Исследование упругого поля в окрестности почти кругового цилиндрического канала при учете поверхностной упругости и остаточного поверхностного напряжения

Проект: исполнение гранта/договораисполнение гранта/договора в целом

Сведения о проекте

описание

Актуальность поставленных в рамках проекта задач:
Большинство современных конструкционных и функциональных материалов упруго неоднородны, причем для многих из них типичны вытянутые полости или включения, близкие по форме к цилиндрическим. Примером могут служить такие высокопористые материалы как фотонные кристаллы с регулярной однонаправленной упаковкой цилиндрических полостей, объемные монокристаллы карбида кремния и нитрида галлия с нерегулярным распределением соответственно микро- и нанотрубок, природные иерархические композиты типа дентина зубов человека с однонаправленной упаковкой дентинных канальцев, а также спеченные керамики с хаотичной сетью пор, вытянутых вдоль тройных стыков границ зерен (Kaplan W.D., Avishai A., 2006). Типичными представителями неоднородных материалов с вытянутыми включениями являются целые классы волокнистых композитов с металлической, полимерной и керамической матрицами, в которых различным образом распределены волокна разного масштабного уровня, диаметром от сотен микрон до нескольких нанометров. От особенностей напряженно-деформированного состояния приповерхностных и приграничных слоев материала в таких неоднородных системах во многом зависят их прочностные и физико-химические свойства. Развитие процессов пластической деформации и разрушения в этих областях в большой степени определяет механическое поведение материала в целом и вызывает поэтому огромный интерес (Q1: Duan и соавторы, 2009; Wang и соавторы 2011). С другой стороны, традиционное рассмотрение наноразмерных полостей и включений в рамках классической линейной теории упругости может приводить к неточностям в определении уровней действующих деформаций и напряжений и к неправильным зависимостям этих характеристик от параметров системы. Для преодоления этих трудностей в последние годы широко применяется теория упругости, учитывающая поверхностные и межфазные напряжения (Q1: Гертин и Мердок 1975, 1978). Такой подход показал свою эффективность при решении широкого круга задач, включающих задачи о включениях, неоднородностях, дислокациях и дисклинациях у свободных и межфазных границ и т. д. (Q1: Ekneligoda T.C., R.W. Zimmerman, 2008; Bruno G., Kachanov M., 2016). Однако, в большинстве работ не принимался во внимание эффект топологических особенностей поверхности. Известные подходы в большей части основаны на использовании метода конечных элементов, либо дают аналитическое решение, но лишь в первом приближении. Поэтому рассматриваемая задача, в которой исследуется влияние поверхностного напряжения на механическое состояние тела с наномасштабным рельефом поверхности границы, а также корректный учет остаточного поверхностного напряжения, является актуальной.

Методы и подходы к решению задачи:
Методы и подходы к решению поставленных задач основаны на сочетании классических и современных методов, соответствующих мировому уровню, с оригинальными авторскими методиками. При выполнении проекта будут использованы методы математической теории упругости, аппарат теории аналитических функций и математического анализа, дифференциальные уравнений, комплексные потенциалы Гурса - Колосова, соотношения Колосова - Мусхелишвили, метод возмущений границы, интегралы типа Коши, численные методы решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. Для математического описания состояния поверхности используются определяющие соотношения поверхностной теории упругости. При проведении исследований применяются методы решения различных краевых задач, основанные на полной модели Гертина – Мердока.

Научный задел по проекту:
За время работы в данном направлении были проведены оригинальные исследования и получены новые научные результаты. В качестве задела по проекту можно отметить следующие основные результаты и проделанные работы.
1. Получено решение задачи о напряженно-деформированном состояния упругого тела, содержащего почти круговой дефект (отверстие или включение) при действии нагрузки на бесконечности на макроуровне.
2. Построен алгоритм нахождения любого приближения методом возмущений для случая макродефектов и выведены формулы, по которым это приближение может быть найдено.
3. Получено решение плоской задачи теории упругости для бесконечного тела с почти круговым макроотверстием при использовании пакета конечно-элементного анализа ANSYS и проведен сравнительный анализ напряженно-деформированного состояния, полученного методом возмущений и методом конечных элементов.
4. Аналитически решена задача о совместной деформации цилиндрического макровключения, близкого к круговому, и матрицы.
5. Для аналогичных задач на наноуровне в общем случае построены однотипные сингулярные интегро-дифференциальные уравнения, к которым в каждом приближении сводится решение задачи. Разработан алгоритм точного решения интегрального уравнения в виде степенного ряда с неизвестными коэффициентами.
6. За последний год проведен анализ учета нелинейных слагаемых метода возмущений границы для задач на наноуровне, тем самым сделан вывод о лучшей точности для более высоких порядков по сравнению с первым приближением метода.

Выбор принимающей организации:
Профессор Мюллер является ведущим специалистом в области механики деформируемого тела и механики сплошных сред. Исследования, проводимые его научной группой в Техническом университете Берлина, тесно связаны с моими научными интересами. Во время обучения в аспирантуре, я проходила научную стажировку под руководством профессора Мюллера, за это время нам удалось установить тесные деловые контакты и хорошую платформу для дальнейшего сотрудничества. Лаборатории Технического университета Берлина оснащены новым техническим оборудованием и позволяют получить уникальные результаты, важные для развития механики деформируемого тела.

Ожидаемые результаты:
Будет получено аналитическое решение задачи о напряженно-деформированном состоянии упругого тела, содержащего наноразмерный цилиндрический канал произвольной формы. Предполагается исследовать концентрацию и распределение напряжений в теле для случаев плоской деформации, а также оценить как влияет размер канала и его форма на поле напряжений на границе. Предложенные аналитические решения учитывают влияние поверхностной упругости и остаточного поверхностного напряжения, тем самым позволяют дать полную оценку прочности, надежности и устойчивости при проектировании разнообразных изделий промышленности, содержащих наноразмерные материалы.
Полученные результаты будут опубликованы в научном журнале, рецензируемом в базах данных Web of Science или Scopus, и представлены с устным докладом на семинаре кафедры механики сплошных сред и материаловедения Технического университета Берлина.

Результаты планируется включить в учебный процесс в рамках специальных курсов факультета прикладной математики - процессов управления.

описание для неспециалистов

Одной из распространенных причин выхода устройств из строя является наличие различных дефектов, существующих в материалах и конструкциях. Большинство современных материалов не являются однородными, то есть содержат отверстия или включения других материалов. Техническими примерами являются кристаллические материалы, содержащие произвольно расположенные микро- и наноотверстия. Естественными примерами являются композиты наподобие дентина человеческих зубов с каналами, а также спеченная керамика с сетью из пор. Цель данного исследования разработать математическую модель подобного рода наноразмерных дефектов и оценить как наличие дефекта, его размер и форма влияют на прочность и надежность при проектировании изделий промышленности.

основные результаты по проекту в целом


В рамках проекта рассматривалась задача об упругом теле с цилиндрической порой нанометрового размера при учете поверхностной упругости и остаточного поверхностного натяжения. В частности:

1. Проведен обзор известных работ, в которых использовались различные модели поверхностной теории упругости.
2. Получено приближенное аналитическое решение задачи о круговой цилиндрической поре в бесконечном упругом теле по всем изученным моделям из пункта 1.
3. На основе различных моделей поверхностной теории упругости в терминах комплексных переменных выведены граничные условия на цилиндрической поверхности согласно обобщенному закону Лапласа – Юнга для случая плоской деформации.
4. С помощью комплексных потенциалов Гурса – Колосова и представлений Мусхелишвили [1], решение задачи сведено к сингулярному интегро-дифференциальном уравнению относительно неизвестного комплексного перемещения. Алгоритм решения интегрального уравнения разработан в виде степенного ряда, аналогично [2].
5. Основываясь на явных формах аналитического решения для всех моделей поверхностной теории упругости, получены численные результаты для поля напряжений вблизи границы нанопоры и проведен сравнительный анализ между упрощенными моделями и результатами на основе оригинальной модели Гертина – Мердока.

Постановка рассмотреных в Проекте задач и результаты их решений являются новыми, вносят вклад в развитие механики сплошных сред и применимы для решения прикладных инженерных проблем. Результаты исследования представляют интерес как с точки зрения установления новых закономерностей в поведении материалов с наноструктурными дефектами, расширяя наши знания о природе изучаемых явлений, так и с точки зрения инженерных приложений. Создание композитных структур с заданными топологическими свойствами является важной задачей электронной промышленности. Однако для предсказания зарождения дефектов и их дальнейшего развития, необходимо знать напряженное состояние используемых элементов под действием эксплуатационных нагрузок или усилий возникающих еще на стадии изготовления устройств.

Результаты были представлены в рамках приглашенного доклада на лекции в Техническом университете Берлина (18 ноября 2021 г.). На данный момент подготовлена первая версия совместной публикации по результатам проекта, которая будет подана в рецензируемый журнал, индексируемый в Scopus и/или Web of Science.

[1] Muskhelishvili, N.I., Some basic problems of the mathematical theory of elasticity. P. Noordhoff, Groningen, The Netherlands (1963).
[2] Grekov, M.A., Vakaeva, A.B., ”Effect of nanosized asperities at the surface of a nanohole” in Proceedings of the VII European Congress on Computational Methods in Applied Science and Engineering, Crete, Greece, June 5–10, 2016, Vol. IV, pages 7875–7885 (2016).
АкронимD. Mendeleev 2021
СтатусЗавершено
Действительная дата начала/окончания30/10/211/12/21

Ключевые слова

  • наноразмерные дефекты
  • поверхностная упругость
  • остаточное поверхностное напряжение
  • модель Гертина - Мердока
  • метод возмущений границы