Contemporary problems of Probability and Statistics: Gaussian approximations and small deviations for stochastic processes

Project: Grant fulfilmentGrant stage fulfilment

Description

Основное содержание работы - асимптотические задачи теории вероятностей и математической статистики, в частности, теория малых уклонений, гауссовская аппроксимация сверток, распределение функционалов от диффузий, асимптотический анализ новых статистических критериев и вычисление их эффективности. В области малых уклонений решена задача вычисления точной асимптотики малых уклонений в гильбертовой норме смешанного гауссовского процесса, включающего дробное броуновское движение. Аналогичная задача решена для широкого класса гауссовских стационарных процессов. Получены сильные вспомогательные результаты по спектральной асимптотике дифференциальных и интегральных операторов, представляющие самостоятельный интерес. Найдены новые неравенства для знаменитой задачи Литтлвуда-Оффорда, усиливающие обратный принцип Тао, Нгуена и Ву. Решена задача адаптивной аппроксимации стационарных последовательностей и процессов, обобщающая задачу прогноза. Изучены дробные неравенства Харди-Соболева-Мазья в полупространстве, порождаемые дробными лапласианами, которые являются генераторами т.н. цензурированных случайных процессов.т Изучено предельное поведение сложного пуассоновского процесса с переключениями и доминирующими слагаемыми. Переключения обеспечиваются бернуллиевскими случайными величинами и цепью Маркова. При подходящей нормировке предельным процессом является броуновское движение с переключающейся дисперсией и скачками.Для сложности аппроксимации общих аддитивных случайных полей дано общее интегральное представление, а также получены точные и логарифмические асимптотики при достаточно слабых условиях на асимптотическое поведение собственных чисел ковариационных операторов суммируемых случайных процессов. Эти результаты применены к важнейшему примеру аддитивных случайных полей -- суммам винеровских процессов с возможно различными дисперсионными параметрами. Построены новые критерии симметрии, основанные на ее характеризации равнораспределенностью квадратов линейных статистик. Вычислены предельные распределения и асимптотическая эффективность этих критериев. Построены два новых инвариантных к масштабу критерия нормальности, основанных на ее характеризации. Вычислены их предельные распределения и асимптотическая эффективность по Бахадуру для параметрических альтернатив, которая оказалась довольно высокой.







Short titleGZ-2019
AcronymDFG_SPbU_2017 - 3
StatusActive
Effective start/end date12/03/1931/12/19