Явление предельной формы, интегрируемые системы и теория представлений: 2021 г. этап 1

Проект: исполнение гранта/договораисполнение этапа гранта/договора

Сведения о проекте

описание

Проблема исследования больших систем является одной из центральных в теоретической и математической физике, и на протяжении долгого времени остается одной из основных задач статистической механики. В последние десятилетия эта тема стала ещё более актуальной в связи с задачей обработки больших данных, развитием квантовой информации, прикладных задач комбинаторики и других областей.

Основной целью проекта является развитие новых методов математической физики в применении к явлению предельных форм - детерминистических структур в системах, состоящих из большого числа случайных элементов. Применяемые в работе методы основаны на синтезе традиционных подходов к этой проблеме и на методах современной теории интегрируемых систем. Такой подход требует не только применения, но и развития методов интегрируемых систем, как квантовых, так и классических. Обозначенная цель проекта будет достигаться решением конкретных задач, которые можно объединить в три категории.

1. Предельные формы в моделях статистической механики.

а) Описание геометрии и свойств предельных форм в двумерных моделях статистической механики. Одним из наиболее значимых открытий в этом направлении было полное описание предельных форм для димерных моделей в областях с критическими граничными условиями (А. Окуньков и соавторы). Мы планируем сделать следующий шаг и развить новую методологию с использованием Гамильтоновых методов интегрируемых моделей. Направление основано на недавнем цикле работ Н. Решетихина и соавторов, где было показано, что соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа имеют бесконечное количество интегралов. Предельные формы и корреляционные функции будут изучены для обобщенных граничных условий типа доменной стенки. Новая методология будет развита на основе метода касательных.

б) Много лет остается открытым вопрос о предельных формах систем без функции высоты. Ответ хорошо известен для модели Изинга - это капли Добрушина-Котецкого-Шлосмана. Их открытие было наиболее ярким и значимым достижением в исследовании модели Изинга после открытия Онзагером ее точного решения. Одной из задач проекта является изучение формирования таких капель в более общих моделях (таких, как некритические модели димеров, шестивершинная модель в антисегнетоэлектрической фазе и т.д.) в некритических фазах. Решение этой задачи требует создания новых методов вычисления энергии поверхностного натяжения и вычисления более тонких асимптотик статистических сумм и корреляционных функций.

в) Для исследования предельных форм больших систем будут разработаны и применены численные методы, основанные на методе Монте-Карло и его модификациях, таких как метод отжига популяций. Будет имплементирована параллельная версия этих алгоритмов на видеокартах. Эти новые методы будут применены для исследования тонких асимптотических явлений и скейлинга в предельными формах, а также корреляционных функций.

2. Асимптотическая теория представлений и комбинаторика:

а) Будут найдены и исследованы предельные распределения неразложимых компонент в тензорных произведениях конечномерных представлений супералгебр Ли и квантовых групп в корнях из единицы в пределе, когда количество сомножителей стремится к бесконечности. Для супералгебр Ли эта задача изучалась в очень специальном случае,
мы планируем полное решение задачи. Для решения этой задачи в случае квантовых групп в интересных корнях из единицы необходим очень тонкий анализ разложения этих представлений на наклонные модули. Для других алгебр Ли эта задача по-прежнему открыта. В обоих случаях она имеет важные приложения и распространяется далеко за пределы существующих результатов.

б) Аналогичные асимптотические задачи для представлений аффинных алгебр Каца-Муди являются совершенно новыми. Несколько имеющихся в литературе результатов не дают содержательного описания асимптотики даже для частных случаев. Вычисление этих асимптотик является еще одной задачей проекта. Например, в случае sl(n) такого рода асимптотика непосредственно связана с квантовой теорией информации. Ожидается, что асимптотика в аффинном случае может найти столь же важные приложения.

в) Асимптотические задачи комбинаторики, в частности, статистика больших разбиений и их обобщений будут изучены в контексте асимптотик моментов случайных больших распределений. Одним из важных вопросов, связанных с этой задачей, является асимптотика спектра спиновой модели Калоджеро-Мозера и соответствующих матриц плотности.

3. Классические и квантовые интегрируемые и суперинтегрируемые системы.
а) Планируется изучить связь между классическими суперинтегрируемыми системами и задачами криптографии, а также использовать эти результаты как для построения новых крипто-алгоритмов, так и и для нахождения новых суперинтегрируемых систем.
б) Будут построены бесконечномерные аналоги суперинтегрируемых систем на пространствах модулей, связанных с простыми конечномерными группами Ли, на группах петель и соответствующих группах Каца-Муди. Также будут построены квантовые аналоги этих систем. Это совершенно новый подход, основанный на недавних работах руководителя проекта.
в) Будет изучен предел систем типа Калоджеро-Мозера и их обобщений в случае, когда ранг алгебры Ли стремится к бесконечности. Решение этой задачи актуально для перечисленных выше проблем асимптотической теории представлений и комбинаторики. В частности, очень мало известно о таких асимптотиках для систем корней B, C и D.

описание для неспециалистов

Рассмотрены неинвариантные тензоры Киллинга с ненулевым кручением Хаантьеса в трехмерном евклидовом
пространстве. Путем обобщения соответствующих интегрируемых систем построены два новых семейства
суперинтегрируемых систем в n-мерном евклидовом пространстве. Доказано существование интегрируемых систем,
связанных с полностью не инвариантными тензорами Киллинга с ненулевым кручением Хаантьеса. Предложена схема
построения матриц Лакса для алгебраически интегрируемых систем на приводимых абелевых многообразиях. В
качестве примера построено несколько матриц Лакса для системы двух центров Эйлера. Построено новое семейство
интегрируемых систем с интегралами движения, которые являются полиномами шестой степени по импульсам.
Подготовлены препринты:
A. V. Tsiganov, On integrable systems outside Nijenhuis and Haantjes geometry, https://arxiv.org/abs/2102.10272
A.V. Tsiganov, Reducible Abelian varieties and Lax matrices for Euler's problem of two fixed centres,
https://arxiv.org/abs/2104.10362
E.O. Porubov, A. V. Tsiganov, On two-dimensional Hamiltonian systems with sixth-order integrals of motion,
https://arxiv.org/abs/2110.12860
Предложена новая квантовая интегрируемая модель для каждой простой алгебры Ли не из серий ADE, которую мы
Проект No 21-11-00141/2021 Страница 7 из 28называем свернутой интегрируемой моделью. Ее спектр соответствует решениям уравнений анзаца Бете, полученным
путем свертки уравнений анзаца Бете для стандартной интегрируемой модели, связанной с квантовой аффинной
алгеброй Uq(g′ˆ) для алгебры Ли серий ADE, соответствующей g.
Подготовлен препринт:
Edward Frenkel, David Hernandez, Nicolai Reshetikhin, Folded quantum integrable models and deformed W-algebras,
https://arxiv.org/abs/2110.14600
Рассмотрена задача вычисления корреляционных функций в шестивершинной модели с граничными условиями типа
доменной стенки. Модель сформулирована в терминах скалярного произведения состояний Бете вне поверхности
масс. Применен квантовый метод обратной задачи и получены три различных интегральных представления для этих
состояний. Комбинируя подходящим образом такие представления и используя определенное соотношение
антисимметризации в двух наборах переменных, можно получить интегральные представления для различных
корреляционных функций. В частности, для вероятности образования пустоты, помимо воспроизведения известного
результата, полученного ранее другим методом, было выведено новое представление. По построению эти два
представления различаются числом интегрирований, и их эквивалентность связана с иерархией весьма нетривиальных
тождеств.
Опубликована статья:
F. Colomo, G. Di Giulio, A. G. Pronko, Six-vertex model on a finite lattice: integral representations for nonlocal correlation
functions, https://doi.org/10.1016/j.nuclphysb.2021.115535
Для классических серий групп Ли из кососимметрической двойственности Хау получены формулы для кратностей
неприводимых представлений в разложении тензорных степеней некоторых представлений, в частности, для
внешней алгебры фундаментального представления серии GL и для спинорного представления в серии SO. В пределе
бесконечного ранга группы и бесконечной тензорной степени получена предельная форма диаграмм Юнга, которыми
параметризуются неприводимые представления, входящие в разложение. Показано, что предельная форма во всех
классических сериях описывается одной аналитической формулой. Доказана равномерная сходимость к предельной
форме. Показано, что предельная форма и флуктуации вокруг нее описывается ансамблем Кравчука.
Подготовлен препринт: Anton Nazarov, Olga Postnova, Travis Scrimshaw, Skew Howe duality and limit shapes of Young
diagrams, https://arxiv.org/abs/2111.12426
Рассмотрена модель путей на целочисленной решетке в присутствии фильтров первого типа и длинных шагов,
начальные и конечные точки которых находятся в окрестности фильтров. Введено понятие конгруэнтности связных
регионов в моделях путей на решётке. Это понятие оказывается полезным для вывода явных формул подсчёта путей во
вспомогательной модели путей в присутствии длинных шагов, начало и конец которых лежат в фильтрах. Задача
мотивирована тем, что взвешенные числа путей такой модели воспроизводят кратности в разложении тензорной
степени двумерного U_q(sl_2)-модуля в корнях из единицы. Были изучены комбинаторные свойства данной модели, а
также изложен план доказательства вывода явных формул для подсчёта путей.
Опубликована статья:
D. P. Solovyev, Towards counting paths in lattice path models with filter restrictions and long steps
http://ftp.pdmi.ras.ru/pub/publicat/znsl/v509/p201.pdf

основные результаты по этапу (подробно)

Доказано существование интегрируемых систем, связанных с полностью не инвариантными тензорами Киллинга с
ненулевым кручением Хаантьеса.
Предложена схема построения матриц Лакса для алгебраически интегрируемых систем на приводимых абелевых
многообразиях. В качестве примера построено несколько матриц Лакса для системы двух центров Эйлера.
Построено новое семейство интегрируемых систем с интегралами движения, которые являются полиномами шестой
степени по импульсам.
Проведена работа по изучению дифференциальных уравнений, описывающие предельную форму в шестивершинной
модели и изучена возможность существования для них представления Лакса. Задача оказалась более сложной: для
перехода от квантовой Лаксовой пары к "классической", описывающей предельную форму, понадобился более тонкий
анализ асимптотики большого обьема ("квасиклассической асимптотики"). Этот анализ будет закончен в 2022 году.
Предложена новая квантовая интегрируемая модель для каждой простой алгебры Ли не из серий ADE, которую мы
называем свернутой интегрируемой моделью. Ее спектр соответствует решениям уравнений анзаца Бете, полученным
путем свертки уравнений анзаца Бете для стандартной интегрируемой модели, связанной с квантовой аффинной
алгеброй Uq(g′ˆ) для алгебры Ли серий ADE, соответствующей g. Статья подготовлена Н.Ю. Решетихиным к публикации в
соавторстве Э.Френкелем и Д. Эрнандесом. Опубликован препринт Folded quantum integrable models and deformed W-
algebras, 2110.14600.
Получена явная формула для кратностей косых модулей в разложении тензорной степени фундаментального
представления q-деформации универсальной обёртывающей алгебры sl_2, где q является корнем из единицы. Часть
результатов опубликованы в статье (D. Solovyev, Towards counting paths in lattice path models with filter restrictions and
long steps, Zapiski Nauchnykh Seminarov POMI, 2021). Сформулирован метод построения формулы для кратностей с
использованием условий ортогональности характеров косых модулей. Результаты подготовлены к публикации.
Для классических серий групп Ли из кососимметрической двойственности Хау получены формулы для кратностей
неприводимых представлений в разложении тензорных степеней некоторых представлений, в частности, для
внешней алгебры фундаментального представления серии GL и для спинорного представления в серии SO. В пределе
бесконечного ранга группы и бесконечной тензорной степени получена предельная форма диаграмм Юнга, которыми
параметризуются неприводимые представления, входящие в разложение. Показано, что предельная форма во всех
классических сериях описывается одной аналитической формулой. Доказана равномерная сходимость к предельной
форме. Показано, что предельная форма и флуктуации вокруг нее описывается ансамблем Кравчука. Статья
подготовлена А.А. Назаровым и О.В. Постновой к публикации в соавторстве с T.Scrimshaw (Япония) и направлена в
журнал Probability Theory and Related Fields, опубликован препринт 2111.12426.
Получены новые результаты о корреляционных функциях шестивершинной модели с граничными условиями типа
доменной стенки. Модель сформулирована в терминах скалярного произведения состояний Бете вне поверхности
масс. Квантовый метод обратной задачи позволил получить три различных интегральных представления для этих
состояний. На основе этих результатов также развит систематический метод вычисления нелокальных корреляционных
функций на примере вероятности образования пустоты. Для этой корреляционной функции было получено два
интегральных представления, одно из которых было получено ранее другим методом. Обнаружена иерархия
нетривиальных тождеств обеспечивающих эквивалентность двух представлений. Вычислена одноточечная
корреляционная функция в четырехвершинной модели с фиксированными граничными условиями типа скалярное
произведение. Для этой функции получено представление в виде контурного интеграла от некоторой суммы миноров
типичной для разложения определителя суммы двух матриц. Опубликована статья:
F. Colomo, G. Di Giulio, A. G. Pronko, Six-vertex model on a finite lattice: integral representations for nonlocal correlation
functions, https://doi.org/10.1016/j.nuclphysb.2021.115535
Алгоритм Монте-Карло для шестивершинной модели был распараллелен на многоядерном процессоре (CPU) с
использованием технологии OpenMP, обеспечивающей общий доступ потоков к данным в оперативной памяти. Таким
образом, достигнутое ускорение генерации случайных конфигураций Монте-Карло алгоритма получилось
пропорционально числу ядер многоядерного процессора. Результаты были представлены в П.А.Беловым виде
стендового доклада "Monte Carlo simulations of the two-point correlation functions in the six-vertex lattice model" на
международной конференции "Суперкомпьютерные дни в России", Москва, 27-28 сентября 2021. Для изучения
возможности формирования капель Добрушина-Котецкого-Шлосмана в моделях димеров на недвудольных графах
реализован алгоритм Монте-Карло для димеров на треугольной решетке. В симуляциях обнаружено, что для
формирования капель необходим специальный выбор параметров.
Доказано, что для большого канонического ансамбля разбиений моменты случайного разбиения разных порядков
имеют различное предельное поведение: в качестве пределов возникает гауссовское при порядках, не меньших 1/2, и
другие бесконечно делимые распределения при меньших, в том числе отрицательных, порядках.
В гауссовском случае результаты о моментах случайного разбиения перенесены на равномерные меры на разбиениях
фиксированного числа.

основные результаты по этапу (кратко)

Доказано существование интегрируемых систем, связанных с полностью не инвариантными тензорами Киллинга с
ненулевым кручением Хаантьеса.
Предложена схема построения матриц Лакса для алгебраически интегрируемых систем на приводимых абелевых
многообразиях. В качестве примера построено несколько матриц Лакса для системы двух центров Эйлера.
Построено новое семейство интегрируемых систем с интегралами движения, которые являются полиномами шестой
степени по импульсам.
Проведена работа по изучению дифференциальных уравнений, описывающие предельную форму в шестивершинной
модели и изучена возможность существования для них представления Лакса. Задача оказалась более сложной: для
перехода от квантовой Лаксовой пары к "классической", описывающей предельную форму, понадобился более тонкий
анализ асимптотики большого обьема ("квасиклассической асимптотики"). Этот анализ будет закончен в 2022 году.
Предложена новая квантовая интегрируемая модель для каждой простой алгебры Ли не из серий ADE, которую мы
называем свернутой интегрируемой моделью. Ее спектр соответствует решениям уравнений анзаца Бете, полученным
путем свертки уравнений анзаца Бете для стандартной интегрируемой модели, связанной с квантовой аффинной
алгеброй Uq(g′ˆ) для алгебры Ли серий ADE, соответствующей g. Статья подготовлена Н.Ю. Решетихиным к публикации в
соавторстве Э.Френкелем и Д. Эрнандесом. Опубликован препринт Folded quantum integrable models and deformed W-
algebras, 2110.14600.
Получена явная формула для кратностей косых модулей в разложении тензорной степени фундаментального
представления q-деформации универсальной обёртывающей алгебры sl_2, где q является корнем из единицы. Часть
результатов опубликованы в статье (D. Solovyev, Towards counting paths in lattice path models with filter restrictions and
long steps, Zapiski Nauchnykh Seminarov POMI, 2021). Сформулирован метод построения формулы для кратностей с
использованием условий ортогональности характеров косых модулей. Результаты подготовлены к публикации.
Для классических серий групп Ли из кососимметрической двойственности Хау получены формулы для кратностей
неприводимых представлений в разложении тензорных степеней некоторых представлений, в частности, для
внешней алгебры фундаментального представления серии GL и для спинорного представления в серии SO. В пределе
бесконечного ранга группы и бесконечной тензорной степени получена предельная форма диаграмм Юнга, которыми
параметризуются неприводимые представления, входящие в разложение. Показано, что предельная форма во всех
классических сериях описывается одной аналитической формулой. Доказана равномерная сходимость к предельной
форме. Показано, что предельная форма и флуктуации вокруг нее описывается ансамблем Кравчука. Статья
подготовлена А.А. Назаровым и О.В. Постновой к публикации в соавторстве с T.Scrimshaw (Япония) и направлена в
журнал Probability Theory and Related Fields, опубликован препринт 2111.12426.
Получены новые результаты о корреляционных функциях шестивершинной модели с граничными условиями типа
доменной стенки. Модель сформулирована в терминах скалярного произведения состояний Бете вне поверхности
масс. Квантовый метод обратной задачи позволил получить три различных интегральных представления для этих
состояний. На основе этих результатов также развит систематический метод вычисления нелокальных корреляционных
функций на примере вероятности образования пустоты. Для этой корреляционной функции было получено два
интегральных представления, одно из которых было получено ранее другим методом. Обнаружена иерархия
нетривиальных тождеств обеспечивающих эквивалентность двух представлений. Вычислена одноточечная
корреляционная функция в четырехвершинной модели с фиксированными граничными условиями типа скалярное
произведение. Для этой функции получено представление в виде контурного интеграла от некоторой суммы миноров
типичной для разложения определителя суммы двух матриц. Опубликована статья:
F. Colomo, G. Di Giulio, A. G. Pronko, Six-vertex model on a finite lattice: integral representations for nonlocal correlation
functions, https://doi.org/10.1016/j.nuclphysb.2021.115535
Алгоритм Монте-Карло для шестивершинной модели был распараллелен на многоядерном процессоре (CPU) с
использованием технологии OpenMP, обеспечивающей общий доступ потоков к данным в оперативной памяти. Таким
образом, достигнутое ускорение генерации случайных конфигураций Монте-Карло алгоритма получилось
пропорционально числу ядер многоядерного процессора. Результаты были представлены в П.А.Беловым виде
стендового доклада "Monte Carlo simulations of the two-point correlation functions in the six-vertex lattice model" на
международной конференции "Суперкомпьютерные дни в России", Москва, 27-28 сентября 2021. Для изучения
возможности формирования капель Добрушина-Котецкого-Шлосмана в моделях димеров на недвудольных графах
реализован алгоритм Монте-Карло для димеров на треугольной решетке. В симуляциях обнаружено, что для
формирования капель необходим специальный выбор параметров.
Доказано, что для большого канонического ансамбля разбиений моменты случайного разбиения разных порядков
имеют различное предельное поведение: в качестве пределов возникает гауссовское при порядках, не меньших 1/2, и
другие бесконечно делимые распределения при меньших, в том числе отрицательных, порядках.
В гауссовском случае результаты о моментах случайного разбиения перенесены на равномерные меры на разбиениях
фиксированного числа.

описание вклада в работу каждого из участников (учётная форма ЦИТиС)

Цыганов Андрей Владимирович, профессор.
Построено два новых семейства суперинтегрируемых систем в n-мерном евклидовом пространстве и изучены
соответствующие алгебры интегралов движения. Доказано, что необходимое для интегрируемости по Лиувиллю
инволютивное семейство интегралов движения всегда содержит n-1 квадратичных интегралов движения и один
интеграл движения четвертой степени по импульсам. Отвечающий квадратичным интегралам движения тензор
Киллинга валентности два является неинвариантным тензором относительно действия группы изометрий и его
кручение Хаантьеса не равно нулю. Таким образом, эти системы дают нам первый пример построения квадратичных по
импульсам интегралов движения вне схемы Эйзенхарта, т.е. вне геометрии Нийенхейса-Хаантьеса. Для простейших
алгебраически интегрируемых гамильтоновых систем, потоки которых линеаризуются на приводимых абелевых
многообразиях, предложен новый метод построения матриц Лакса с помощью координат Мамфорда на произведении
двух эллиптических кривых. В качестве примера рассмотрена классическая система Эйлера, описывающая движение в
поле двух неподвижных центров. Аналогично системе Клебша и волчку Ковалевской, для которых торы Лиувилля также
приводимы, основным элементом предложенной схемы является кубический полином, т.е. первая компонента
координат Мамфорда, описывающий три точки пересечения эллиптической кривой в форме Вейерштрасса с прямой,
т.е. приводимый дивизор точек пересечения возникающий также в современной криптографии на эллиптических
кривых. Начато исследование двумерных интегрируемых метрик, не обладающих изометриями, т.е. метрик с
тривиальной группой движений. В качестве таких метрик, не обладающих так же тензорами Киллинга валентости два,
рассмотрен ряд суперинтегрируемых геодезических потоков с интегралами движения третьей и четвертой степени по
импульсам. Добавляя к этим геодезическим потокам потенциалы мы получили также новое семейство интегрируемых
систем натурального вида с полиномиальными интегралами движения шестой степени по импульсам.

Решетихин Николай Юрьевич, главный научный сотрудник.
Изучены дифференциальные уравнения, описывающие предельную форму в шестивершинной модели в гамильтоновой
формулировке. Работа продолжается. Предложена новая квантовая интегрируемая модель для каждой простой
алгебры Ли не из серий ADE, которую мы называем свернутой интегрируемой моделью. Ее спектр соответствует
решениям уравнений анзаца Бете, полученным путем свертки уравнений анзаца Бете для стандартной интегрируемой
модели, связанной с квантовой аффинной алгеброй Uq(g′ˆ) для алгебры Ли серий ADE, соответствующей g. (Н.Ю.
Решетихин)
Рассмотрена модель путей на целочисленной решетке в присутствии фильтров первого типа и длинных шагов,
начальные и конечные точки которых находятся в окрестности фильтров. Для её исследования было введено понятие
конгруэнтности областей в моделях путей. С его помощью, а также с помощью пар Вильфа-Зильбергера была получена
явная формула для подсчёта взвешенного числа путей в данной модели. Рекурсия на взвешенные числа путей
рассматриваемой модели совпадает с рекурсией на кратности косых модулей в разложении тензорной степени
фундаментального представления q-деформации универсальной обёртывающей алгебры sl_2, где q является корнем из
единицы. Начато исследование асимптотик полученных кратностей и меры Планшереля для маленькой квантовой
группы sl_2 . (Н.Ю. Решетихин, Д. П. Соловьев)

Назаров Антон Андреевич, доцент.
Изучались кратности в разложении тензорных степеней представлений групп Ли классических серий на
неприводимые. При рассмотрении тензорной степени внешней алгебры первого фундаментального представления
имеет место кососимметрическая двойственность Хау, то есть тензорная степень раскладывается без кратностей в
прямую сумму произведений представлений группы Ли и двойственной группы Ли. Отсюда были получены формулы
для кратностей неприводимых представлений в разложении тензорной степени внешней алгебры первого
фундаментального представления групп Ли классических серий, которые также применимы к некоторым другим
представлениям, в частности, для спинорного представления в серии SO. В пределе бесконечного ранга группы и
бесконечной тензорной степени из формул для кратностей получена предельная форма диаграмм Юнга, которыми
параметризуются неприводимые представления, входящие в разложение. Показано, что предельная форма во всех
классических сериях описывается одной аналитической формулой. Аналитическая формула для предельной формы в
разложении бесконечной тензорной степени представления алгебры Ли на неприводимые в пределе бесконечного
ранга алгебры Ли получена путем решения задачи Римана-Гильберта. Доказана равномерная сходимость к предельной
форме. Показано, что предельная форма для серии GL и флуктуации вокруг нее описывается ансамблем ортогональных
полиномов Кравчука. Изучен альтернативный способ получения предельной формы из спектральных данных
разностного оператора, действующего на ортогональные полиномы. Ортогональные полиномы можно рассматривать,
как собственные функции оператора Лакса, связанного с рекуррентным соотношением и разностным уравнением для
ортогональных полиномов. Такие интегрируемые системы будут изучены в дальнейшем. (А.А. Назаров, О.В. Постнова)
За отчетный период были проведены исследования шестивершиннной модели и модели димеров на недвудольных
графах методами Монте-Карло. Для ускорения расчетов на больших решетках, используемый Монте-Карло алгоритм
был распараллелен на многоядерном процессоре (CPU). Для многопоточного распараллеливания использовалась
технология OpenMP, которая обеспечивает общий доступ потоков к данным в оперативной памяти. Таким образом,
достигнутое ускорение генерации случайных конфигураций Монте-Карло алгоритма получилось пропорционально
числу ядер многоядерного процессора. Так как число ядер многоядерного процессора, в настоящее время,
ограничивается несколькими десятками штук, для дальнейших расчетов была начата разработка Монте-Карло
алгоритма, эффективно работающего на видеокартах. На современных видеокартах число параллельных графических
процессоров исчисляется тысячами, поэтому использование видеокарт (GPU) представляется перспективным для
дальнейшего развития данного и смежных направлений исследований. Первые результаты были представлены в виде
стендового доклада "Monte Carlo simulations of the two-point correlation functions in the six-vertex lattice model" на
международной конференции "Суперкомпьютерные дни в России", Москва, 27-28 сентября 2021. Для изучения
возможности формирования капель Добрушина-Котецкого-Шлосмана в моделях димеров на недвудольных графах
реализован алгоритм Монте-Карло для димеров на треугольной решетке. В симуляциях обнаружено, что для
формирования капель необходим специальный выбор параметров. Работы будут продолжены в 2022 году. К концу
следующего года ожидается получить новые численные результаты в шестивершинной модели и моделировании
капель Добрушина-Котецкого-Шлосмана с использованием CPU/GPU. (А.А. Назаров, П.А. Белов)

Пронько Андрей Георгиевич, старший научный сотрудник.
Рассмотрена задача вычисления корреляционных функций в шестивершинной модели с граничными условиями типа
доменной стенки. Модель сформулирована в терминах скалярного произведения состояний Бете вне поверхности
масс. Применен квантовый метод обратной задачи и получены три различных интегральных представления для этих
состояний. Комбинируя подходящим образом такие представления и используя определенное соотношение
антисимметризации в двух наборах переменных, можно получать интегральные представления для различных
корреляционных функций. Это позволяет исследовать задачу о выводе арктических кривых шестивершинной модели, в
том числе для случая граничных условий типа частичной доменной стенки на полубесконечной решетке. В частности,
в контексте задачи вычисления корреляционных функций в шестивершинной модели с граничными условиями типа
доменной стенки были получены новые результаты для вероятности образования пустоты. А именно, помимо
воспроизведения известного результата, полученного ранее другим методом, было выведено новое представление в
терминах кратного контурного интеграла. По построению эти два представления различаются числом интегрирований,
и их эквивалентность связана с иерархией весьма нетривиальных тождеств. Также исследовалась задача о
корреляционных функций четырехвершинной модели с фиксированными граничными условиями типа скалярное
произведение. Ожидается, что в этой модели имеет место явление разделения фаз сегнетоэлектрического и
антисегнетоэлектрического порядков. Для изучения этого круга явлений получены предварительные результаты для
одноточечной функции в виде контурного интеграла от некоторой суммы миноров типичной для разложения
определителя суммы двух матриц. Известно, что подобного рода выражения возникают при исследовании
корреляционных функций матричных моделей, однако в изучаемой задаче имеется нетривиальная деформация
выражений, не позволяющих напрямую воспользоваться известными результатами. В настоящее время идет поиск
компактного представления, которое бы позволило изучить корреляционную функцию в скейлинговом пределе.
(А.Г.Пронько)

передача полной копии отчёта третьим лицам для некоммерческого использования: разрешается/не разрешается (учётная форма ЦИТиС)

разрешается

проверка отчёта на неправомерные заимствования во внешних источниках: разрешается/не разрешается (учётная форма ЦИТиС)

разрешается
Короткий заголовокЯвление предельной формы, интегрируемые системы и теория представлений
АкронимRSF_RG_2021 - 1
СтатусЗавершено
Действительная дата начала/окончания26/04/2131/12/21

Ключевые слова

  • предельная форма
  • арктическая кривая
  • суперинтегрирумость
  • теория представлений
  • шестивершинная модель
  • модель димеров
  • разложение тензорных произведений
  • плоские разбиения
  • статистическая механика
  • квантовые группы
  • системы Калоджеро-Мозера
  • супералгебры Ли

Fingerprint

Просмотреть темы исследований, затронутые в этом проекте. Эти метки созданы на базе основных наград/грантов. Вместе они формируют уникальную картину активности.