Итоговый отчет по гранту No (МК-1378.2017.1)
«Деформации ассоциативных и неассоциативных алгебр»
Руководитель: Волков Юрий Владимирович

Реферат: В данный период реализации проекта были проведены различные исследованиям в области гомологической алгебры, а также в области неассоциативных и n-арных алгебр. А именно, были изучены обобщенные дифференцирования n-арных Hom-Omega цветных алгебр, были описаны йордановы алгебры, допускающие дифференцирования с обратимыми значениями, была разработана конструкция, связывающая несколько ранее известных теорий, относящихся к линейности градуированных модулей над градуированными алгебрами, были вычислены группы когомологий Хохшильда для алгебр диэдрального типа из серии D(3R), была получена классификация алгебр размерности 2 над произвольным алгебраически замкнутым полем, описаны все жесткие алгебры и неприводимые компоненты в многообразии алгебр Лейбница размерности 4 над полем комплексных чисел, было определено понятие идеалов Кюльшамера градуированной категории, были определены и изучены некоторые свойства идеалов типа Кюльшаммера в градуированном центре триангулированной категории и когомологиях Хохшильда алгебры, было получено описание минимального (по включению) разделяющего множества для алгебры матриц GL(2)-инвариантов для любого d, были описаны все подалгебры и автоморфизмы некоторых трехпараметрических семейств простых некоммутативных йордановых супералгебр, были описаны дифференцирования нетривиальных простых конечномерных некоммутативных йордановых супералгебр.

Введение: Изучение вырождений n-арных алгебр. Изучение вырождений алгебр малых размерностей. Исследование структуры алгебр малого уровня. Доказательство гипотезы Грюнвальда-О'Халлорана. Описание терминальных алгебр малой размерности и их вырождений. Исследование алгебраических свойств универсальных консервативных алгебр и
простых конечномерных терминальных алгебр. Классификация простых консервативных супералгебр. Исследование обобщенных дифференцирований n-арных Hom-Omega цветных алгебр. Вычисление групп когомологий Хохшильда для алгебр диэдрального типа. Описание минимальных разделяющих множеств для алгебр инвариантов. Описание свойств простых конечномерных некоммутативных йордановых супералгебр.

Основная часть отчета о НИР
2017 г.:
(1) была описана полная система вырождений четырехмерных алгебр Зинбеля и четырехмерных нильпотентных алгебр Лейбница над полем комплексных чисел. В частности, описаны жесткие алгебры и неприводимые компоненты данного семейства. Было доказано, что гипотеза Грюневальда-О'Халлоран не верна для многообразия алгебр Лейбница размерности 4. С другой стороны, показано, что для этого класса алгебр гипотеза Вернь верна.

(2) были изучены обобщенные дифференцирования n-арных Hom-Omega цветных алгебр и установлены некоторые свойства алгебр обобщенных дифференцирований мультипликативных n-арных Hom-\Omega цветных алгебр. В частности, доказано, что алгебра квазидифференцирований любой мультипликативной n-арной Hom-\Omega цветной алгебры вкладывается в алгебру дифференцирований большей мультипликативной n-арной Hom-\Omega цветной алгебры.

(3) были писаны йордановы алгебры, допускающие дифференцирования с обратимыми значениями. Было показано, что такая алгебра есть нулевое расширение простой йордановой алгебры, и были полностью описаны конечномерные йордановы алгебры, допускающие дифференцирования с обратимыми значениями.

(4) разработана конструкция, связывающая несколько ранее известных теорий, относящихся к линейности градуированных модулей над градуированными алгебрами. В частности, был разработан метод, позволяющий вычислять возможные степени порождающих членов минимальной проективной резольвенты некоторого модуля, если известны степени порождающих для первого члена проективной резольвенты специального вида.

(5) были вычислены группы когомологий Хохшильда для алгебр диэдрального типа из серии D(3R).


2018 г.:

(1) была получена классификация алгебр размерности 2 над произвольным алгебраически замкнутым полем. Также были описаны вырождения и замыкания некоторых серий алгебр в многообразии двумерных алгебр. Наконец, были получены аналогичные описания для подмногообразий двумерных эластичных и бикоммутативных алгебр.

(2) было опредлено понятие идеалов Кюльшамера градуированной категории. Были определены и изучены некоторые свойства идеалов типа Кюльшаммера в градуированном центре триангулированной категории и когомологиях Хохшильда алгебры, что дало возможность построить новые производные инварианты. Также свойства идеалов Кульшамера были изучены более подробно в случае, когда категория является d-Калаби-Яу.

(3) было получено описание минимального (по включению) разделяющего множества
для алгебры матриц GL(2)-инвариантов для любого d.

(4) описаны все подалгебры и автоморфизмы некоторых трехпараметрических семейств простых некоммутативных йордановых супералгебр. Также были описаны дифференцирования нетривиальных простых конечномерных некоммутативных йордановых супералгебр.

Заключение
В результате работ по проекту все поставленные задачи были выполнены, а также были получены новые интересные результаты в близких областях к тематике проекта. Полученные результаты представлены и опубликованы в ведущих мировых математических журналах