рост рельефа происходил вследствие действия поверхностной диффузии, определяемой производной химического потенциала вдоль поверхности. При этом, изменение градиента химического потенциала было связано с изменением локальной кривизны поверхности и, как следствие, поля упругих напряжений. Другим фактором, влияющим на морфологическую неустойчивость свободной поверхности твердого тела и границы соединения двух материалов, является электрическое поле. Морфологическая неустойчивость поверхности, вызванная электростатическими силами, была исследована в работах [6, 7]. В [8, 9, 10] была разработана теоретическая модель, описывающая морфологическую неустойчивость границы соединения двух материалов под действием электрического тока и механических напряжений, возникающих из-за искривления межфазной поверхности. К настоящему времени проведено большое количество исследований, обобщающих модель АТГ для описания эволюции свободных и межфазных поверхностей в пленочных структурах и твердых телах с пустотами и микроканалами, неоднородностями цилиндрической и сферической формы [11-16].Однако, в большинстве вышеперечисленных теоретических работ влиянием упругих свойств свободной и межфазной поверхностей пренебрегалось, при этом поверхностная энергия в процессе эволюции рельефа считалась неизменной. Хотя, как было показано в экспериментальных работах [17-20] поверхностная упругость существенно влияет на процесс деформации и разрушения наноматериалов. Расчеты, проведенные с помощью метода молекулярной динамики в работах [21, 22], подтвердили эту гипотезу и позволили развить подход, описывающий деформируемое твердое тело как многоуровневую систему, где поверхностные слои рассматриваются как отдельные подсистемы, обладающие физическими и механическими свойствами отличными от основного материала объемной части. Развитию соответствующих математических моделей и решению проблем континуальной механики, связанных с деформированием и разрушением тел на наномасштабном уровне посвящены, например, работы [23-29]. Здесь стоит отдельно выделить работы авторов, принимающих участие в данном проекте [30-33] (Q1) и [34] (Q2). В работе [35] (Q2) на основе разработанного ранее подхода в [30] к решению задачи о напряженно-деформированном состоянии твердого тела с наноразмерным рельефом поверхности был изучен процесс эволюции этого рельефа под действием диффузионных процессов. Однако, в силу предложенных гипотез не учитывалось действие нормальных поверхностных напряжений, что несколько ограничивает применимость разработанной модели.Следует обратить внимание на то, что существуют и другие методы к решению поставленных задач. Так, [36-38] использовался метод конечных элементов, а в исследованиях [39-41] - метод молекулярной динамики. Несмотря на то, что оба этих метода являются довольно мощными инструментами для исследования подобных проблем, наиболее простой и эффективный способ основан на использовании аналитических моделей.Другой важной проблемой является изучение процессов зарождение и роста пор в наночастицах и нанопроволоках. К настоящему моменту опубликовано большое число экспериментальных обзоров, посвященных различным аспектам синтеза и роста полых наноструктур, а также влиянию внутренних полостей на функциональные свойства наноструктур [42-47]. К сожалению, только небольшое число работ посвящено теоретическим аспектам зарождения и роста пор в наночастицах и нанопроволоках. По всей видимости это связано с недостаточной разработанностью математических средств для описания кинетики роста пор.Процессы зарождения и роста пор в наноструктурах определяются различными факторами, в частности, кристаллическим строением [48], диффузией химических компонентов [49], присутствием источников и стоков вакансий [50], поверхностными и объемными упругими напряжениями [51]. Многие ученные теоретически исследовали эволюцию пор в биметаллических наночастицах со структурой типа сплава [52-54], интерметаллида [52,55] и «ядро-оболочка» [56-59] как результат конкуренции двух эффектов: Киркендалла и Гиббса-Томсона. Другие исследователи сконцентрировались на проблеме теоретического описания стабильности пор в однокомпонентных системах таких, как монокристаллические [52,60-62], поликристаллические [63] и пентагональные [64-68] (многократно-двойникованные) частицы.В случае пентагональных частиц неоднородные упругие поля напряжений, обусловленные наличием осей симметрии пятого порядка, могут провоцировать спонтанное зарождение и рост внутренней полости. Изначально данный механизм релаксации неоднородных напряжений был предсказан теоретически в работе [64], а затем получил прямое экспериментальное подтверждение в икосаэдрических, декаэдрических частицах и пентагональных проволоках [69,70]. Также поры в пентагональных частицах могут образовываться вследствие наноразмерного эффекта Киркендалла [71-73] и при облучении электронным пучком [74,75]. В работах [74,75] продемонстрирован эффект залечивания пор со временем в декаэдрических наночастицах золота и серебра малого размера (~10 нм).Кинетика процессов эволюции пор в наночастицах может быть описана с точки зрения теории диффузии [52-55, 58- 60,62,63,65,66] и диссипации энергии [56,57,61], а также с помощью компьютерного моделирования методом Монте-Карло [52]. В случае пентагональных частиц большое распространение получили модели, основанные на квази- энергетическом подходе, позволяющем определить критические (необходимые) условия зарождения полости вследствии релаксции упругих напряжений в классической [64, 67] и градиентной [68] постановке. К недостаткам таких моделей [64,67,68] следует отнести отсутствие учета влияния диффузии вакансий на процесс роста внутренней полости. Диффузионные модели, описывающие кинетику роста новой фазы (в частности, пор) в поле остаточных напряжений пентагональных частиц, ограничены работами [65,66], имеющими ряд недостатков. Во-первых, в работах не анализируется влияние поверхностной энергии (эффект Гиббса-Томсона) на кинетику превращения, хотя хорошо известно, что с термодинамической точки зрения рост полости в наночастицах невыгоден, так как приводит к увеличению полной энергии системы. Во-вторых, в моделях [65,66] не учитывается изменение внешнего размера наночастиц при зарождении и росте полости, что в свою очередь приводит к заниженным результатам в части скорости диффузии компонентов. В-третьих, модели [65, 66] описывают кинетику начальной стадии зарождения внутренний полости в пентганальных частицах и не способны предсказать оптимальный размер полости и время за которое система придет в равновесное состояние.Таким образом, разработка новых теоретических моделей, описывающих стадии зарождения и эволюции внутренней полости в пентагональных нанопрволоках – актуальная и значимая научная задача, решение которой должно быть получено с учетом объемной и зернограничной диффузии вакансий в поле неоднородных напряжений.Изучение изгибных свойств тонкостенных наноструктур активно развивалось с начала XXI века одновременно с осознанием того факта, что на наноразмерном уровне упругие свойства поверхности отличаются от хорошо изученных упругих свойств объемной фазы. Появление полноценной континуальной модели поверхностной упругости ГертинаМердока [23, 76] потребовало определенного времени, чтобы интегрировать ее в двумерные модели изгиба тонкостенных наноструктур.К одной из первых работ по нелинейному изгибу нанопластин с учетом поверхностной упругости Гертина-Мердока относится [77]. Несмотря на допущенную ошибку (опущено условие сопряжения закона Юнга-Лапласа в поперечном направлении), в ней были обозначены основные элементы - эффективные мембранные силы и изгибающие моменты, определяющие соотношения для них, которые послужили основой для большинства последующих работ, учитывающих различные дополнительные механические и физические эффекты.Попытку устранить ошибку в [77] предприняли в [78], где предлагалось учесть опущенное поверхностное натяжение за счет расширения гипотезы Кирхгофа на σzz, которым в теории пластин пренебрегают по сравнению с другими нормальными напряжениями. Эффект от такого учета поверхностного натяжения, оказался мизерным (менее 1%). Однако формально вопрос об учете опущенного условия закона Юнга-Лапласа был закрыт и привел к мнению, что поверхностное натяжение не вносит существенный вклад в изгиб тонкостенных наноструктур. В результате широкое распространение получила упрощенная (деформационная) модель Гертина-Мердока, не учитывающая поверхностное натяжение.Такой подход использовался для моделирования изгиба нано-пластин и оболочек в работах [79-81] при поперечном сдвиге (линейная модель), в [82] при учете остаточного натяжения, в [83] для ламинированного покрытия, в [84] при учете поверхностной целостности, в работах участников проекта [85](Q3) и [86](Q2) при выпучивании с учетом поверхностных напряжений на торцах кругового отверстия (задача Кирша), в [87] при свободных колебаниях с учетом поперечного сдвига 3-го порядка. В том числе, на основе деформационной модели Гертина-Мердока участником проекта были исследованы жесткостные характеристики при выпучивании сжатой прямоугольной нанопластины (в зависимости от условий опирания) [88] и растянутого сосредоточенными силами нанокольца [89].Следует отметить, что при учете дополнительных физических эффектов, таких как влияние магнитного поля в [90] или вязкоупругости в [91], поверхностное натяжение все же начали учитывать. Окончательно разобраться в этом вопросе позволила работа одного из участников проекта [92] (Q1), в которой было показано, что поверхностное натяжение может существенно влиять на изгибные свойства нанопластины, в частности, на частоту свободных колебаний и на критическую нагрузку при выпучивании. Кроме этого, в последующей работе [93] (Q1) было показано, что учет нелинейности поверхностного натяжения позволяет моделировать закритическую деформацию нанопластины, не описываемую классической нелинейной теорией изгиба пластин фон Кармана.Вместе с тем, все большее внимание наномехаников при исcледовании тонкостенных наноструктур обращаются к модели поверхностных напряжений Стейгманна-Огдена [94,95]. В работе [96] методом атомистического моделирования было показано, что эффективные упругие свойства нанобалки при растяжении и при изгибе могут существенно отличаться, что не объясняется с позиции поверхностной упругости Гертина-Мердока. К общим математическим вопросам, а также к изучению эффективных изгибной жесткости при применении модели поверхностной упругости Стейгманна-Огдена обращаются в [97,98]. Однако поверхностное натяжение и нелинейные деформации не рассматриваются.Основные мировые научные конкуренты.В точности заявленные в проекте направления не разрабатываются ни одной из научных групп, однако, можно выделить несколько групп, проводящих исследования по наиболее близким темам:• H. L. Duan (Peking University, China) с соавторами получили результаты решения фундаментальных задач теории упругости для неоднородных материалов с поверхностными и межфазными эффектами, не затрагивая вопросов образования наноразмерного рельефа на поверхности/интерфейса и исследования упругих полей в окрестности такого рельефа.• D.J. Srolovitz (City University of Hong Kong, Department of Materials Science and Engineering, Hong Kong, China) с соавторами разработал ряд теоретических моделей, описывающие морфологическую неустойчивость свободной и межфазной поверхности твердого тела под действием поля механических напряжений и электрического тока [3,7,8]. Однако, при этом не было учтено влияние поверхностных/межфазных напряжений.• Т.М. Махвиладзе (Физико-технологический институт имени К.А. Валиева РАН, Лаборатория математического моделирования физико-технологических процессов микроэлектроники, Москва, Россия) с соавторами разработал теоретическую модель, описывающую морфологическую неустойчивость межфазной границы в неоднородном твердом теле под действием электрического тока [9,10]. При этом не было учтено влияние упругих напряжений.• И.С.Ясников, А.А.Викарчук (Тольяттинский государственный университет, Тольятти, Россия [68-70]) с соавторами занимались экспериментальным изучением структуры, в том числе механизмов релаксации остаточных напряжений, в пентагональных частицах и материалах на их основе с развитой поверхностью. Кроме того, предложили ряд квази- энергетических моделей формирования полости в классической и градиентной постановке;• L. Klinger & E. Rabkin (Israel Institute of Technology, Haifa, Israel [59,63]) с соавторами разработали ряд теоретических моделей, описывающих кинетику роста полости в неоднородных нанопроволоках и наночастицах вследствие зернограничной, межфазной и поверхностной диффузии атомов;• V.A.Eremeyev (Gda ́nsk University of Technology, Gda ́nsk, Poland), общие математические вопросы поверхностной упругости Гертина-Мердока и Стейгманна-Огдена, линейные модели тонкостенных наноструктур в наномеханике, изучение эффективных упругих свойств без учета поверхностного натяжения.• R.Ansari, (University of Guilan, Rasht, Iran) предложил нелинейные модели колебаний нанопластин без учета поверхностного натяжения. Список литературы.1. Asaro, R. J., & Tiller, W. A. (1972). Interface morphology development during stress corrosion cracking: Part I. Via surface diffusion. Metallurgical and Materials Transactions B, 3(7), 1789-1796.2. Grinfeld, M. A. (1993). The stress driven instability in elastic crystals: Mathematical models and physical manifestations. Journal of Nonlinear Science, 3(1), 35-83.3. Srolovitz, D. J. (1989). On the stability of surfaces of stressed solids. Acta metallurgica, 37(2), 621-625.4. Berrehar, J., Caroli, C., Lapersonne-Meyer, C., & Schott, M. (1992). Surface patterns on single-crystal films under uniaxial stress: Experimental evidence for the Grinfeld instability. Physical Review B, 46(20), 13487.5. Torii, R. H., & Balibar, S. (1992). Helium crystals under stress: the Grinfeld instability. Journal of Low Temperature Physics, 89(1-2), 391-400.6. Chiu, C. H., Poh, C. T., & Huang, Z. (2006). Morphological stability of the Stranski-Krastanow systems under an electric field. Applied physics letters, 88(24), 241906.7. Du, D., & Srolovitz, D. (2004). Electrostatic field-induced surface instability. Applied physics letters, 85(21), 4917-4919.8. Klinger, L., Levin, L., & Srolovitz, D. (1996). Morphological stability of a heterophase interface under electromigration conditions. Journal of applied physics, 79(9), 6834-6839.9. Goldstein, R. V., Makhviladze, T. M., & Sarychev, M. E. (2016). Instability of the interface between joint conducting materials under electrical current. Letters on Materials, 6(2), 98-101.10. Goldstein, R. V., Makhviladze, T. M., & Sarychev, M. E. (2018). Electromigration-Induced Instability of the Interface between Solid Conductors. Physical Mesomechanics, 21(4), 275-282.11. Aqua, J. N., Favre, L., Ronda, A., Benkouider, A., & Berbezier, I. (2015). Configurable Compliant Substrates for SiGe Nanomembrane Fabrication. Crystal Growth & Design, 15(7), 3399-3406.12. Colin, J., Grilhé, J., & Junqua, N. (1997). Morphological instabilities of a stressed pore channel. Acta materialia, 45(9), 3835- 3841.13. Duan, H. L., Weissmüller, J., & Wang, Y. (2008). Instabilities of core–shell heterostructured cylinders due to diffusions and epitaxy: spheroidization and blossom of nanowires. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 56(5), 1831-1851.14. Freund, L. B. (1995). Evolution of waviness on the surface of a strained elastic solid due to stress-driven diffusion. International journal of solids and structures, 32(6-7), 911-923.15. Kim, J. H., & Vlassak, J. J. (2007). Perturbation analysis of an undulating free surface in a multi-layered structure. International Journal of Solids and Structures, 44(24), 7924-7937.16. Shuvalov, G. M., & Kostyrko, S. A. (2017, December). Surface self-organization in multilayer film coatings. In AIP Conference Proceedings (Vol. 1909, No. 1, p. 020196). AIP Publishing LLC.17. Jing, G. Y., Duan, H., Sun, X. M., Zhang, Z. S., Xu, J., Li, Y. D., .. & Yu, D. P. (2006). Surface effects on elastic properties of silver nanowires: contact atomic-force microscopy. Physical review B, 73(23), 235409.18. Gunda, M., Kumar, P., & Katiyar, M. (2017). Review of mechanical characterization techniques for thin films used in flexible electronics. Critical Reviews in Solid State and Materials Sciences, 42(2), 129-152.19. Needs, R. J., Godfrey, M. J., & Mansfield, M. (1991). Theory of surface stress and surface reconstruction. Surface Science, 242(1-3), 215-221.20. Коротаев, А. Д., Мошков, В. Ю., Овчинников, С. В., Пинжин, Ю. П., Савостиков, В. М., & Тюменцев, А. Н. (2005). Наноструктурные и нанокомпозитные сверхтвердые покрытия. Физическая мезомеханика, 8(5).21. Miller, R. E., & Shenoy, V. B. (2000). Size-dependent elastic properties of nanosized structural elements. Nanotechnology, 11(3), 139.22. Головнев, И. Ф., Головнева, Е. И., Мержиевский, Л. А., Фомин, В. М., & Панин, В. Е. (2014). Молекулярно- динамическое исследование кластерной структуры и свойств ротационной волны в твердотельных наноструктурах. Физическая мезомеханика, (4).23. Gurtin, M. E., & Murdoch, A. I. (1975). A continuum theory of elastic material surfaces. Archive for rational mechanics and analysis, 57(4), 291-323.24. Mogilevskaya, S. G., Crouch, S. L., & Stolarski, H. K. (2008). Multiple interacting circular nano-inhomogeneities with surface/interface effects. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 56(6), 2298-2327.25. Duan, H. L., Wang, J., & Karihaloo, B. L. (2009). Theory of elasticity at the nanoscale. In Advances in applied mechanics (Vol. 42, pp. 1-68). Elsevier.26. Altenbach, H., Eremeyev, V. A., & Morozov, N. F. (2013). On the influence of residual surface stresses on the properties of structures at the nanoscale. In Surface Effects in Solid Mechanics (pp. 21-32). Springer, Berlin, Heidelberg.27. Javili, A., McBride, A., & Steinmann, P. (2013). Thermomechanics of solids with lower-dimensional energetics: on the importance of surface, interface, and curve structures at the nanoscale. A unifying review. Applied Mechanics Reviews, 65(1).28. Lurie, S., & Belov, P. (2014). Gradient effects in fracture mechanics for nano-structured materials. Engineering Fracture Mechanics, 130, 3-11.29. Eremeyev, V. A. (2016). On effective properties of materials at the nano-and microscales considering surface effects. Acta Mechanica, 227(1), 29-42.30. Grekov, M. A., & Kostyrko, S. A. (2016). Surface effects in an elastic solid with nanosized surface asperities. International Journal of Solids and Structures, 96, 153-161.31. Grekov, M. A., Sergeeva, T. S., Pronina, Y. G., & Sedova, O. S. (2017). A periodic set of edge dislocations in an elastic semi- infinite solid with a planar boundary incorporating surface effects. Engineering Fracture Mechanics, 186, 423-435.32. Kostyrko, S. A., & Grekov, M. A. (2019). Elastic field at a rugous interface of a bimaterial with surface effects. Engineering Fracture Mechanics, 216, 106507.33. Grekov, M. A., & Sergeeva, T. S. (2020). Interaction of edge dislocation array with bimaterial interface incorporating interface elasticity. International Journal of Engineering Science, 149, 103233.34. Kostyrko, S., Grekov, M., & Altenbach, H. (2019). Stress concentration analysis of nanosized thin-film coating with rough interface. Continuum Mechanics and Thermodynamics, 31(6), 1863-1871.35. Kostyrko, S., & Shuvalov, G. (2019). Surface elasticity effect on diffusional growth of surface defects in strained solids. Continuum Mechanics and Thermodynamics, 31(6), 1795-1803.36. He, D., & Huang, P. (2014). A finite-element analysis of intragranular microcracks in metal interconnects due to surface diffusion induced by stress migration. Computational materials science, 87, 65-71.37. Klepach, D., & Zohdi, T. I. (2014). Strain assisted diffusion: modeling and simulation of deformation-dependent diffusion in composite media. Composites Part B: Engineering, 56, 413-423.38. Moridi, A., Ruan, H., Zhang, L., & Liu, M. (2014). On the dependence of surface undulation on film thickness. Journal of Physics and Chemistry of Solids, 75(4), 500-504.39. Buehler, M. J., Yao, H., Gao, H., & Ji, B. (2006). Cracking and adhesion at small scales: atomistic and continuum studies of flaw tolerant nanostructures. Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering, 14(5), 799.40. Golovnev, I. F., Golovneva, E. I., & Fomin, V. M. (2008). Molecular dynamics calculation of thermodynamic properties of nanostructures. Physical Mesomechanics, 11(1-2), 19-24.41. Golovnev, I. F., Golovneva, E. I., Igoshkin, A. M., & Fomin, V. M. (2010). Molecular dynamics study of interfaces in solids. Physical Mesomechanics, 13(5-6), 249-254.42. Anderson, B. D., & Tracy, J. B. (2014). Nanoparticle conversion chemistry: Kirkendall effect, galvanic exchange, and anion exchange. Nanoscale, 6(21), 12195-12216.43. El Mel, A. A., Nakamura, R., & Bittencourt, C. (2015). The Kirkendall effect and nanoscience: hollow nanospheres and nanotubes. Beilstein journal of nanotechnology, 6(1), 1348-1361.44. Wang, X., Feng, J. I., Bai, Y., Zhang, Q., & Yin, Y. (2016). Synthesis, properties, and applications of hollow micro- /nanostructures. Chemical reviews, 116(18), 10983-11060.45. Yu, L., Yu, X. Y., & Lou, X. W. (2018). The Design and Synthesis of Hollow Micro‐/Nanostructures: Present and Future Trends. Advanced Materials, 30(38), 1800939.46. Soares, S. F., Fernandes, T., Daniel-da-Silva, A. L., & Trindade, T. (2019). The controlled synthesis of complex hollow nanostructures and prospective applications. Proceedings of the Royal Society A, 475(2224), 20180677.47. Feng, J., & Yin, Y. (2019). Self‐Templating Approaches to Hollow Nanostructures. Advanced Materials, 31(38), 1802349. 48. Yang, Z., Yang, N., & Pileni, M. P. (2015). Nano Kirkendall effect related to nanocrystallinity of metal nanocrystals: influence of the outward and inward atomic diffusion on the final nanoparticle structure. The Journal of Physical Chemistry C, 119(39), 22249-22260.49. Puente, A. P., Erdeniz, D., Fife, J. L., & Dunand, D. C. (2016). In situ X-ray tomographic microscopy of Kirkendall pore formation and evolution during homogenization of pack-aluminized Ni–Cr wires. Acta Materialia, 103, 534-546.50. Tu, K. N., & Gösele, U. (2005). Hollow nanostructures based on the Kirkendall effect: design and stability considerations. Applied Physics Letters, 86(9), 093111.51. Vara, M., Wang, X., Howe, J., Chi, M., & Xia, Y. (2018). Understanding the Stability of Pt‐Based Nanocages under Thermal Stress Using In Situ Electron Microscopy. ChemNanoMat, 4(1), 112-117.52. Gusak, A. M., Zaporozhets, T. V., Tu, K. N., & Gösele, U. (2005). Kinetic analysis of the instability of hollow nanoparticles. Philosophical Magazine, 85(36), 4445-4464.53. Evteev, A. V., Levchenko, E. V., Belova, I. V., & Murch, G. E. (2008). Shrinking kinetics by vacancy diffusion of hollow binary alloy nanospheres driven by the Gibbs–Thomson effect. Philosophical Magazine, 88(10), 1525-1541.54. Yu, H. C., Yeon, D. H., Li, X., & Thornton, K. (2009). Continuum simulations of the formation of Kirkendall-effect-induced hollow cylinders in a binary substitutional alloy. Acta materialia, 57(18), 5348-5360.55. Jana, S., Chang, J. W., & Rioux, R. M. (2013). Synthesis and modeling of hollow intermetallic Ni–Zn nanoparticles formed by the Kirkendall effect. Nano letters, 13(8), 3618-3625.56. Svoboda, J., Fischer, F. D., & Vollath, D. (2009). Modeling of formation of binary-phase hollow nanospheres from metallic solid nanospheres. Acta materialia, 57(6), 1912-1919.57. Zhdanov, V. P., & Kasemo, B. (2009). On the feasibility of strain-induced formation of hollows during hydriding or oxidation of metal nanoparticles. Nano letters, 9(5), 2172-2176.58. Levitas, V. I., & Attariani, H. (2012). Mechanochemical continuum modeling of nanovoid nucleation and growth in reacting nanoparticles. The Journal of Physical Chemistry C, 116(1), 54-62.59. Klinger, L., Kraft, O., & Rabkin, E. (2015). A model of Kirkendall hollowing of core–shell nanowires and nanoparticles controlled by short-circuit diffusion. Acta Materialia, 83, 180-186.60. Evteev, A. V., Levchenko, E. V., Belova, I. V., & Murch, G. E. (2007). Shrinking kinetics by vacancy diffusion of a pure element hollow nanosphere. Philosophical Magazine, 87(25), 3787-3796.61. Fischer, F. D., & Svoboda, J. (2008). High temperature instability of hollow nanoparticles. Journal of Nanoparticle Research, 10(2), 255-261.62. Yanovsky, V. V., Kopp, M. I., & Ratner, M. A. (2018). Evolution of vacancy pores in bounded particles. arXiv preprint arXiv:1809.06565.63. Klinger, L., Murch, G. E., Belova, I. V., & Rabkin, E. (2020). Pores shrinkage and growth in polycrystalline hollow nanoparticles and nanotubes. Scripta Materialia, 180, 93-96.64. Romanov, A. E., Polonsky, I. A., Gryaznov, V. G., Nepijko, S. A., Junghanns, T., & Vitrykhovski, N. J. (1993). Voids and channels in pentagonal crystals. Journal of crystal growth, 129(3-4), 691-698.65. Власов, Н. М., & Драгунов, Ю. Г. (2013). Образование гидрида циркония в окрестности стереодисклинаций. Журнал технической физики, 83(6), 118-121.66. Власов, Н. М., & Зазноба, В. А. (2014). Кинетика миграции (осаждения) продуктов деления и примесей внедрения на стоки с разной сингулярностью. Физика твердого тела, 56(3), 504-507.67. Gutkin, M. Y., Kolesnikova, A. L., Yasnikov, I. S., Vikarchuk, A. A., Aifantis, E. C., & Romanov, A. E. (2018). Fracture of hollow multiply-twinned particles under chemical etching. European Journal of Mechanics-A/Solids, 68, 133-139.68. Tsagrakis, I., Yasnikov, I. S., & Aifantis, E. C. (2018). Gradient elasticity for disclinated micro crystals. Mechanics Research Communications, 93, 159-162.69. Ясников, И. С., & Викарчук, А. А. (2006). Эволюция образования и роста полости в пентагональных кристаллах электролитического происхождения. Физика твердого тела, 48(8), 1352-1357.70. Ясников, И. С., & Викарчук, А. А. (2007). Образование полостей в икосаэдрических малых частицах, формирующихся в процессе электрокристаллизации металла. Письма в ЖТФ, 33(19), 24-31.71. Han, L., Xiong, P., Bai, J., & Che, S. (2011). Spontaneous formation and characterization of silica mesoporous crystal spheres with reverse multiply twinned polyhedral hollows. Journal of the American Chemical Society, 133(16), 6106-6109. 72. Huang, H., Zhang, L., Lv, T., Ruditskiy, A., Liu, J., Ye, Z., & Xia, Y. (2015). Five‐Fold Twinned Pd Nanorods and Their Use as Templates for the Synthesis of Bimetallic or Hollow Nanostructures. ChemNanoMat, 1(4), 246-252.73. Wang, X., Figueroa-Cosme, L., Yang, X., Luo, M., Liu, J., Xie, Z., & Xia, Y. (2016). Pt-based icosahedral nanocages: using a combination of {111} facets, twin defects, and ultrathin walls to greatly enhance their activity toward oxygen reduction. Nano letters, 16(2), 1467-1471.74. Tehuacanero-Cuapa, S., Palomino-Merino, R., & Reyes-Gasga, J. (2013). CBED electron beam drilling and closing of holes in decahedral silver nanoparticles. Radiation Physics and Chemistry, 87, 59-63.75. Tehuacanero-Cuapa, S., Reyes-Gasga, J., Rodríguez-Gómez, A., Bahena, D., Hernández-Calderón, I., & García-García, R. (2016). The low-loss EELS spectra from radiation damaged gold nanoparticles. Journal of Applied Physics, 120(16), 164302. 76. Gurtin, M. E., & Murdoch, A. I. (1978). Surface stress in solids. International Journal of Solids and Structures, 14, 431–440 . 77. Lim, C.W., & He, L.H. (2004). Size-dependent nonlinear response of thin elastic films with nano-scale thickness. International Journal of Mechanical Sciences, 46, 1715–1726.78. Huang, D.W. (2008). Size-Dependent Response of Ultra-Thin Films with Surface Effects. International Journal of Solids and Structures, 45, 568–579 .79. Altenbach, H., Eremeyev, V.A., & Morozov, N.F. (2010). On equations of the linear theory of shells with surface stresses taken into account. Mechanics of Solids, 45, 331–342.80. Altenbach, H., & Eremeyev, V. A. (2011). On the shell theory on the nanoscale with surface stresses. International Journal of Engineering Sciences, 49, 1294–1301.81. Eremeyev, V.A. (2016). On effective properties of materials at the nano- and microscales considering surface effects. Acta Mechanica, 227, 29–42.82. Ru, C.Q. (2016). A strain-consistent elastic plate model with surface elasticity. Continuum Mechanics and Thermodynamics 28, 263–273.83. Xu, M. (2016). Effect of surface and interface energies on the nonlinear bending behaviour of nanoscale laminated thin plates. Mechanics of Composite Materials. 52(5), 673–686.84. Shaat, M. (2018). Effects of surface integrity on the mechanics of ultra-thin films. International Journal of Solids and Structures, 136–137, 259–270.85. Bochkarev, A.O., & Grekov, M.A. (2014). Local Instability of a plate with a circular nanohole under uniaxial tension. Doklady Physics 59(7), 330-334.86. Bochkarev, A.O., & Grekov, M.A. (2019) Influence of surface stresses on the nanoplate stiffness and stability in the Kirsch problem. Physical Mesomechanics, 22(3), 209–223.87. Ansari, R., & Gholami, R. (2016). Size-dependent modeling of the free vibration characteristics of postbuckled third-order shear deformable rectangular nanoplates based on the surface stress elasticity theory. Composites Part B, 95, 301–316.88. Bochkarev, A.O. (2018). Compressive buckling of a rectangular nanoplate. AIP Conference Proceedings, 1959, 070007.89. Bochkarev, A.O., & Solovev, A.S. (2019). Buckling of an annular nanoplate stretched by point loads. AIP Conference Proceedings, 2116, 290004.90. Kiani, K. (2016). Elastic buckling of current-carrying double-nanowire systems immersed in a magnetic field. Acta Mechanica, 227, 3549–3570.91. Attia, M., & Mahmoud, F. (2017). Size-dependent behavior of viscoelastic nanoplates incorporating surface energy and microstructure effects. International Journal of Mechanical Sciences, 123, 117–132.92. Bochkarev, A.O. (2020). On the account of surface tension nonlinearity under nano-plate bending. Mechanics Research Communications, 106, 103521.93. Bochkarev, A.O. (2020). Comment to “On the account of surface tension nonlinearity under nano-plate bending”. Mechanics Research Communications, 108, 1035278.94. Steigmann, D.J., & Ogden, R.W. (1997). Plane deformations of elastic solids with intrinsic boundary elasticity. Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 453, 853–877.95. Steigmann, D.J., & Ogden, R.W. (1999). Elastic surface-substrate interactions. Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 455, 437–474.96. Chhapadia, P., Mohammadi, P., & Sharma, P. (2011). Curvature-dependent surface energy and implications for nanostructures. Journal of Mechanics and Physics of Solids, 59, 2103-2115.97. Eremeev, V.A., & Lebedev, L.P. (2016). Mathematical study of boundary-value problems within the framework of Steigmann-Ogden model of surface elasticity. Continuums Mechanics and Thermodynamics, 52, 407-422.98. Eremeev, V.A., & Wiczebach, T. (2020). On effective bending stiffness of a laminate nanopale considering Steigmann-Ogden surface elasticity. Applied Sciences, 10, 7402.
Предлагаемыеметоды и подходы, общий план работы на весь срок выполнения проекта
Основные методы и подходы для решения поставленных в проекте задач:

• Соотношения плоской задачи теории упругости;
• Линеаризованные определяющие соотношения теории поверхностной упругости Гертина-Мердока в оригинальном формулировке без упрощений и модель поверхностной упругости Стейгманна-Огдена,
• Теория аналитических функций и теория комплексных потенциалов Гурса-Колосова-Мусхелишвили;
• Обобщенный метод возмущений границы, позволяющий построить алгоритм нахождения любого приближения, а в сочетании с методом суперпозиции, приводящий решение задачи в каждом приближении к одной и той же системе интегральных уравнений;
• Прямой метод решения краевых задач наномеханики, сводящийся к построению и решению сингулярного или гиперсингулярного интегрального уравнения, а в сочетании с методом возмущений – аналогичного уравнения в каждом приближении;
• Аналитические и численные методы решения сингулярных/гиперсингулярных интегральных уравнений;
• Теория диффузионного массопереноса в твердых телах;
• Термодинамический экстремальный принцип (принцип максимума Онзагера), позволяющий описать кинетику объемной и зернограничной диффузии;
• Дисклинационная концепция описания остаточных упругих напряжений в пентагональных кристаллах;
• Вариационные методы в механике: принцип Гамильтона, метод Ритца.

Эти методы и подходы были эффективно использованы ранее при решении различных задач на макро- и наномасштабном уровне. Часть из них, опубликованная в работах руководителя и исполнителей за последние пять лет, приведена в данном Проекте. Все перечисленные пункты в той или иной степени будут востребованы при решении планируемых задач.

Общий план работы:

1 год
• Вывод эволюционного уравнения, описывающего кинетику развития рельефа свободной поверхности твердого тела при диффузии атомов вдоль свободной поверхности, при использовании определяющих соотношений теории поверхностной упругости Гертина-Мердока в оригинальной формулировке.
• Вывод условий термодинамической неустойчивости, для определения критических значений размеров топологических дефектов и напряжений, действующих в твердом теле в начальный момент времени.
• Анализ влияния физических и геометрических параметров задачи на рост рельефа свободной поверхности твердого тела.
• Сравнительный анализ решений задачи о морфологической устойчивости свободной поверхности твердого тела, полученного ранее на основе упрощённой модели и планируемого решения с учетом полной модели Гертина- Мердока.
• Получение аналитического решения краевой задачи классической (объемной) диффузии для полого цилиндра с движущимися границами с учетом эффекта Гиббса-Томсона и влияния поля упругих напряжений дефекта дисклинационного типа.
• Разработка феноменологической модели роста центральной полости в пентагональной нанопроволоке, основанная на полученном решении классической диффузионной задачи.
• Исследование напряженного состояния растянутой пластины с круговым наноотверстием с учетом поверхностного натяжения в определяющих соотношениях Гертина-Мердока на границе отверстия и на лицевых поверхностях. Аналитическое и численное исследование поля напряжений вблизи наоразмерного отверстия в бесконечной пластине нанометровой толщины, основанное на новом решении модифицированной задачи Кирша.
• Анализ устойчивости растянутой пластины нанометровой толщины с круговым вырезом под действием одноосной растягивающей нагрузки при учете поверхностной упругости и поверхностного натяжения на границе отверстия и на лицевых поверхностях пластины в определяющих соотношениях Гертина-Мердока.
• Построение модели упругого деформирования тела с почти круговым цилиндрическим каналом при учете поверхностного напряжения и поверхностного натяжения.
• Подготовка научных статей по итогам проведённых исследований.
• Участие с докладами в научных конференциях.
• Подготовка годового отчёта.

2 год

• Вывод уравнений плоской теории упругости, описывающих напряженно-деформированное состояние двухкомпонентного твердого тела с наноразмерными топологическими дефектами межфазной поверхности при учете полной модели поверхностной упругости Гертина-Мердока.
• Разработка общего подхода к решению полученных уравнений на основе метода возмущений границы, позволяющего построить алгоритм нахождения решения для любого приближения.
• Анализ влияния физических и геометрических параметров задачи на распределение напряжений вдоль искривленной межфазной поверхности.
• Сравнительный анализ полученного решения с тем, что было получено ранее на основе упрощенной модели Гертина-Мердока.
• Вывод уравнений эволюции внутренней полости в цилиндрическом теле, содержащим дефект дисклинационного типа, из термодинамического принципа максимума Онзагера.
• Разработка энергетической модели кинетики роста центральной поры в пентагональной нанопроволоке, основанная на уравнениях энергетического баланса и принципе максимума Онзагера.
• Кроссверификация феноменологической и энергетической моделей роста полости в пентагональных нанопроволоках.
• Вывод уравнений нелинейного изгиба нанопластин с учетом соотношений поверхностной упругости Стейгманна-Огдена.
• Исследование влияния поверхностного напряжения и поверхностного натяжения на напряженное состояние упругого тела с почти круговым цилиндрическим каналом.
• Подготовка научных статей по итогам проведённых исследований.
• Участие с докладами в научных конференциях.
• Подготовка годового отчёта.

3 год

• Вывод эволюционного уравнения, описывающего кинетику развития рельефа межфазной поверхности твердого тела при диффузии атомов вдоль нее, при использовании определяющих соотношений теории поверхностной упругости Гертина-Мердока в оригинальной формулировке.
• Вывод условий термодинамической неустойчивости, для определения критических значений размеров топологических дефектов межфазной поверхности и напряжений, действующих в твердом теле в начальный момент времени.
• Анализ влияния физических и геометрических параметров задачи на рост рельефа межфазной поверхности твердого тела. Сравнительный анализ решения, полученного ранее на основе упрощённой модели и планируемого решения с учетом полной модели Гёртина-Мёрдока.
• Обобщение уравнений эволюции внутренней полости в цилиндрическом теле, содержащим дефект дисклинационного типа, на случай зернограничной диффузии.
• Разработка энергетической модели кинетики роста центральной поры в пентагональной нанопроволоке, основанная на уравнениях энергетического баланса и принципе максимума Онзагера, учитывающая зернограничную диффузию. Сравнение результатов,полученных в рамках разработанных моделей, с учетом зернограничной диффузии и без ее учета (объемная диффузия);
• Решение модельных задач о нелинейном изгибе нанополосы: прогиб при поперечной нагрузке, свободные поперечные колебания, выпучивание и закритическая деформация при сжатии.
• Построение модели совместной деформации упругого почти кругового цилиндрического включения и матрицы при учете межфазного напряжения и межфазного натяжения. Исследование поля напряжений вблизи включения с различными наноразмерными неровностями на межфазной границе.
• Подготовка научных статей по итогам проведённых исследований.
• Участие с докладами в научных конференциях.
• Подготовка годового отчёта.

Имеющийся у коллектива исполнителей научный задел по проекту:

Разработан подход для анализа напряженно-деформированного состояния изотропных однослойных и многослойных пленочных покрытий, находящихся в условиях плоской деформации и имеющих топологические дефекты как свободной, так и межфазной поверхности.
• В ходе исследования процесса самоорганизации поверхности под действием упругих напряжений однослойных и многослойных пленочных покрытий было предложено обобщение модели Азаро-Тиллера-Гринфельда с учетом влияния упругих свойств подложки и каждого слоя рассматриваемых пленочных систем, а также топологических особенностей поверхности.
• Для исследования феномена роста микродефектов на поверхности однослойных и многослойных пленочных покрытий во время отжига был предложен подход на основе совместного использования моделей Азаро-Тиллера-Гринфельда и Маллинза-Секерки, который позволил учесть влияние не только поверхностной, но и объемной диффузии.
• При использовании упрощенной модели Гертина-Мердока, в которой учитываются только тангенциальные составляющие тензора поверхностных напряжений, разработан подход к изучению масштабных эффектов механического поведения наноразмерных дефектов свободных и межфазных поверхностей твердых тел и гетерогенных структур, находящихся в условиях плоской деформации. Исследована сходимость метода возмущений при различных параметрах задачи.
• На основе упрощенной модели Гертина-Мердока разработан теоретический подход для анализа устойчивости наноразмерного рельефа свободной поверхности твердого тела и границы соединения двух материалов. Для обоих случаев получена явная зависимость изменения амплитуды синусоидального возмущения от времени, физических и геометрических параметров задачи.
• В рамках работ по гранту РФФИ 18-33-0725 мол_а “Исследование начальных стадий релаксации внутренних напряжений в декаэдрических металлических частицах” (руководитель Красницкий С.А.) были определены критические (размер частицы) и оптимальные (радиус полости) параметры релаксации напряжений за счет зарождения центральной сферической полости в х частицах. Кроме того, было исследовано взаимодействие внутренней полости с призматическими дислокационными петлями.
• Исследовано влияние поверхностных напряжений в рамках упрощенной модели поверхностной упругости Гертина- Мердока на жесткостные свойства нанопластины при ее выпучивании в условиях однородного поля сжимающих напряжений (в случае прямоугольной формы) и в условиях неоднородного поля растягивающих напряжений (в случае кругового выреза в бесконечной пластине и в случае кольцевой пластины).
• Исследовано влияние поверхностного натяжения как части поверхностных напряжений в рамках полной модели Гертина-Мердока на изгибные, частотные и жесткостные свойства при цилиндрическом изгибе бесконечной нанополосы, включая закритическую деформацию после выпучивания.
• При использовании упрощенной модели поверхностной упругости Гертина-Мердока, не учитывающей поверхностное натяжение, исследовано влияние малых отклонений дефекта (отверстие, включение) от круговой формы на напряженное состояние вблизи дефекта при различной форме дефекта.

Результаты опубликованы в работах:
1.Grekov M.A. General approach to the modified Kirsch problem incorporating surface energy effects. Continuum Mechanics and Thermodynamics. 2021. 33(4). 1675-1689. Q1, IF=2.282 (Web of Science, Scopus) https://doi.org/10.1007/s00161-021-01005-3
2.Kostyrko S., Grekov M., Altenbach H. Coupled effect of curved surface and interface on stress state of wrinkled thin film coating at the nanoscale. ZAMM Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. 2021. 101(8), e202000202. Q2, IF=1.603 (Web of Science, Scopus) https://doi.org/10.1002/zamm.202000202
3. Grekov, M.A., Sergeeva T.S. Interaction of edge dislocation array with bimaterial interface incorporating interface elasticity. International Journal of Engineering Science. 2020. V. 149. 103233. Q1, IF=8.843. (Web of Science, Scopus) https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2020.103233.
4. Vakaeva, A.B., Krasnitckii, S.A., Grekov, M.A. Gutkin M.Yu. Stress field in ceramic material containing threefold symmetry inhomogeneity. Journal of Material Science. 2020. V. 55, No. 22. 9311-9321. Q1, IF=4.220. (Web of Science, Scopus) https://doi.org/10.1007/s10853-020-04675-7.
5 . Kostyrko S.A., Grekov V.A. Elastic field at a rugous interface of a bimaterial with surface effects. Engineering Fracture Mechanics. 2019. V. 216. Номер статьи 106507. Q1, IF=4,406. (Web of Science, Scopus) https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2019.106507.
6. Shuvalov, G., Kostyrko, S. 2021.On the role of interfacial elasticity in morphological instability of a heteroepitaxial interface. Continuum Mech. Thermodyn. 33, 2095–2107http://doi.org/10.1007/s00161-021-01010-6Web of Science, Scopus, SJR 0.85 (Q1)7. Bochkarev A.O., Grekov M.A. Influence of surface stresses on the nanoplate stiffness and stability in the Kirsch problem. Physical Mesomechanics. 2019. V. 22, No. 8. 209-223. Q2, IF=1.368. (Web of Science, Scopus) https://doi.org/10.1134/S1029959919030068.
8. Bochkarev, A.O. (2020). On the account of surface tension nonlinearity under nano-plate bending. Mechanics Research Communications, 106, 103521. (Scopus, WeB of Science, Q1, IF=2.282, SJR=0.68) https://doi.org/10.1016/j.mechrescom.2020.103521
9. Krasnitckii, S. A., Smirnov, A. M., & Gutkin, M. Y. (2020). Axial misfit stress relaxation in core–shell nanowires with polyhedral cores through the nucleation of misfit prismatic dislocation loops. Journal of Material Science, 55(22), 9198–9210. [IF=3,442; SJR=0,823]
https://link.springer.com/article/10.1007/s10853-020-04401-3
10.Smirnov, A. M., Krasnitckii, S. A., & Gutkin, M. Y. (2020). Generation of misfit dislocations in a core-shell nanowire near the edge of prismatic core. Acta Materialia, 186, 494–510. [IF=6,26; SJR=3,26]
https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S135964542030032X