Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом в популяционной динамике и проблема сингулярностей

Проект: исполнение гранта/договораисполнение гранта/договора в целом

описание

Автор проекта занимается численными методами решения уравнений с запаздывающими аргументами, в частности одним из результатов является алгоритм обнаружения и вычисления точек разрыва производных решения, который предполагается модифицировать для обработки сингулярных точек. Профессор Юкихико Наката из университета Cиманэ, Япония, занимается как аналитическими исследованиями дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами, так и применением их в моделировании распространения эпидемий и в иммунологии.

описание для неспециалистов

Дифференциальные уравнения с запаздывающими аргументами широко используются, в частности, в биологическом, медицинском, иммунологическом и эпидемиологическом моделировании (область, в которой работает Ю. Наката). Практически невозможно найти решение таких уравнений в явной форме и для расчётов применяются численные методы, дающие приближённое решение. Автор проекта специализируется именно на численном решении.

Решения многих систем дифференциальных уравнений могут оказаться неограниченно растущими за конечное время (так называемые, сингулярные решения). С физической точки зрения такие сингулярности описывают либо реальную проблему (например, резкие качественные переходы между состояниями системы, вроде взрывов или поломок и т. д.), или указывают на неточность самой модели. В отсутствие запаздывания существуют методы, позволяющие обнаружить и оценить сингулярности, но при наличии запаздываний таких инструментов пока нет.

Проект нацелен на разработку подходов к поиску и оценке сингулярностей и использование их при моделировании в задачах эпидемиологии и популяционной динамики.

основные результаты по проекту в целом

В результате совместной работы с Юкихико Наката, преподавателем университета Симанэ (Yukihiko Nakata, Lecturer) были проанализированы подходы к определению сингулярностей для обыкновенных дифференциальных уравнений и предпринята попытка распространить их на случай уравнений с запаздываниями. Работоспособный алгоритм обнаружения сингулярных решений, в силу сложности задачи, на настоящий момент не получен, но предложен способ достаточно точного определения точек сингулярности, в случае их наличия. Эти результаты будут представлены на международной конференции летом 2019 г. (см. п. Публикации).

Кроме того, изучалась определённая динамическая система, описывающая некоторые уравнения популяционной динамики, в которой возникают сингулярности. Работа по этому направлению ведётся с участием Ю. Накаты и проф. Тецуя Исиваты (Tetsuya Ishiwata) из Технологического института Сибауры (Shibaura Institute of Technology).

Дополнительно состоялось знакомство и обсуждение перспектив сотрудничества с Я. Сайто (Yatsuhisa Saito) из ун-та Симанэ касательно численного решения уравнений популяционной динамики, возникающих в моделях, которыми занимаются он и Ю. Наката. Я со своей стороны, предоставлю эффективный код решения таких уравнений.
АббревиатураJTI_2018
СтатусЗавершено
Действительная дата начала/окончания18/02/1931/03/19

Ключевые слова

  • дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом
  • сингулярность
  • численные методы
  • популяционная динамика