Предполагается изучить ряд (относительных) мотивных категорий, в том числе - l-адических. Будут описаны превратные гомотопические т-структуры и фильтрации эффективности для ряда мотивных категорий. Последние фильтрации будут "пересечены" с фильтрациями размерности. Будет получен ряд результатов по вычислению мотивных слайсов. Будет получен ряд новых результатов о различных категориях бирациональных мотивов - в частности, будет доказано обнуление некоторых групп морфизмов; будут изучены некоторые весовые и т-структуры на них. Будет доказано, что новые (определенные Бондарко и Соснило) теории гомологий - Чжоу-весовые гомологии мотивов - позволяют вычислить "эффективность" мотива, его связность (в смысле мотивной гомотопической т-структуры) и его веса (в смысле весовой структуры Чжоу). Двойственные этим теориям теории Чжоу-весовых когомологий позволяют вычислить "размерность" мотива. Будут изучены мотивы, соответствующие "части весов" (когомологий) широкого класса многообразий и схем. Первая публикация, рассматривающая "linear preserver problem", принадлежит Ф.Г.Фробениусу и датируется 1897 годом. С тех пор этой тематике посвящены сотни работ российских и зарубежных авторов, часть из которых нашла применение в математическом анализе и теории дифференциальных уравнений. Целью исследования является уточнение существующих результатов в этом направлении, а также обобщение этих результатов на линейные группы над кольцами. Описание всех ультраразрешимых задач для локальных и глобальных полей. Доказать полунепрерывность снизу кондуктора Суона в расширении двумерных локальных регулярных колец характеристики p с общим вторым полем вычетов. Изучить структуру таких расширений, описать, насколько точно так называемые модельные расширения (расширения специального вида с некоторыми соотношениями на локальные параметры) описывают общую ситуацию. Получение оценок ширины линейных групп над маломерными кольцами относительно различных наборов образующих. Симметрические специальные бирядные алгебр (ССБ-алгебры) - очень интересный и хорошо изученный класс алгебр. Многие годы считалось, что этот класс замкнут относительно производной эквивалентности: это следует из работы З. Погоржалы 1994 года. Однако к некоторым утверждениям статьи Погоржалы недавно были построены контрпримеры. Мы собираемся классифицировать класс алгебр стабильно эквивалентных симметрическим специальным бирядным алгебрам и отделить эти новые алгебры от ССБ-алгебр по отношению производной эквивалентности с помощью вычислений обобщенных идеалов Рейнольдса. Построение системы образующих Шафаревича в формальном \pi_0-критическом А-модуле и нахождение явной формулы для спаривания Гильберта в \pi_0-критических формальных модулях. Обобщение на категории модулей над некоторыми классами полуцепных колец классических результатов, известных для абелевых групп и активно обсуждающихся последние десятилетия в ряде научных публикаций для определённых видов колец. Распростанение явной формулы типа Востокова на новые классы формальных групп, где подобные явные формулы символа Гильберта ранее не были известны. Формулы данного типа были впервые получены С. В. Востоковым в мультипликативном случае, затем обобщены им же для формальных групп Любина-Тейта, выведены для формальных групп Хонды в различных работах С. В. Востокова, Д. Г. Бенуа, В. А. Абрашкина и О. В. Демченко и для относительных формальных групп Любина-Тейта в работе С. В. Востокова и О. В. Демченко. Для достаточно широкого класса формальных групп, таким образом, кососимметрическое спаривание Гильберта может быть построено, но явная его формула не получена. В даннном исследовании рассматривается случай многочленных формальных групп, который является первым примером явных формул для символа Гильберта на формальных группах, у которых кольцо эндоморфизмов вкладывается изоморфно, но не совпадает с кольцом, на котором задана группа. Нахождение явного критерия для упрощения кубического корня из кубической иррациональности для базового поля рациональных чисел. Разработка аналогов для радикалов старших степеней и для иного базового поля. Изучение связи кубических иррациональностей со сложением точек на подходящей эллиптической кривой и нахождение необходимых или достаточных условий упрощения кубического корня в терминах соответствующего элемента группы Морделла-Вейля. Уже случай описания надгрупп блочно-диагональных групп в некоторых нечетной классической ортогональной группе над кольцом без условия обратимости 2 является содержательно сложной задачей. Мы собираемся описать блочно-диагональные подгруппы в некотором классе нечетных унитарных групп в духе работ В. А. Петрова, с необходимыми ограничениями на соответствующую квадратичную форму, которые должны приблизить сложность вычислений к ортогональному случаю. Связать явно параметризацию множества деформаций формальной группы конечной высоты над конечным полем и получить явное описание действия группы автоморфизмов формальной группы сопряжением на множестве деформаций в координатной системе, заданной универсальной деформацией. Изучить и развить методы доказательства нижних оценок на схемную сложность. Установить связи с верхними оценками для алгоритмов, решающих задачу выполнимости. Разработать более эффективные алгоритмы для задач, для которых не известно полиномиальных алгоритмов. Изучить и развить методы доказательства нижних оценок на алгоритмы и системы доказательств. Следуя программе Кука, доказать нижние оценка для конкретных систем. В области сетевых алгоритмов планируется разработать новые алгоритмы обработки сетевых пакетов с разнородными требованиями к обработке и новые алгоритмы для оптимизации классификаторов сетевых пакетов.