Явление предельной формы, интегрируемые системы и теория представлений: 2021 г. этап 1

Проект: исполнение гранта/договораисполнение этапа гранта/договора

Сведения о проекте

описание

Проблема исследования больших систем является одной из центральных в теоретической и математической физике, и на протяжении долгого времени остается одной из основных задач статистической механики. В последние десятилетия эта тема стала ещё более актуальной в связи с задачей обработки больших данных, развитием квантовой информации, прикладных задач комбинаторики и других областей.

Основной целью проекта является развитие новых методов математической физики в применении к явлению предельных форм - детерминистических структур в системах, состоящих из большого числа случайных элементов. Применяемые в работе методы основаны на синтезе традиционных подходов к этой проблеме и на методах современной теории интегрируемых систем. Такой подход требует не только применения, но и развития методов интегрируемых систем, как квантовых, так и классических. Обозначенная цель проекта будет достигаться решением конкретных задач, которые можно объединить в три категории.

1. Предельные формы в моделях статистической механики.

а) Описание геометрии и свойств предельных форм в двумерных моделях статистической механики. Одним из наиболее значимых открытий в этом направлении было полное описание предельных форм для димерных моделей в областях с критическими граничными условиями (А. Окуньков и соавторы). Мы планируем сделать следующий шаг и развить новую методологию с использованием Гамильтоновых методов интегрируемых моделей. Направление основано на недавнем цикле работ Н. Решетихина и соавторов, где было показано, что соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа имеют бесконечное количество интегралов. Предельные формы и корреляционные функции будут изучены для обобщенных граничных условий типа доменной стенки. Новая методология будет развита на основе метода касательных.

б) Много лет остается открытым вопрос о предельных формах систем без функции высоты. Ответ хорошо известен для модели Изинга - это капли Добрушина-Котецкого-Шлосмана. Их открытие было наиболее ярким и значимым достижением в исследовании модели Изинга после открытия Онзагером ее точного решения. Одной из задач проекта является изучение формирования таких капель в более общих моделях (таких, как некритические модели димеров, шестивершинная модель в антисегнетоэлектрической фазе и т.д.) в некритических фазах. Решение этой задачи требует создания новых методов вычисления энергии поверхностного натяжения и вычисления более тонких асимптотик статистических сумм и корреляционных функций.

в) Для исследования предельных форм больших систем будут разработаны и применены численные методы, основанные на методе Монте-Карло и его модификациях, таких как метод отжига популяций. Будет имплементирована параллельная версия этих алгоритмов на видеокартах. Эти новые методы будут применены для исследования тонких асимптотических явлений и скейлинга в предельными формах, а также корреляционных функций.

2. Асимптотическая теория представлений и комбинаторика:

а) Будут найдены и исследованы предельные распределения неразложимых компонент в тензорных произведениях конечномерных представлений супералгебр Ли и квантовых групп в корнях из единицы в пределе, когда количество сомножителей стремится к бесконечности. Для супералгебр Ли эта задача изучалась в очень специальном случае,
мы планируем полное решение задачи. Для решения этой задачи в случае квантовых групп в интересных корнях из единицы необходим очень тонкий анализ разложения этих представлений на наклонные модули. Для других алгебр Ли эта задача по-прежнему открыта. В обоих случаях она имеет важные приложения и распространяется далеко за пределы существующих результатов.

б) Аналогичные асимптотические задачи для представлений аффинных алгебр Каца-Муди являются совершенно новыми. Несколько имеющихся в литературе результатов не дают содержательного описания асимптотики даже для частных случаев. Вычисление этих асимптотик является еще одной задачей проекта. Например, в случае sl(n) такого рода асимптотика непосредственно связана с квантовой теорией информации. Ожидается, что асимптотика в аффинном случае может найти столь же важные приложения.

в) Асимптотические задачи комбинаторики, в частности, статистика больших разбиений и их обобщений будут изучены в контексте асимптотик моментов случайных больших распределений. Одним из важных вопросов, связанных с этой задачей, является асимптотика спектра спиновой модели Калоджеро-Мозера и соответствующих матриц плотности.

3. Классические и квантовые интегрируемые и суперинтегрируемые системы.
а) Планируется изучить связь между классическими суперинтегрируемыми системами и задачами криптографии, а также использовать эти результаты как для построения новых крипто-алгоритмов, так и и для нахождения новых суперинтегрируемых систем.
б) Будут построены бесконечномерные аналоги суперинтегрируемых систем на пространствах модулей, связанных с простыми конечномерными группами Ли, на группах петель и соответствующих группах Каца-Муди. Также будут построены квантовые аналоги этих систем. Это совершенно новый подход, основанный на недавних работах руководителя проекта.
в) Будет изучен предел систем типа Калоджеро-Мозера и их обобщений в случае, когда ранг алгебры Ли стремится к бесконечности. Решение этой задачи актуально для перечисленных выше проблем асимптотической теории представлений и комбинаторики. В частности, очень мало известно о таких асимптотиках для систем корней B, C и D.
Короткий заголовокЯвление предельной формы, интегрируемые системы и теория представлений
АкронимRSF_RG_2021 - 1
СтатусАктивный
Действительная дата начала/окончания26/04/2131/12/21

Ключевые слова

  • предельная форма
  • арктическая кривая
  • суперинтегрирумость
  • теория представлений
  • шестивершинная модель
  • модель димеров
  • разложение тензорных произведений
  • плоские разбиения
  • статистическая механика
  • квантовые группы
  • системы Калоджеро-Мозера
  • супералгебры Ли