Изометрическое вложение риманова пространства с заданной метрикой – это процедура нахождения поверхности в объемлющем пространстве большей размерности (зачастую плоском), обладающей такой метрикой.
Эта поверхность задается при помощи так называемой функции вложения – вектора объемлющего пространства, чьи компоненты зависят от координат на поверхности, метрика же становится индуцированной и выражается через функцию вложения.
Изометрические вложения пространств с заданной метрикой изучались
математиками задолго до появления физических приложений. Однако с появлением
общей теории относительности такие вложения стали полезным инструментом
изучения и визуализации геометрии искривленных пространств, а впоследствии и
физики в этих пространствах; в частности, вложения позволяют рассчитывать
температуру Хокинга пространств с горизонтом [1] и анализировать глобальную
структуру таких пространств [2].
Однако нахождение явного глобального вложения пространства с метрикой общего
вида – чрезвычайно трудная задача, эквивалентная поиску решения системы
нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Она
значительно упрощается, если метрика обладает какой-либо симметрией; в этом
случае возможно зафиксировать зависимость функции от переменных, подчиненных
этой симметрии, с помощью метода, предложенного в работе [3] и основанного на
классификации представлений группы симметрии метрики, изоморфных некоторым
подгруппам группы Пуанкаре объемлющего пространства. Этот метод был успешно применен в задачах о построении
явных вложений метрик вселенной Фридмана [4] и невращающихся черных дыр [5], в
том числе коллапсирующих [6].
В то же время необходимо отметить, что вышеупомянутый метод не позволяет построить все вложения, соответствующие данной метрике, даже при фиксации числа измерений объемлющего пространства и его сигнатуры. Существуют задачи, в которых применение этого метода в исходной формулировке оказывается затруднительным: в числе таких, к примеру, задача о вложении метрики Гёделя.
В данной работе обсуждается обобщение этого метода, основанное на сужении
группы симметрии вкладываемой поверхности по отношению к группе симметрии
исходной метрики. Показано, что в тех случаях, когда итоговая система уравнений на
индуцированную метрику остается системой обыкновенных дифференциальных
уравнений, модифицированный метод дает хорошие результаты. В частности, с
использованием этого метода строится новое явное глобальное вложение метрики
Гёделя в 8-мерное объемлющее пространство. Обсуждается также задача о
нахождении изометрического изгибания поверхности с метрикой сферы и ее связь с
изложенным методом.