• Будет получена асимптотика решения соответствующей задачи Римана-Гильберта при малых временах.
• Будет установлено асимптотическое поведение решения задачи Коши для цилиндрического
уравнения Кортевега-де Фриза с гладким, хорошо убывающим начальным данным при малых временах.
• Будет найдена связь асимптотических решений цилиндрического уравнения Кортевега-де Фриза при больших и малых временах, как результат соответствующего нелинейного рассеяния.
• Будет расширен класс начальных данных и проведено асимптотическое исследование новой задачи Римана на лучах. Будут выделены новые режимы в асимптотике и изучено поведение решений в переходных областях, установлена связь с трансцендентами Пенлеве и уравнением КПШ.
• Будет исследована задача Римана-Гильберта для спектральной обратной задачи для оператора Шредингера с вещественным потенциалом в виде суммы кулоновского потенциала и функции из класса Шварца.
• Будет исследована задача Римана-Гильберта для спектральной обратной задачи для оператора Шредингера с вещественным потенциалом в виде суммы параболы с ветвями вниз и функции из класса Шварца.
• Ожидается полное описание связи задач построения асимптотик собственных функций в конусовидных и клиновидных областях со характеристическими задачами для функционально-разностных уравнений второго порядка с мероморфным потенциалом из специального класса.
• Предполагается исследовать упомянутый класс функционально-разностных уравнений второго порядка с мероморфным потенциалом с помощью редукции к интегральным уравнениям с возмущенным оператором Мёлера M+T.
• Изучить условия существования (возникновения) непрерывного и точечного (существенного и дискретного) спектров этого оператора. Условия конечности дискретного спектра будут описаны в терминах возмущения.
• Изучить собственные функции непрерывного спектра возмущенного оператора Мёлера M+T и построить теорию рассеяния.
• Будет изучен оператор эволюции, отвечающий оператору Мёлера M и его возмущениям M+T, а также асимптотика нестационарной задачи Коши для этого оператора на больших временах.
• Будет установлена связь ‘’глобального условия’’ - ключевого элемента схемы Фокаса, и функциональных уравнений Малюжинца. Предполагается использование метода задачи Римана для включения произвольных граничных условий в изучение распространения акустических волн на клине. Ожидается также выявление связи уравнений Малюжинца с функциональными уравнениями Трэйси - Видома для термодинамического анзатца Бете и уравнениями Смирнова в теории бутстрапа в квантовой модели синус - Гордон.
.• Ожидается вычисление, методом задачи Римана, коэффициентов рассеяния рэлеевских волн на границе четверть плоскости.
• Основная задача состоит в получении асимптотических формул при больших номерах n для ортогональных полиномов P_n (z) с растущими на бесконечности недиагональными рекуррентными коэффициентами а_ n. Это включает классические полиномы Эрмита и Лагерра.
• Параллельно предполагается построить спектральную теорию операторов Якоби с рекуррентными коэффициентами такого типа. Результаты должны существенно зависеть от скорости роста коэффициентов a_n при больших n, а также от соотношений между диагональными b_n и недиагональными a_n рекуррентными коэффициентами.
• В случае очень быстрого роста коэффициентов a_n классическое условие Карлемана не выполняется и оператор Якоби не является в существенном самосопряженным. Мы планируем эффективно описать все его самосопряженные расширения и построить их резольвенты.
• Критический случай, когда коэффициенты a_n и b_n имеют общий порядок роста, требует специального рассмотрения. Ожидается, что в этом случае асимптотические формулы будут далеко идущими обобщениями классических формул для полиномов Лагерра.
• Вывод аналога тождества Кристоффеля - Дарбу и получение на его основе дифференциальных тождеств связывающих определители сумм теплицевых и ганкелевых матриц с решениями соответствующей задачи Римана. Вычисление асимптотики самих T+Х (Тёплиц + Ганкель) определителей.
• Распространение формализма задачи Римана на T+Х определители, чьи символы имеют особенности .
• Применение полученных результатов к модели Изинга в полуплоскости и к вычислению асимптотики характеристического определителя матриц Ганкеля.
• Установление глобальной разрешимости задачи Римана, отвечающей найденному в рамках предыдущего проекта решению системы Калоджеро - Пенлеве. Доказательство, что тау-функция построенного решения действительно описывает распределение Трэйси – Видома для значения параметра beta=6.
• Вычисление постоянного члена асимптотики тау-функции и, тем самым, завершение строгого вывода асимптотика хвоста функции распределения Трэйси - Видома для бета ансамбля с бета = 6. Будет также рассмотрена возможность обобщения развитого подхода на случай произвольного четного значения параметра бета.
• Будет установлен принцип предельного поглощения для волноводов теории упругости при экспоненциальной стабилизации коэффициентов, с его помощью будут получены спектральные разложения операторов возмущенной и невозмущенной задач, вычислены волновые операторы и оператор рассеяния. В качестве возмущенной выступает задача в волноводе, а невозмущенная задача ставится в объединении соответствующих цилиндров.
• Будут изучены краевые задачи для скалярного дифференциального оператора второго порядка в областях с несколькими цилиндрическими концами при степенной стабилизации коэффициентов на бесконечности. В частности, будет дано подробное описание асимптотики решений таких задач на бесконечности и будет предложена корректная постановка таких задач с естественными условиями излучения.
• Будет построена математическая теория рассеяния для квантовых и акустических волноводов при степенной стабилизации коэффициентов на бесконечности (принцип предельного поглощения, спектральные разложения, формулы для волновых операторов и оператора рассеяния).
Ожидается, что все полученные результаты будут соответствовать мировому уровню.
