Научная проблема

Для различных классов динамических систем актуальны проблемы исследования устойчивости и робастной устойчивости, а также синтеза стабилизирующих управлений. Кроме того, важно иметь надёжные оценки конкретных показателей, характеризующих степень чувствительности системы к наличию внешних возмущений и погрешностей в определении состояния, а также иметь возможность за счёт управления обеспечить системе наиболее предсказуемое и близкое к желаемому поведение.

В рамках данного проекта изучается широкий класс систем с запаздыванием. Рассматриваются уравнения с одной независимой переменной и некоторые краевые задачи для уравнений в частных производных, стационарные системы и системы с переменными параметрами.

Конкретная задача в рамках проблемы

Проект направлен на решение задачи построения базовой теории функционалов Ляпунова-Красовского полного типа для различных классов линейных систем с запаздыванием. Под базовой теорией мы подразумеваем ту, в которой проработаны следующие элементы:
1) представлен явный вид функционала с заданной производной в силу системы через функциональную матрицу Ляпунова,
2) дано общее определение матрицы Ляпунова через набор функциональных уравнений,
3) найдены необходимые и достаточные условия существования и единственности решения такого набора уравнений,
4) предложена конструктивная аналитическая процедура построения матрицы Ляпунова для некоторых частных случаев,
5) предложен эффективный численный метод построения матрицы Ляпунова в общем случае,
6) представлены необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости системы, выраженные через матрицу Ляпунова, которые могут быть проверены за конечное число шагов,
7) даны явные формулы, позволяющие оценить для устойчивых систем скорость затухания решений, степень перерегулирования, границы робастной устойчивости при различных типах возмущений, таких как погрешности в определении параметров, малые нелинейности, зависящие от времени малые возмущения.

Первые пять пунктов списка инструментальные, они позволяют явно построить функционал полного типа, тогда как пункты 6 и 7 можно назвать прикладными. Приложения функционалов полного типа не исчерпываются этими двумя пунктами, что подтверждается рядом публикаций для некоторых простых классов систем, однако в рамках работы над проектом мы ограничимся ими, как наиболее значимыми.

Предполагается рассмотрение следующих классов систем:
a) стационарная система запаздывающего типа с одной независимой переменной и одним запаздыванием,
b) стационарная система запаздывающего типа с одной независимой переменной общего вида, т. е. с правой частью в форме интеграла Стилтьеса,
c) стационарная система нейтрального типа (когда в уравнении участвует производная по времени от прошлых состояний системы) с одной независимой переменной общего вида,
d) система запаздывающего или нейтрального типа с одной независимой переменной и периодическими коэффициентами,
e) стационарная интегральная система уравнений с одной независимой переменной,
f) стационарная дифференциально-алгебраическая (или сингулярная) система уравнений с одной независимой переменной,
g) стационарная система уравнений в частных производных с разными типами граничных условий.

Для систем класса (a) теория в целом построена, однако мы видим возможности для существенного улучшения результатов, касающихся прикладных пунктов 6 и 7, в смысле построения менее трудоёмких с вычислительной точки зрения условий и оценок. Вычислительная сложность существующего критерия экспоненциальной устойчивости растёт по экспоненте с ростом величины запаздывания, тогда как мы собираемся предложить новый подход, позволяющий понизить сложность до полиномиальной.

Для систем классов (b) и (c) теория построена только для некоторых частных случаев, для систем общего вида, насколько нам известно, пока не представлено никаких результатов. Стоит отметить, что для нейтральных систем даже в рассмотренных частных случаях есть существенные пробелы в теории. В частности, для систем с несколькими кратными сосредоточенными запаздываниями не доказаны существование и единственность матрицы Ляпунова в предположении, что выполнено условие Ляпунова. Это связано с отсутствием на сегодняшний день теории "матричных" результантов для полиномов специального вида (представленных в виде определителя от полиномиальной матрицы).

Для систем класса (d) пробелов довольно много. Существование и единственность матрицы Ляпунова доказаны только для случая экспоненциально устойчивой системы, пока нет критерия экспоненциальной устойчивости, выраженного через матрицу Ляпунова. Для систем нейтрального типа с периодическими коэффициентами получены только самые базовые результаты.

Для систем класса (e) теория продвинулась достаточно сильно, однако пока нет критерия экспоненциальной устойчивости, проверяемого за конечное число шагов, а для систем, в которых присутствуют, кроме интегральных, ещё и слагаемые с точечными запаздываниями, функционалы полного типа не построены.

Для систем класса (f) пока построена только общая форма функционала полного типа, однако матрица Ляпунова не определена и не исследована.

Для систем класса (g) построен функционал полного типа и матрица Ляпунова в частном скалярном случае уравнения теплопроводности с запаздывающим слагаемым.

Одной из важных подзадач проекта является создание удобного программного обеспечения, позволяющего использовать предложенные теоретические методы для исследования систем с запаздыванием.

Научный задел коллектива

Александровой И.В. разработан важный подход, позволяющий сводить проверку функционалов полного типа на положительную определённость к проверке на положительную определённость специальной конечномерной матрицы для некоторых типов систем с запаздыванием. В совместных работах с профессором Жабко А.П. они показали, что проверку положительной определённости функционала можно проводить не на всём пространстве непрерывных функций, а на специальном компактном подмножестве. Учитывая, что спектр функционалов полного типа в случае экспоненциальной устойчивости отделён от нуля числом, которое можно легко оценить снизу, задача сводится к конечномерной простым покрытием компактного множества эпсилон-сетью с достаточно малым вычислимым эпсилон.

Другая идея Александровой И.В. касается исследования робастной устойчивости и заключается в том, что не обязательно проводить оценку самой производной функционала полного типа в силу системы, достаточно некоторой интегральной оценки. Эта идея позволила существенно снизить консерватизм оценок, получаемых стандартным методом функционалов Ляпунова-Красовского, тем самым расширив область робастной устойчивости во многих случаях. Кроме того, она привела к очень простым оценкам, не требующим применения аппарата линейных матричных неравенств, что существенно снизило вычислительную сложность метода.

Егоровым А.В. для стационарных систем с несколькими сосредоточенными запаздываниями на основе идеи Александровой И.В. и Жабко А.П. был получен первый критерий экспоненциальной устойчивости, выраженный через матрицу Ляпунова. Этот критерий позволяет за конечное число шагов подтвердить или опровергнуть наличие экспоненциальной устойчивости у системы с запаздыванием. При этом требуется лишь вычислить матрицу Ляпунова в конечном наборе равномерно распределённых на отрезке точек. Применимость критерия не ограничена величиной запаздывания и других параметров системы. Основной результат был получен не сразу, ему предшествовало получение различных необходимых условий экспоненциальной устойчивости в терминах матриц Ляпунова, которые также могут быть эффективно использованы в сочетании с основной теоремой для уменьшения вычислительной сложности при исследовании семейств систем.

Алисейко А.Н. провёл большую работу по построению функционалов Ляпунова-Красовского полного типа для систем с распределённым запаздыванием. Им получены важные теоретические результаты, касающиеся существования и единственности матрицы Ляпунова, а также непрерывной зависимости матрицы Ляпунова от параметров системы и величины запаздывания. На основе этих теоретических результатов разработаны новые вычислительно эффективные методы аналитического и численного построения матриц Ляпунова для некоторых частных случаев систем с распределённым и сосредоточенным запаздыванием. В частности, изучен вопрос аппроксимации ядра распределённого запаздывания простыми функциями, при которых возможно аналитическое построение матрицы, которая будет с заданной точностью аппроксимировать исходную матрицу Ляпунова. В настоящий момент Алисейко А.Н. работает над исследование систем нейтрального типа, им получены новые важные утверждения, касающиеся "матричного" результанта, которые позволят закрыть вопрос существования и единственности матрицы Ляпунова для нейтральных систем с несколькими сосредоточенными запаздываниями при выполнении условия Ляпунова.

Белов А.И. работает под руководством Александровой И.В. над развитием методов исследования устойчивости некоторых классов систем с запаздыванием с помощью функционалов Ляпунова-Красовского в предположении, что известно лишь приближённое значение матрицы Ляпунова. Показано, что в этом случае достаточно лишь несколько увеличить размерность проверяемой на положительную определённость матрицы, которая строится на основе нескольких значений приближённой матрицы Ляпунова.

Соколов В.М. работает под руководством Егорова А.В. над так называемой обобщённой задачей Мышкиса, которая заключается в исследовании семейств уравнений с запаздыванием при вариации параметров и величины запаздывания системы в рамках бесконечномерных ограниченных множеств. Исследование основано на модифицированном методе функций Разумихина и позволяет получить достаточное (а иногда и необходимые) условия, выраженные в виде оптимизационных задач выпуклого программирования.

Маковеева П.Е. в настоящий момент работает под руководством Егорова А.В. над задачей построения функционалов полного типа и исследования на их основе устойчивости систем уравнений в частных производных с запаздыванием. Для частного случая уравнения теплопроводности с добавочным запаздывающим членом и однородными граничными условиями типа Дирихле построен функционал полного типа, представлены уравнения, задающие матрицу Ляпунова, предложена процедура исключения из этих уравнений запаздывания для упрощения применения численных методов построения этой матрицы.

Основные научные публикации

Ortiz R., Egorov A., Mondie S. (2022). Necessary and sufficient stability conditions for integral delay systems // International Journal of Robust and Nonlinear Control, 32(6), 3152-3174.
Gomez M.A., Egorov A.V., Mondie S. (2021). Necessary and sufficient stability condition by finite number of mathematical operations for time-delay systems of neutral type // IEEE Transactions on Automatic Control, 66(6), 2802-2808.
Ortiz R., Valle S.D., Egorov A.V., Mondie S. (2020). Necessary stability conditions for integral delay systems // IEEE Transactions on Automatic Control, 65(10), 4377-4384.
Gomez M.A., Egorov A.V., Mondie S. (2019). Lyapunov matrix based necessary and sufficient stability condition by finite number of mathematical operations for retarded type systems // Automatica. DOI: 10.1016/j.automatica.2019.06.027
Gomez M.A., Egorov A.V., Mondie S., Zhabko A.P. (2019). Computation of the Lyapunov matrix for periodic time-delay systems and its application to robust stability analysis // Systems and Control Letters. DOI: 10.1016/j.sysconle.2019.104501
Alexandrova I.V., Zhabko A.P. (2018). At the junction of Lyapunov-Krasovskii and Razumikhin approaches // Proceedings of the 14th Workshop on Time-Delay Systems (TDS). Budapest, Hungary. P. 147-152.
Egorov A.V. (2016). A finite necessary and sufficient stability condition for linear retarded type systems // Proceedings of the 55th IEEE Conference on Decision and Control (CDC). Las Vegas, USA. P. 3155-3160.
Medvedeva I.V., Zhabko A.P. (2015). Synthesis of Razumikhin and Lyapunov-Krasovskii approaches to stability analysis of time-delay systems // Automatica, 51, 372-377.
Egorov A.V., Mondie S. (2014). Necessary stability conditions for linear delay systems // Automatica, 50(12), 3204-3208.
Zhabko A.P., Medvedeva I.V. (2013). Constructive method of linear systems with delay stability analysis // Proceedings of the 11th Workshop on Time-Delay Systems (TDS). Grenoble, France. P. 1-6.

Защищённые кандидатские диссертации

Егоров А.В. Новые условия экспоненциальной устойчивости линейных систем с запаздыванием. 2013
Александрова И.В. Конструктивные методы анализа экспоненциальной устойчивости линейных систем запаздывающего типа. 2015

Доклады на конференциях

15th IFAC Workshop on Time Delay Systems (TDS). Sinaia, Romania, 2019, тема доклада: On the stability analysis of equations with bounded time-varying delay,
14th Workshop on Time-Delay Systems (TDS). Budapest, Hungary, 2018, тема доклада: Stability conditions for time delay systems in terms of the Lyapunov matrix,
20th IFAC World Congress. Toulouse, France, 2017, тема доклада: A connection between strangeness-free delay differential-algebraic and neutral type systems,
55th IEEE Conference on Decision and Control (CDC). Las Vegas, USA, 2016, тема доклада: A finite necessary and sufficient stability condition for linear retarded type systems,
19th World Congress of IFAC. Cape Town, South Africa, 2014, тема доклада: A new necessary and sufficient stability condition for linear time-delay systems.