Проект (22_24) в значительной степени продолжает исследования, начатые в рамках предыдущего, 19_21 РНФ гранта. Он преследует ту же общую цель развития новых методов математической физики, основанных на синтезе таких традиционных областей анализа как спектральная теория дифференциальных и интегральных операторов и теория рассеяния и дифракции с идеями и методами современной теории интегрируемых систем.
Наряду с исследованиями, продолжающими уже начатые исследования в предыдущий период, в новом проекте существенное место занимает и анализ новых задач, не связанных непосредственно с предыдущим проектом. В рамках этой основной цели в Проекте 22 _ 24 предлагается сконцентрировать усилия на следующих пяти, взаимно связанных направлениях:
(I) Исследование асимптотического поведения решения задачи Коши для цилиндрического уравнения Кортевега –де Фриза. Данное уравнение интегрируется методом обратной задачи и имеет соответствующую L-A пару. В отличие от обычного уравнения Кортевега –де Фриза, для цилиндрического уравнения оператором L является оператор Штарка с потенциалом в виде суммы линейной и быстро убывающей функций. Предполагается изучить связь между асимптотиками решения цилиндрического уравнения Кортевега –де Фриза при больших и малых временах.
Изучение задач Римана-Гильберта для спектральных обратных задач, связанных с оператором Шредингера на полуоси. Предполагается рассмотреть новые важные для приложений потенциалы, например, суммы кулоновского или отрицательного параболического потенциалов и функции из класса Шварца.
(II) Спектральная теория оператора Мёлера M (это интегральный оператор с ядром 1/[\pi(x+y)] на интервале (0,1)) и его возмущений компактными интегральными операторами T с относительно гладкими ядрами. Исследование дискретных и непрерывных спектров интегральных операторов M+T. Условия возникновения дискретного спектра M+T и его конечности. Структура собственных функций непрерывного спектра и теория рассеяния. Асимптотическое поведение решений соответствующего эволюционного уравнения.
Исследование связи этой теории со спектральными свойствами функционально-разностных уравнений второго порядка с мероморфными коэффициентами.
Ожидается использование этих результатов для описания асимптотики собственных функций оператора Лапласа с сингулярным потенциалом, сосредоточенным на конических или клиновидных поверхностях.
Предполагается также дальнейшее развитие метода Фокаса решения задач дифракции для многоугольных плоских областей и выявления его связей с классической теорией Малюжинца. Кроме того, предлагается проанализировать параллели теории Малюжинца и теории точно решаемых моделей квантовой теории поля. Эта часть проекта имеет пересечения в используемых методах с частями (I) и (III).
(III) Спектральный анализ операторов Якоби и асимптотическое поведение ортогональных полиномов. Основная цель состоит в изучении случая растущих рекуррентных коэффициентов, содержащем, в частности, классические полиномы Эрмита и Лагерра. Mы планируем также рассмотреть рекуррентные коэффициенты, растущие так быстро, что соответствующее разностное уравнение оказывается в ситуации предельной окружности.
(IV) Построение асимптотической теории определителей сумм теплицевых и ганкелевых матриц в случае, когда слагаемые задаются различными символами. Во всех предыдущих исследованиях теплицев и ганкелев символы предполагались или совпадающими, или связанными определенными жесткими соотношениями. Как важное приложение, предполагается вычислить спектральные асимптотики ганкелевых матриц. Предполагается также вычислить асимптотики хвостов функций распределения Трэйси - Видома для произвольного бета ансамбля случайных матриц. Упомянутая функция распределения является одной из основных функций распределения современной теории стохастических процессов. Относительно асимптотики ее хвостов для произвольного бета пока имеются только гипотезы. Эта часть проекта имеет пересечения в рассматриваемых задачах с частью (III); при этом подходы развиваемые в этих частях методологически дополнительны к друг другу.
(V) Развитие математической теории рассеяния для системы теории упругости в волноводе с несколькими цилиндрическими выходами на бесконечность. Предполагается, что в каждом выходе характеристики среды стабилизируются с экспоненциальной скоростью к функциям, зависящим от точки на сечении. Схема исследования остается той же, что была использована нашей группой для построения математической теории рассеяния для квантовых, акустических и электромагнитных волноводов.
Распространение полученных ранее результатов по теории рассеяния в волноводах на случай, когда коэффициенты задачи стабилизируются на бесконечности со степенной скоростью. В этой ситуации все составные части теории требуют пересмотра. Однако, по сравнению со случаем, когда стабилизация коэффициентов происходит сколь угодно медленно, имеется возможность получить конкретные аналитические результаты. В предлагаемом проекте мы планируем рассмотреть акустические и квантовые волноводы. Эти части проекта пересекаются с частью (II).
