Исследование упругого поля в окрестности почти кругового цилиндрического канала при учете поверхностной упругости и остаточного поверхностного напряжения

Актуальность поставленных в рамках проекта задач:
Большинство современных конструкционных и функциональных материалов упруго неоднородны, причем для многих из них типичны вытянутые полости или включения, близкие по форме к цилиндрическим. Примером могут служить такие высокопористые материалы как фотонные кристаллы с регулярной однонаправленной упаковкой цилиндрических полостей, объемные монокристаллы карбида кремния и нитрида галлия с нерегулярным распределением соответственно микро- и нанотрубок, природные иерархические композиты типа дентина зубов человека с однонаправленной упаковкой дентинных канальцев, а также спеченные керамики с хаотичной сетью пор, вытянутых вдоль тройных стыков границ зерен (Kaplan W.D., Avishai A., 2006). Типичными представителями неоднородных материалов с вытянутыми включениями являются целые классы волокнистых композитов с металлической, полимерной и керамической матрицами, в которых различным образом распределены волокна разного масштабного уровня, диаметром от сотен микрон до нескольких нанометров. От особенностей напряженно-деформированного состояния приповерхностных и приграничных слоев материала в таких неоднородных системах во многом зависят их прочностные и физико-химические свойства. Развитие процессов пластической деформации и разрушения в этих областях в большой степени определяет механическое поведение материала в целом и вызывает поэтому огромный интерес (Q1: Duan и соавторы, 2009; Wang и соавторы 2011). С другой стороны, традиционное рассмотрение наноразмерных полостей и включений в рамках классической линейной теории упругости может приводить к неточностям в определении уровней действующих деформаций и напряжений и к неправильным зависимостям этих характеристик от параметров системы. Для преодоления этих трудностей в последние годы широко применяется теория упругости, учитывающая поверхностные и межфазные напряжения (Q1: Гертин и Мердок 1975, 1978). Такой подход показал свою эффективность при решении широкого круга задач, включающих задачи о включениях, неоднородностях, дислокациях и дисклинациях у свободных и межфазных границ и т. д. (Q1: Ekneligoda T.C., R.W. Zimmerman, 2008; Bruno G., Kachanov M., 2016). Однако, в большинстве работ не принимался во внимание эффект топологических особенностей поверхности. Известные подходы в большей части основаны на использовании метода конечных элементов, либо дают аналитическое решение, но лишь в первом приближении. Поэтому рассматриваемая задача, в которой исследуется влияние поверхностного напряжения на механическое состояние тела с наномасштабным рельефом поверхности границы, а также корректный учет остаточного поверхностного напряжения, является актуальной.

Методы и подходы к решению задачи:
Методы и подходы к решению поставленных задач основаны на сочетании классических и современных методов, соответствующих мировому уровню, с оригинальными авторскими методиками. При выполнении проекта будут использованы методы математической теории упругости, аппарат теории аналитических функций и математического анализа, дифференциальные уравнений, комплексные потенциалы Гурса - Колосова, соотношения Колосова - Мусхелишвили, метод возмущений границы, интегралы типа Коши, численные методы решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. Для математического описания состояния поверхности используются определяющие соотношения поверхностной теории упругости. При проведении исследований применяются методы решения различных краевых задач, основанные на полной модели Гертина – Мердока.

Научный задел по проекту:
За время работы в данном направлении были проведены оригинальные исследования и получены новые научные результаты. В качестве задела по проекту можно отметить следующие основные результаты и проделанные работы.
1. Получено решение задачи о напряженно-деформированном состояния упругого тела, содержащего почти круговой дефект (отверстие или включение) при действии нагрузки на бесконечности на макроуровне.
2. Построен алгоритм нахождения любого приближения методом возмущений для случая макродефектов и выведены формулы, по которым это приближение может быть найдено.
3. Получено решение плоской задачи теории упругости для бесконечного тела с почти круговым макроотверстием при использовании пакета конечно-элементного анализа ANSYS и проведен сравнительный анализ напряженно-деформированного состояния, полученного методом возмущений и методом конечных элементов.
4. Аналитически решена задача о совместной деформации цилиндрического макровключения, близкого к круговому, и матрицы.
5. Для аналогичных задач на наноуровне в общем случае построены однотипные сингулярные интегро-дифференциальные уравнения, к которым в каждом приближении сводится решение задачи. Разработан алгоритм точного решения интегрального уравнения в виде степенного ряда с неизвестными коэффициентами.
6. За последний год проведен анализ учета нелинейных слагаемых метода возмущений границы для задач на наноуровне, тем самым сделан вывод о лучшей точности для более высоких порядков по сравнению с первым приближением метода.

Выбор принимающей организации:
Профессор Мюллер является ведущим специалистом в области механики деформируемого тела и механики сплошных сред. Исследования, проводимые его научной группой в Техническом университете Берлина, тесно связаны с моими научными интересами. Во время обучения в аспирантуре, я проходила научную стажировку под руководством профессора Мюллера, за это время нам удалось установить тесные деловые контакты и хорошую платформу для дальнейшего сотрудничества. Лаборатории Технического университета Берлина оснащены новым техническим оборудованием и позволяют получить уникальные результаты, важные для развития механики деформируемого тела.

Ожидаемые результаты:
Будет получено аналитическое решение задачи о напряженно-деформированном состоянии упругого тела, содержащего наноразмерный цилиндрический канал произвольной формы. Предполагается исследовать концентрацию и распределение напряжений в теле для случаев плоской деформации, а также оценить как влияет размер канала и его форма на поле напряжений на границе. Предложенные аналитические решения учитывают влияние поверхностной упругости и остаточного поверхностного напряжения, тем самым позволяют дать полную оценку прочности, надежности и устойчивости при проектировании разнообразных изделий промышленности, содержащих наноразмерные материалы.
Полученные результаты будут опубликованы в научном журнале, рецензируемом в базах данных Web of Science или Scopus, и представлены с устным докладом на семинаре кафедры механики сплошных сред и материаловедения Технического университета Берлина.

Результаты планируется включить в учебный процесс в рамках специальных курсов факультета прикладной математики - процессов управления.

Одной из распространенных причин выхода устройств из строя является наличие различных дефектов, существующих в материалах и конструкциях. Большинство современных материалов не являются однородными, то есть содержат отверстия или включения других материалов. Техническими примерами являются кристаллические материалы, содержащие произвольно расположенные микро- и наноотверстия. Естественными примерами являются композиты наподобие дентина человеческих зубов с каналами, а также спеченная керамика с сетью из пор. Цель данного исследования разработать математическую модель подобного рода наноразмерных дефектов и оценить как наличие дефекта, его размер и форма влияют на прочность и надежность при проектировании изделий промышленности.

В рамках проекта рассматривалась задача об упругом теле с цилиндрической порой нанометрового размера при учете поверхностной упругости и остаточного поверхностного натяжения. В частности:

1. Проведен обзор известных работ, в которых использовались различные модели поверхностной теории упругости.
2. Получено приближенное аналитическое решение задачи о круговой цилиндрической поре в бесконечном упругом теле по всем изученным моделям из пункта 1.
3. На основе различных моделей поверхностной теории упругости в терминах комплексных переменных выведены граничные условия на цилиндрической поверхности согласно обобщенному закону Лапласа – Юнга для случая плоской деформации.
4. С помощью комплексных потенциалов Гурса – Колосова и представлений Мусхелишвили [1], решение задачи сведено к сингулярному интегро-дифференциальном уравнению относительно неизвестного комплексного перемещения. Алгоритм решения интегрального уравнения разработан в виде степенного ряда, аналогично [2].
5. Основываясь на явных формах аналитического решения для всех моделей поверхностной теории упругости, получены численные результаты для поля напряжений вблизи границы нанопоры и проведен сравнительный анализ между упрощенными моделями и результатами на основе оригинальной модели Гертина – Мердока.

Постановка рассмотреных в Проекте задач и результаты их решений являются новыми, вносят вклад в развитие механики сплошных сред и применимы для решения прикладных инженерных проблем. Результаты исследования представляют интерес как с точки зрения установления новых закономерностей в поведении материалов с наноструктурными дефектами, расширяя наши знания о природе изучаемых явлений, так и с точки зрения инженерных приложений. Создание композитных структур с заданными топологическими свойствами является важной задачей электронной промышленности. Однако для предсказания зарождения дефектов и их дальнейшего развития, необходимо знать напряженное состояние используемых элементов под действием эксплуатационных нагрузок или усилий возникающих еще на стадии изготовления устройств.

Результаты были представлены в рамках приглашенного доклада на лекции в Техническом университете Берлина (18 ноября 2021 г.). На данный момент подготовлена первая версия совместной публикации по результатам проекта, которая будет подана в рецензируемый журнал, индексируемый в Scopus и/или Web of Science.

[1] Muskhelishvili, N.I., Some basic problems of the mathematical theory of elasticity. P. Noordhoff, Groningen, The Netherlands (1963).
[2] Grekov, M.A., Vakaeva, A.B., ”Effect of nanosized asperities at the surface of a nanohole” in Proceedings of the VII European Congress on Computational Methods in Applied Science and Engineering, Crete, Greece, June 5–10, 2016, Vol. IV, pages 7875–7885 (2016).