Мы обсуждаем ограниченное элементарное порождение групп Шевалле и связанных с ними групп, в частности, групп Стейнберга, над дедекиндовыми кольцами R арифметического типа.
Ван дер Каллен привел примеры, показывающие, что, вообще говоря, на ограниченное порождение нельзя надеяться даже для совсем простых одномерных колец. Для числового случая из работ Картера, Келлера, Тавгеня (и других) известно, что группы ранга ≥2 ограничено порождены. Недавно Морган, Рапинчук и Сури дорешали случай группы SL2 в предположении, что R∗ бесконечна. Развивая идею Ники ранее мы доказали, что группы ранга ≥2 над кольцом многочленов Fq[t] ограничено порождены.
В самое последнее время нам удалось продвинуться здесь еще в нескольких направлениях. 1) перенести результаты на группы Стейнберга (что связано с нетривиальной K-теорией и арифметикой), 2) с использованием работ Троста завершить рассмотрение функционального случая для всех несимплектических групп. 3) существенно улучшить оценки. Будет рассказано об арифметческих аспектах этих доказательств. Кроме того, планируется упомянуть также о связи с ограниченной вербальной шириной, приложениях в теории моделей и некоторых дальнейших задачах.