Парус Клейна и диофантовы приближения вектора

Research output

Abstract

In the papers by V. I. Arnold and his successors based upon the ideas of A. Poincar´e and F. Klein, it was the Klein sail associated with an operator in R n that they considered to play the role of a multidimensional continued fraction, and in these terms generalizations of the Lagrange theorem on continued fractions were formulated. A different approach to the generalization of the notion of continued fraction was based upon modifications of Euclid’s algorithm for constructing, given an irrational vector, an approximating sequence of rational vectors. We suggest a modification of the Klein sail that is constructed directly from a vector, without any operator. A numeric characteristic of a Klein sail, its asymptotic anisotropy associated with a one-parameter transformation semigroup of the lattice that generates the sail, and of its Vorono¨ı cell, is introduced. In terms of this anisotropy, we hope to give a geometric characterization of irrational vectors worst approximated by rational ones. In the three-dimensional space, we suggest a vector (related to the least Pisot–Vijayaraghavan number) that is a candidate for this role. This vector may be called an analog of the golden number, which is the worst approximated real number in the classical theory of Diophantine approximation

Fingerprint

Diophantine Approximation
Continued fraction
Anisotropy
Lagrange's theorem
One-parameter Semigroups
Transformation Semigroups
Euclidean algorithm
Operator
Numerics
Analogue
Three-dimensional
Cell
Term

Cite this

@article{bf45f5b22db949b6b5434ecc721ad4e9,
title = "Парус Клейна и диофантовы приближения вектора",
abstract = "В работах В.~И.~Арнольда и его последователей (основанных на идеях Пуанкаре и Клейна) многомерной цепной дробью назывался парус Клейна, связывавшийся с оператором в $\Bbb R^n$. В его терминах формулировались многомерные обобщения теоремы Лагранжа о цепных дробях. Другие обобщения цепных дробей связывались с обобщениями алгоритма Евклида построения аппроксимирующей последовательности рациональных векторов. Мы предлагаем модификацию паруса Клейна, построенного непосредственно по иррациональному вектору (минуя оператор). Предложена числовая характеристика паруса Клейна --- \emph{асимптотическая анизотропия}, связанная с однопараметрической группой преобразований решетки и соответствующей деформациейячейки Вороного. С этой характеристикой связана надежда дать геометрическую характеризацию иррациональных векторов, хуже всего аппроксимируемых рациональными. В трехмерном пространстве предложен вектор (связанный с наименьшим числом Пизо) --- кандидат на эту роль. Его можно считать аналогом золотого сечения в классической теории диофантовых приближений.",
keywords = "парус Клейна, многогранник Клейна, диофантовы приближения, золотое сечение, пластическое число, ячейка Вороного, асимптотическая асферичность",
author = "А.А. Лодкин",
year = "2019",
month = "11",
day = "7",
language = "русский",
volume = "481",
pages = "63--73",
journal = "ЗАПИСКИ НАУЧНЫХ СЕМИНАРОВ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА РАН",
issn = "0373-2703",
publisher = "Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН",

}

TY - JOUR

T1 - Парус Клейна и диофантовы приближения вектора

AU - Лодкин, А.А.

PY - 2019/11/7

Y1 - 2019/11/7

N2 - В работах В.~И.~Арнольда и его последователей (основанных на идеях Пуанкаре и Клейна) многомерной цепной дробью назывался парус Клейна, связывавшийся с оператором в $\Bbb R^n$. В его терминах формулировались многомерные обобщения теоремы Лагранжа о цепных дробях. Другие обобщения цепных дробей связывались с обобщениями алгоритма Евклида построения аппроксимирующей последовательности рациональных векторов. Мы предлагаем модификацию паруса Клейна, построенного непосредственно по иррациональному вектору (минуя оператор). Предложена числовая характеристика паруса Клейна --- \emph{асимптотическая анизотропия}, связанная с однопараметрической группой преобразований решетки и соответствующей деформациейячейки Вороного. С этой характеристикой связана надежда дать геометрическую характеризацию иррациональных векторов, хуже всего аппроксимируемых рациональными. В трехмерном пространстве предложен вектор (связанный с наименьшим числом Пизо) --- кандидат на эту роль. Его можно считать аналогом золотого сечения в классической теории диофантовых приближений.

AB - В работах В.~И.~Арнольда и его последователей (основанных на идеях Пуанкаре и Клейна) многомерной цепной дробью назывался парус Клейна, связывавшийся с оператором в $\Bbb R^n$. В его терминах формулировались многомерные обобщения теоремы Лагранжа о цепных дробях. Другие обобщения цепных дробей связывались с обобщениями алгоритма Евклида построения аппроксимирующей последовательности рациональных векторов. Мы предлагаем модификацию паруса Клейна, построенного непосредственно по иррациональному вектору (минуя оператор). Предложена числовая характеристика паруса Клейна --- \emph{асимптотическая анизотропия}, связанная с однопараметрической группой преобразований решетки и соответствующей деформациейячейки Вороного. С этой характеристикой связана надежда дать геометрическую характеризацию иррациональных векторов, хуже всего аппроксимируемых рациональными. В трехмерном пространстве предложен вектор (связанный с наименьшим числом Пизо) --- кандидат на эту роль. Его можно считать аналогом золотого сечения в классической теории диофантовых приближений.

KW - парус Клейна

KW - многогранник Клейна

KW - диофантовы приближения

KW - золотое сечение

KW - пластическое число

KW - ячейка Вороного

KW - асимптотическая асферичность

M3 - статья

VL - 481

SP - 63

EP - 73

JO - ЗАПИСКИ НАУЧНЫХ СЕМИНАРОВ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА РАН

JF - ЗАПИСКИ НАУЧНЫХ СЕМИНАРОВ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА РАН

SN - 0373-2703

ER -