Метод представления дискретных переменных для решения квантовой задачи нескольких частиц

Проект: исполнение гранта/договораисполнение гранта/договора в целом

описание

Различные численные методы были успешно использованы для решения квантовой задачи нескольких частиц, например, методы конечных разностей, метод конечных элементов (МКЭ) и другие вариационные методы, методы Монте Карло. В этих расчетах использовались разнообразные системы координат, в том числе гиперсферические координаты и координаты Якоби.

В 1982 году Лилл, Паркер и Лайт [1] впервые описали представление дискретных переменных, в котором оператор, зависящий от координат, является диагональным. Данный подход был независимо представлен Блэкморем и Шизгалом [2] в 1984 году под названием "метод дискретных ординат". Затем данный метод был применен для решения многомерной задачи [3,4]. Метод представления дискретных переменных, который был применен к слабо связанным тримерам, подробно описан в работе [5].

В данной работе рассматриваются системы частиц, энергия связи которых мала, а волновая функция связанного состояния значительно распространена в пространстве, такие как He2, 6Li-He, 7Li-He, He3, 6Li-He2, 7Li-He2. Данные системы представляют особый интерес и были исследованы в других работах, с результатами которых можно ознакомиться в статьях [6–11]. В силу того, что потенциал взаимодействия слабый и локализованный по сравнению с характерными размерами волновой функции системы, задача по аккуратному нахождению энергий связи и волновых функций является весьма сложной. При малых изменениях входных параметров или неточности вычислений результат может сильно отличаться от точного.

Аккуратное описание квантовых систем нескольких частиц является сложной задачей. Небольшие отклонения начальных параметров, вычислительные погрешности могут приводить к значительному изменению получаемых результатов. Вариационные методы хорошо себя зарекомендовали, но для точных расчетов вычисления трудоемки и требуют больших вычислительных ресурсов.
Основной частью данной работы является разработка и реализация метода дискретных переменных или DVR-метода, который позволяет значительно сократить время вычислений. Данный метод основан н определении базисных функций, узлов и весов квадратурной формулы таким образом, что значения функций во всех этих узлах, кроме одного, равны нулю. Это позволяет вместо вычисления интеграла по угловой переменной получить точное значение матричного элемента оператора потенциальной энергии. Благодаря данному представлению, время вычисления матричных элементов гамильтониана существенно сокращается, так что становится возможно проводить расчеты при меньших вычислительных ресурсах без потери точности, уменьшить время ожидания результатов вычислений и проводить научные исследования быстрее за счет более эффективного алгоритма.
С использованием метода представления дискретных переменных исследуются слабосвязные системы нескольких частиц. Полученные результаты демонстрируют высокую эффективность рассматриваемого подхода по сравнению с другими методами решения.

К настоящему времени разработан и реализован алгоритм, который позволяет ускорить вычисление собственных энергий для квантово-механических систем, состоящих из нескольких атомов, таких как тример гелия 4He3. Для ускорения вычислений использовано представление дискретных переменных (DVR, Discrete Variable Representation), основанное на базисе функций, которые локализованы на сетке в координатном пространстве. Для построения DVR-функции необходимо преобразовать набор ортонормированных базисных функций, определенных на промежутке, в другой ортонормированый набор функций, которые локализованы в одной точке на сетке в пространстве. Это преобразование позволяет избавиться от интеграла по одной из переменных при вычислении матричных элементов гамильтониана. Благодаря данному переходу время вычисления матричных элементов существенно сокращается.

В настоящее время метод успешно реализован и протестирован. Применение метода для нахождения энергий связных состояний систем с нулевым моментом полным угловым моментом позволило существенно сократить время вычислений. Результаты работы представлены в журнале «Оптика и спектроскопия», на «Совещании по прецизионной атомно-молекулярной спектроскопии» на базе ПИЯФ, г. Гатчина в ноябре 2017 г и на международной конференции «Conference on Few-Body Problems in Physics (FB22)» в г. Каен, Франция в 2018 г.

В 2019-2020 учебном году планируется разработка универсального метода для работы с более общим классом задач. На данный момент реализован алгоритм, позволяющий выбирать полиномы, по которым строятся DVR-функции. Для этой цели были использованы полиномы Якоби (в частности, полиномы Лежандра и Чебышева) и полиномы Лагерра. Данная модификация помогает учесть особенности потенциальной энергии на малых расстояниях выбором соответствующих параметров в полиномах Якоби.

Также ведется разработка метода для решения задачи с ненулевым орбитальным моментом, что позволит получить качественно новые результаты. Результаты работы будут опубликованы и представлены на международных семинарах и конференциях.

В 2020-2021 учебном году планируется разработка и реализация алгоритма для исследования задачи рассеяния. Для этой цели необходимо перейти от вещественного варианта алгоритма к комплексному. С помощью разработанной программы планируется значительно ускорить вычисление волновой функции и амплитуд рассеяния без потери точности. Результаты также будут представлены в статьях и на международных мероприятиях.

В 2021 году результаты научно-исследовательской деятельности будут представлены в диссертации.

1. Lill J., Parker G., J.C.Light. The discrete variable–finite basis approach to quantum scattering // J. Chem. Phys. 1986. Vol. 85, no. 2. P. 900 – 910.
2. Blackmore R., Shizgal B. Discrete-ordinate method of solution of Fokker-Planck equations with nonlinear coefficients // Phys. Rev. A. 1985. Vol. 31. P. 1855–1868.
3. Bacic Z., Light J. Highly excited vibrational levels of “floppy” triatomic molecules: A discrete variable representation - Distributed Gaussian basis approach // J. Chem. Phys. 1986. Vol. 85, no. 8. P. 4594–4604.
4. Bacic Z., Whitnell R., Brown D., Light J. Localized representations for large amplitude molecular vibrations // Comp. Phys. Comm. 1988. Vol. 51. P. 35–47.
5. Light J. C., Whitnell R. M., Parkand T. J., Choi S. E. // Supercomputer Algorithms for Reactivity, Dynamics and Kinetics of Small Molecules, Ed. By A. Lagana. NATO ASI Series C, 1989. Vol. 277. P. 187.
6. Salci M., Levin S. B., Elander N., Yarevsky E. A. A theoretical study of the rovibrational levels of the bosonic van der Waals neon trimer // J. Chem. Phys. 2008. Vol. 129. P. 134304.
7. Motovilov A., Sandhas W., Sofianos S., Kolganova E. Binding Energies and Scattering Observables in the 4He3 Atomic System // Eur. Phys. J. D. 2001. Vol. 13. P. 34–41.
8. Yuan J., Lin C. D. Weakly bound triatomic He2Li and He2Na molecules // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1998. Vol. 31. P. 647–645.
9. Baccarelli I., Delgado-Barrio G., Gianturco F. A. et al. The weakly bound ground state of the LiHe2 triatomic system // Phys. Chem. Chem. Phys., 2000, 2, 4067-4073. 2000. Vol. 2. P. 4067–4073.
10. Kolganova E. Weakly Bound Li He2 Molecules // Few-Body Syst. 2017. Vol. 58. P. 57.
11. Esry B. D., Lin C. D., Greene C. H. Adiabatic Hyperspherical Study of the Helium Trimer // The American Physical Society. 1996. Vol. 54. P. 394–401.
АббревиатураRFBR_ASP_2019
СтатусАктивный
Действительная дата начала/окончания1/10/1930/09/21

Ключевые слова

  • квантовая задача нескольких частиц
  • метод представления дискретных переменных
  • вычислительная физика