Проект направлен на развитие методов анализа устойчивости и робастной устойчивости линейных дифференциально-разностных систем запаздывающего и нейтрального типов.
Системы с запаздывающим аргументом возникают как математические модели самых разных процессов во многих областях знания: в биологии известны популяционная модель Хатчинсона и модели типа "хищник-жертва", в медицине - модель кроветворения Мэкки-Гласса, модель инфекционного заболевания Марчука, модели функционирования дыхательной системы человека, развития популяций раковых и антираковых клеток в организме больных лейкемией, в экономике - двухпродуктовая модель производства товаров, в металлургии - модели фрезерования металлов и т.д. Явление запаздывания естественно для многих реальных систем: поведение объекта в данный момент времени часто обусловлено его состоянием и/или скоростью в прошлом, поскольку системе, как правило, требуется некоторое время для реакции на внешний фактор. В задачах управления запаздывание неизбежно возникает в канале обратной связи. При этом на практике могут использоваться только модели, обладающие свойством устойчивости: ясно, что незначительные отклонения начальных данных не должны приводить к значительным отклонениям траекторий системы от номинальных. Таким образом, проверка устойчивости представляет собой важный этап анализа моделей, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздыванием. А поскольку на практике параметры систем заданы, как правило, приближенно, особое прикладное значение имеет задача анализа робастной устойчивости - в широком смысле, анализа устойчивости систем с неопределенными параметрами. Огромное множество научных публикаций по данной теме в международных журналах высокого уровня, организация международных научных конференций, посвященных вопросам устойчивости систем с запаздыванием, подтверждают интерес научного сообщества к проблеме и актуальность тематики проекта.
Класс линейных систем с запаздыванием исключительно важен для приложений, поскольку во многих нелинейных задачах об устойчивости системы можно судить по ее линейному приближению. Этот класс наиболее хорошо изучен: известны критерии устойчивости линейных систем; есть много красивых математических результатов, применимых к линейным системам. Однако и здесь имеются фундаментальные нерешенные проблемы.
Традиционно для анализа устойчивости линейных систем с запаздыванием применяются первый и второй методы Ляпунова. Первый метод основан на анализе собственных чисел системы: как известно, линейная стационарная система экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда весь ее спектр лежит в открытой левой полуплоскости. Спектральные методы анализа устойчивости хорошо развиты в настоящее время, начиная с классических работ (Дж. Хэйл, Р. Беллман, К.Л. Кук) и заканчивая более современными (R.Sipahi, N. Olgac, T. Vyhlidal, S.-I. Niculescu, W. Michiels). Возникающие здесь сложности объясняются бесконечностью спектра систем с запаздыванием. При исследовании систем больших размерностей возрастают вычислительные затраты и накапливаются погрешности, а в нестационарном случае такой подход и вовсе не применим. Второй метод Ляпунова для дифференциально-разностных систем известен как метод функционалов Ляпунова-Красовского. Развитию метода функционалов Ляпунова-Красовского и посвящен настоящий проект.
Для линейных стационарных систем с запаздыванием метод функционалов основан на следующем критерии экспоненциальной устойчивости: существование положительно-определенного и непрерывного в нуле функционала, производная которого вдоль решений системы ограничена сверху некоторым отрицательно-определенным функционалом, является необходимым и достаточным условием экспоненциальной устойчивости. В литературе можно встретить два пути применения этого критерия. В первом случае берутся различные конструкции положительно-определенных функционалов, которые затем дифференцируются вдоль решений системы. Достаточные условия устойчивости в этом случае выражаются в терминах отрицательной определенности полученной производной, проверка которой сводится к решению системы линейных матричных неравенств (E. Fridman, A. Seuret, F. Gouissbaut, Q.-L. Han, J. Sun и другие авторы). Такой подход может быть довольно эффективным с вычислительной точки зрения (см., например, метод дискретизации функционалов автора Keqin Gu, в котором применяются функционалы Ляпунова-Красовского общей структуры с произвольными кусочно-линейными ядрами в интегральных слагаемых). Однако его основной недостаток заключается в том, что используемые конструкции функционалов подбираются вне связи с исследуемой системой, "навязываются" ей. Как следствие, таким способом нельзя получить критерии, т.е. необходимые и достаточные условия устойчивости, а получаемые достаточные условия могут иметь весьма ограниченную область применения.
Второй путь применения критерия устойчивости в терминах функционалов носит название метода функционалов с заданной производной. Он заключается в том, что, напротив, сначала задается отрицательно-определенная производная функционала, а затем, по исследуемой системе, строится функционал с такой производной вдоль ее решений. Положительная определенность такого функционала является необходимым и достаточным условием экспоненциальной устойчивости системы, что объясняется его "точностью", приспособленностью к анализу конкретной системы. Подход был развит в работах Ю.М. Репина, I.F. Infante, W.B. Castellan, R. Datko, W. Huang. В дальнейшем В.Л. Харитоновым и А.П. Жабко были построены так называемые функционалы полного типа. Их ключевой особенностью является существование для них квадратичных оценок снизу в случае экспоненциальной устойчивости, за счет чего такие функционалы нашли применение в задаче о робастной устойчивости (В.Л. Харитонов, А.П. Жабко, S.-I. Niculescu, А.В. Егоров, S. Mondie), построении экспоненциальных оценок решений (В.Л. Харитонов, D. Hinrichsen) и вычислении интегральных критериев качества. Отметим, что сначала в качестве заданной производной бралась, по аналогии со случаем ОДУ, отрицательно-определенная квадратичная форма. Для функционалов полного типа производная совпадает с заранее заданным отрицательно-определенным квадратичным функционалом. Функционалы с заданной производной имеют конкретную, известную структуру и полностью определяются специальной функциональной матрицей, называемой матрицей Ляпунова.
Основная проблема, которая возникает при применении метода функционалов с заданной производной, - проблема проверки положительной определенности построенных функционалов. В последние годы появились работы, в которых такая проверка сводится к анализу положительной определенности всего одной блочной матрицы, составленной из матрицы Ляпунова, вычисленной в различных точках (S. Mondie, А.В. Егоров, M.A. Gomez, C. Cuvas). Другими словами, получен конечный критерий экспоненциальной устойчивости линейных стационарных систем, выраженный исключительно в терминах матрицы Ляпунова. Недостаток этого критерия кроется в том, что размерность полученной блочной матрицы на практике оказывается высокой. Причина этого заключается в том, что оценка погрешности метода экспоненциально зависит от параметров системы, а также определяется ее фундаментальной матрицей.
Другой подход к решению проблемы проверки положительной определенности функционалов с заданной производной был предложен в совместных работах руководителя проекта и А.П. Жабко. Идея заключается в том, что для проверки устойчивости достаточно исследовать положительную определенность функционалов с заданной производной лишь на специальном множестве функций. На самом деле, для линейных стационарных систем здесь достаточно и проверки на специальном множестве функций, определяемых экспонентами с комплексными показателями. С помощью такого подхода были разработаны конструктивные методы проверки положительной определенности функционалов с заданной производной, также получен конечный критерий экспоненциальной устойчивости. Его преимущество, по сравнению с упомянутым выше критерием, заключается в полиномиальной по параметрам системы оценке погрешности рассматриваемых приближений.
Условие, накладываемое на функции специальным множеством представляет собой аналог известного условия Разумихина. Метод Разумихина применяется в настоящее время в основном для анализа нелинейных либо линейных нестационарных систем с запаздыванием. Для этих классов метод Разумихина представляет собой мощный инструмент разработки достаточных условий устойчивости. В нем для анализа систем с запаздыванием, как и для систем ОДУ, применяются функции Ляпунова, а запаздывающие члены в производных этих функций вдоль решений исследуемых систем устраняются за счет использования условия Разумихина. Таким образом, дополнительное условие используется в методе Разумихина для работы именно с производными функций Ляпунова. Внимательный анализ структуры множества S и производных функционалов Ляпунова-Красовского вдоль решений систем с запаздыванием показывает, что использование этого множества было бы полезным не только совместно с условием положительной определенности самих функционалов, как это делалось ранее, но и совместно с условием отрицательной определенности производных функционалов. Возникает вопрос: достаточно ли для проверки устойчивости (и если да, то для каких классов систем) исследовать отрицательную определенность производных функционалов Ляпунова-Красовского только на множестве функций, удовлетворяющих аналогу условия Разумихина? Этот вопрос служит отправной точкой и мотивацией настоящего проекта. Он представляет практический интерес для широкого класса нелинейных систем с запаздыванием.
Цель проекта - получить утвердительный ответ на этот вопрос для класса линейных стационарных систем с распределенным запаздыванием запаздывающего и нейтрального типов. А именно, для этого класса систем в рамках выполнения проекта будет доказан новый критерий экспоненциальной устойчивости следующего содержания: линейная стационарная система экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда существует непрерывный в нуле квадратичный функционал, положительно-определенный и имеющий отрицательно-определенную производную вдоль решений системы только на множестве функций S (а не на множестве произвольных непрерывных функций, как в классических теоремах второго метода Ляпунова). Другими словами, будет произведен синтез метода функционалов Ляпунова-Красовского и метода Разумихина в смысле условия об отрицательной определенности производной функционалов.
Кроме того, будут доказаны различные модификации нового критерия, основанные на модификации множества S. А именно, множество S будет сужено за счет добавления в него условий на производные функций. Последние условия определяются оценкой модуля неустойчивого собственного числа системы, т.е. собственного числа, определяющего заведомо не стремящееся к нулю решение в предположении о том, что система неустойчива. На основе известных оценок этого модуля, определяемых лишь параметрами системы и не зависящих от спектра, будут рассмотрены различные варианты сужения множества S.
Доказанный критерий будет применен в задаче анализа робастной устойчивости линейных стационарных систем, содержащих неопределенности одновременно в запаздываниях и в матрицах. Классический подход к анализу робастной устойчивости, основанный на функционалах с заданной производной, предполагает использование функционала, построенного по номинальной системе, для анализа возмущенной системы. Проблемой классического подхода является наличие запаздывающих членов в производной такого функционала вдоль решений возмущенной системы, которые необходимо компенсировать. Одним из способов такой компенсации является использование функционалов полного типа, которое, однако, сталкивается с определенными трудностями при наличии возмущений в запаздываниях. Применение к этой задаче нового критерия позволит предложить альтернативный (и намного более простой) способ такой компенсации. Отметим, что случай одновременного наличия возмущений в запаздываниях и в матрицах не исследован в литературе с использованием функционалов полного типа, что объясняется упомянутыми выше трудностями. Кроме того, будет изучена возможность применения доказанного критерия совместно с методом дискретизации функционалов K. Gu с целью уменьшения консерватизма последнего метода.
Таким образом, ожидаемыми результатами выполнения проекта являются новый конструктивный критерий проверки экспоненциальной устойчивости линейных систем с распределенным запаздыванием запаздывающего и нейтрального типов, основанный на синтезе метода функционалов Ляпунова-Красовского и метода Разумихина, а также новые условия робастной устойчивости линейных стационарных систем с распределенным запаздыванием. Будет исследована возможность обобщения полученных результатов на некоторые классы нелинейных систем с запаздывающим аргументом.
Pure ID76989489 «Санкт-Петербургский международный математический институт имени Леонарда Эйлера»
Соглашение № 075-15-2019-1619 от 08.11.2019
