Итоговый отчет по гранту No 17-01-00672-а
«Электродинамическая тросовая система»
Руководитель: Тихонов Алексей Александрович


Реферат
Исследован комплекс взаимосвязанных проблем, возникающих при анализе динамики электродинамической тросовой системы, взаимодействующей с геомагнитным полем. Решен ряд фундаментальных задач по развитию и совершенствованию аналитических и компьютерных методов исследования динамики, устойчивости и стабилизации космических орбитальных объектов, решен ряд практически важных прикладных задач динамики ИСЗ и космической тросовой системы, взаимодействующей с геомагнитным полем. Развиты математические основы электродинамического метода управления ориентацией и стабилизацией ИСЗ и космической тросовой системы. Разработана и запатентована новая конструктивная схема электродинамического троса для расширения возможностей и повышения эффективности решения задачи спуска ИСЗ с орбиты. В аналитических исследованиях и при компьютерном моделировании использовались тензорные модели магнитного поля Земли. Разработан новый метод для идентификации тензора инерции ИСЗ. Разработаны новые подходы к использованию прямого метода Ляпунова и метода сравнения в задачах динамики управляемого движения ИСЗ. В результате решены задачи одноосной и трехосной стабилизации ИСЗ при эволюции управляющего момента, приводящей к его исчезновению. Разработан метод анализа устойчивости и стабилизации программных движений ИСЗ при наличии нестационарных возмущений с нулевым средним значением. Получены новые условия асимптотической устойчивости положений равновесия связанных механических систем с запаздываниями в связях между подсистемами. Развит метод нелинейных дифференциальных неравенств, зависящих от функции Ляпунова, которые интегрируются с получением количественных и качественных оценок переходных процессов. Полученные результаты отражены в 57 публикациях, включающих 30 статей в журналах (из них 20 проиндексированы в SCOPUSe, 10 – в РИНЦ), 3 патента России на изобретения (проиндексированы в Web of Science Derwent), 1 зарегистрированную программу, 6 статей в сборнике (4 проиндексированы в SCOPUSe) и 17 тезисов докладов.

Содержание
Введение с.2
Основная часть отчета о НИРс.4
Список основных публикацийс.11
Заключениес.15

Введение
Среди большого разнообразия космических орбитальных объектов тросовые системы давно и прочно занимают свою определенную нишу и постепенно развиваются, переходя от состояния первоначально фантастических проектов к совершенно реальным программам, полностью отвечающим современному уровню развития космической техники [Белецкий В.В., Левин Е.М., 1990]. Помимо давно известных приложений тросовых систем, таких как создание искусственной силы тяжести (микрогравитации) на борту ИСЗ, исследование верхней атмосферы Земли, запуск ИСЗ с помощью орбитального самолета (экологически чистый подъем), маневрирование на орбите, гравитационная стабилизация ИСЗ, орбитальный интерферометр и др., в которых трос выполняет роль связи, в последнее время все интенсивнее развиваются принципиально иные направления использования тросовых систем, в которых трос выполняет роль активного элемента космической системы. К числу таких направлений относятся проекты, включающие конструкции с электромагнитными тросами, взаимодействующими с магнитным полем Земли: электромагнитный двигатель, генератор электроэнергии (космическая электростанция), электромагнитный тормоз. Последний вариант использования электромагнитного троса активно обсуждается в связи с проблемой уборки «космического мусора».
Впервые идею использования электродинамических сил для удаления неиспользуемых ИСЗ с околоземной орбиты выдвинул Joseph P. Loftus, представляющий NASA Johnson Space Center, в июне 1996. Через месяц после этого R.L. Forward предложил реализацию этой концепции, а компания American Tether Unlimited Inc. (TUI) начала разработку легкой и надежной космической тросовой системы с запатентованным названием Terminator Tether для возрастающих потребностей реализации недорогого метода автономного удаления ИСЗ с низких околоземных орбит с целью предотвращения роста «космического мусора» [Forward, Hoyt, 2000]. Эксперименты, выполненные в космосе по программе Tethered Satellite System Reflight (TSS-1R), показали, что электродинамические тросы значительно более эффективны в плане преобразования энергии орбитального движения в электрическую, чем было предсказано теоретически [Vannaroni etal, 1998], [Stone etal, 1999].
Несмотря на малое общее количество натурных экспериментов с тросовыми системами в космосе, идея использования электродинамических тросов для спуска неиспользуемых ИСЗ с околоземной орбиты продолжает развиваться [Iess etal, 2002], [Yamaigiwa etal, 2005]. Так, например, итальянскими специалистами, представляющими Alenia Spazio и Римского университета “La Sapienza”, была предложена концепция электродинамического троса «electrodynamic deorbiting and re-entry device» (EDOARD), который может использоваться не только для спуска ИСЗ с орбиты, но и для вывода его на более высокую орбиту [Bruno etal, 2001]. Значительное число исследований, посвященных преимуществам и рискам использования электродинамических тросовых систем, выполняется под эгидой Inter-Agency Space Debris Coordination Committee (IADC), объединяющего усилия трех агентств: Italian Space Agency (ASI), Japan Aerospace Exploration Agency (JAXA) и US National Aeronautics and Space Administration (NASA) [Pardinia etal, 2009].
Принцип работы электродинамических тросов известен на протяжении более чем 40 лет [Белецкий В.В., Левин Е.М., 1990], а его применение для перемещения в космосе становится все более заманчивым в сравнении с обычными двигателями, основанными на использовании химических реакций. Электродинамический трос представляет собой по сути гибкий и тонкий проводник, который под действием гравитационного момента стремится вытянуться вдоль местной вертикали. В процессе движения троса в геомагнитном поле возникает разность потенциалов, вызывающая электрический ток в тросе. Взаимодействие этого тока с геомагнитным полем вызывает лоренцеву силу, замедляющую движение троса и снижающую его орбиту. В результате, снижение ИСЗ, соединенного с таким тросом, может происходить довольно быстро. Например, для спутников связи, снабженных системой Terminator Tether, составляющей всего 2% массы спутника, спуск с орбиты может занять от нескольких недель до нескольких месяцев [Forward, Hoyt, 2000] при полном отсутствии необходимости использовать реактивные двигатели. Вместе с тем, есть ряд нерешенных проблем, препятствующих практическому продвижению тросовых систем в космос. Упомянем лишь 2 из них: 1) неустойчивость формы троса в процессе снижения его орбиты [Белецкий В.В., Левин Е.М., 1990], [Yamaigiwa etal, 2005], [Corsi, Iess, 2001], 2) проблема разворачивания сверхдлинного троса [Tortora etal, 2004]. Решение этих и других, не упомянутых здесь проблем, связанных с динамикой электродинамических тросов, требует аналитических исследований, выполненных на базе достаточно точных и корректных математических моделей с помощью должным образом адаптированных методов. Анализ имеющейся литературы свидетельствует об отсутствии систематических исследований, выполненных указанным образом. Так, в работах [Corsi, Iess, 2001], [Iess etal, 2002], [Kawamoto etal, 2006], [Pardinia etal, 2007], [Pardinia etal, 2009], [Nishida etal, 2009], [Nishida, Kawamoto, 2011], [Zhong, Zhu, 2013] отсутствуют аналитические исследования, а математические модели, используемые для численного анализа, взяты без обоснования. В работе [Ishige etal, 2004], одной из немногих (после фундаментальной монографии [Белецкий В.В., Левин Е.М., 1990]), содержащих аналитическое исследование динамики электродинамического троса, гравитационное поле Земли считается ньютоновским центральным, геомагнитное поле моделируется наклонным диполем, а градиентность геомагнитного поля в пространстве, занимаемом тросом, не учитывается. Как известно [Тихонов, 2002], такой подход приводит, вообще говоря, к некорректной математической модели и качественно неверным результатам.
В авторском коллективе исследования динамики ИСЗ, взаимодействующих с геомагнитным полем, в том числе и посредством лоренцевых сил, ведутся систематически в течение последних 30 лет. Имеются опубликованные результаты, относящиеся к математическому моделированию геомагнитного поля [Петров, Тихонов, 1999], [Тихонов, 2002], [Петров, Тихонов, 2002], [Тихонов, 2011], [Антипов, Тихонов, 2013];
математическому моделированию взаимодействия ИСЗ с геомагнитным полем посредством лоренцевых сил [Тихонов, 1994], [Петров, Тихонов, 1999], [Тихонов, 2005];
математическому моделированию и парметризации вращательного движения ИСЗ [Тихонов, 1990], [Петров, Тихонов, 2002], [Tikhonov, Dolicanin, Partalin, Arandjelovic, 2014], [Kosjakov, Tikhonov, 2015], [Dolicanin, Tikhonov, 2015];
построению корректных математических моделей динамики ИСЗ, взаимодействующих с геомагнитным полем [Тихонов, 1987], [Тихонов, 1991], [Петров, Тихонов, 1999], [Тихонов, 2002];
аналитические результаты исследования динамики либрационного [Тихонов, 1988], [Тихонов, 1990], [Тихонов, 1992], [Тихонов, 1997], [Тихонов, 1998], [Тихонов, 2000], [Тихонов, 1992], [Kosjakov, Murzinov, Tikhonov, 2014], [Kosjakov, Partalin, Tikhonov, 2015], [Kosjakov, Partalin, Tikhonov, 2015] и ротационного движения ИСЗ [Тихонов, 1990], [Тихонов, 1991], [Ляховка, Тихонов, 1994], [Тихонов, 2002], [Тихонов, 2004] , [Тихонов, 2005] с учетом влияния лоренцевых сил;
технические решения, относящиеся к способам и устройствам управления вращательным движением ИСЗ и стабилизации ИСЗ в геомагнитном поле [Тихонов, 1998Патент], [Петров, Тихонов, 2001Патент], [Антипов, Тихонов, 2006Патент];
результаты, относящиеся к развитию математических методов анализа динамики и устойчивости управляемого движения (в том числе, управляемого) ИСЗ, взаимодействующих с геомагнитным полем [Тихонов, 1990], [Петров, Тихонов, 2002], [Тихонов, 2005], [Александров, Косов, Чэнь, 2011], [Мельников, 2011], [Мельников, 2012], [Александров, Тихонов, 2012КИ], [Мельников, Дударенко, 2014], [Aleksandrov, Antipov, Platonov, Tikhonov, 2015], [Kosjakov, Tikhonov, 2015], [Aleksandrov, Aleksandrova, etal 2015], [Александров, Антипов, Платонов, Тихонов, 2016], [Aleksandrov, Aleksandrova, Chen, 2016];
результаты, относящиеся к развитию электродинамического метода управления ориентацией ИСЗ [Тихонов, 2003], [Антипов, Петров, Тихонов, 2006], [Антипов, Тихонов, 2007], [Тихонов, Спасич, Антипов, Саблина, 2011], [Александров, Тихонов, 2012КИ], [Александров, Тихонов, 2012Вестник], [Александров, Тихонов, 2013], [Antipov, Tikhonov, 2014], [Tikhonov, 2015], [Aleksandrov, Antipov, Platonov, Tikhonov, 2015], [Александров, Антипов, Платонов, Тихонов, 2016].
Из вышеизложенного следует, что как по постановкам задач динамики электродинамических тросовых систем, так и по комплексности предлагаемых методов решения, степени их значимости для приложений, соответствия тенденциям развития науки в данной области, научно-исследовательская работа, выполняемая в авторском коллективе, соответствует мировому уровню.

Основная часть отчета о НИР
Проект содержится в русле исследований, направленных на решение фундаментальной проблемы разработки эффективных методов для спуска космических аппаратов с околоземной орбиты.
В качестве основного объекта исследования рассматривается электродинамическая тросовая система, движущаяся в гравитационном и магнитном полях Земли. Система моделируется гибким тросом с грузами на концах. Движение системы описывается дифференциальными уравнениями движения центра масс и вращательного движения относительно центра масс. Задача разработки электродинамической тросовой системы решается в условиях учета влияния моментов амперовых и лоренцевых сил и таких особенностей взаимодействия зарядов троса с геомагнитным полем, которые ранее не учитывались в известных публикациях.
Принципиальной особенностью разрабатываемого подхода к созданию электродинамического троса является то, что он предлагает усовершенствование механизма обеспечения тока в проводнике, позволяющего реализовать заданные режимы ориентации троса в орбитальной системе координат. Предлагается новая конструктивная схема электродинамического троса, которая может быть использована в проблемах спуска космических аппаратов с околоземной орбиты и уборки "космического мусора". Для предложенной схемы электродинамического троса разработаны новые способы и алгоритмы синтеза стабилизирующих управлений.
Решен ряд фундаментальных задач по развитию и совершенствованию аналитических и компьютерных методов исследования динамики, устойчивости и стабилизации нелинейных электромеханических систем и, в частности, космических орбитальных объектов.
Развиты математические основы параметрического, а именно электродинамического метода управления ориентацией и стабилизацией ИСЗ и космической тросовой системы. Выполнено развитие электродинамического, в частности, лоренцева метода управления движением ИСЗ и предложено его распространение на космическую тросовую систему.
Разработаны и усовершенствованы методы анализа устойчивости и стабилизации движений нелинейных электромеханических систем, представляющие общетеоретический интерес и вносящие вклад в развитие базовых средств аналитического исследования возможностей электродинамических систем управления космическими орбитальными объектами.
Разработаны и усовершенствованы новые конструктивные схемы электродинамических тросовых систем для расширения возможностей и повышения эффективности решения задачи спуска ИСЗ с орбиты и для уборки «космического мусора».
Разработан новый программный продукт для аналитического тензорного моделирования магнитного поля Земли (с использованием методов компьютерной алгебры) и численного моделирования движения электродинамической тросовой системы.
Конкретно сделано следующее.
1. Изучались нелинейные дифференциальные системы с переключениями. Для некоторого класса таких систем с сепарабельными нелинейностями с помощью метода составных функций Ляпунова выведены условия на закон переключения, при выполнении которых нулевые решения рассматриваемых систем будут асимптотически устойчивы в целом [41]. Представлены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.
2. С помощью метода декомпозиции выведены условия асимптотической устойчивости положений равновесия механических систем, находящихся под действием линейных гироскопических сил, нелинейных однородных диссипативных сил и переключающихся нелинейных неоднородных позиционных сил [42]. Полученные результаты используются в задачах стабилизации нелинейных механических систем с переключениями.
3. Рассматривались нелинейные динамические системы с несколькими степенями свободы, описываемые системами дифференциальных уравнений с полиномиальной структурой с однородными линейными формами и несколькими однородными формами относительно фазовых переменных последующих порядков с малыми коэффициентами.
3.1. В предположении, что спектр собственных значений матрицы линейной части начинается с пары комплексно-сопряженных собственных значений, имеющих отрицательные вещественные части с минимальным модулем, выполнялось полиномиальное преобразование уравнений для упрощения математической модели путем уменьшения числа нелинейных членов в дифференциальных уравнениях. Исследованы нелинейные колебания объекта с постоянными параметрами [43]. Оценки движения получены методом дифференциальных неравенств для положительно определенной функции Ляпунова при разных соотношениях между постоянными параметрами системы.
3.2. Для нелинейных автономных дифференциальных систем управления, содержащих однородные линейные формы относительно фазовых переменных и нелинейные однородные формы до четвертой степени с малыми коэффициентами, получены оценки приближения к устойчивому состоянию равновесия. Заменой переменных с множителями – показательными функциями времени – система преобразуется в систему с автономной линейной частью и неавтономными переменными коэффициентами при однородных нелинейных формах с матрицей, имеющей собственные значения с уменьшенными по модулю отрицательными вещественными частями, а также нелинейными формами с переменными коэффициентами. Предложен метод формирования последовательности линейных дифференциальных неравенств для определенно-положительных функций Ляпунова с оценками приближения системы к устойчивому состоянию равновесия [44].
3.3. Развит итеративный метод дифференциальных неравенств для функций Ляпунова, интегрирование которых позволяет получать оценки затухания переходных процессов [23].
3.4. Для динамической системы с обобщенными силами, представленными в виде однородных полиномов первой и третьей степеней относительно фазовых координат и малыми постоянно действующими возмущениями, применялся метод дифференциальных неравенств. Для положительно определенной квадратичной функции Ляпунова определено дифференциальное неравенство с дифференциальным уравнением сравнения вида Риккати. Наряду с ним определено нелинейное экспоненциальное дифференциальное неравенство, интегрируемое в квадратурах. В результате получена оценка переходных процессов в конечной области фазовых координат [5].
4. Изучалась проблема устойчивости движения в дифференциальных системах с запаздыванием, в том числе проблема устойчивости, независимой от запаздывания.
4.1. Для динамической системы, описываемой линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с положительным параметром при скоростных силах и с запаздыванием в позиционных силах, с использованием метода декомпозиции и функционалов Ляпунова-Красовского, получены условия, при которых из асимптотической устойчивости двух вспомогательных подсистем первого порядка следует, что при достаточно больших значениях параметра исходная система также асимптотически устойчива [31]. Кроме того, показано, что предлагаемый подход может быть применен к исследованию устойчивости линейных гироскопических систем с переключаемыми позиционными силами.
4.2. Для динамической системы с линейными скоростными и существенно нелинейными позиционными силами с запаздыванием с помощью метода декомпозиции и оригинальных конструкций функционалов Ляпунова--Красовского найдены условия, при которых тривиальные положения равновесия рассматриваемых систем асимптотически устойчивы при любом постоянном неотрицательном запаздывании [30].
5. Исследовалась сложная система, описывающая взаимодействие подсистем второго порядка с запаздыванием в связях между ними. Найдены необходимые и достаточные условия существования диагонального функционала Ляпунова – Красовского для рассматриваемой системы. Полученные результаты применяются для анализа устойчивости механической системы. Показано, что они могут быть использованы также в задаче управления формациями [32].
5.1. Получены новые условия асимптотической устойчивости положений равновесия связанных механических систем с запаздываниями в связях между подсистемами [3]. Указанные условия гарантируют сохранение асимптотической устойчивости при любом постоянном запаздывании.
5.2. Для механической системы, описываемой линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с большим параметром при скоростных силах и постоянным запаздыванием в позиционных силах, с использованием прямого метода Ляпунова и функционалов Ляпунова-Красовского найдено ограничение на величину параметра, при выполнении которого задача устойчивости исходной системы может быть сведена к аналогичной задаче для двух изолированных подсистем первого порядка. Установлены условия, гарантирующие асимптотическую устойчивость изучаемой системы при любом неотрицательном запаздывании [25]. Кроме того, показано, что разработанный подход может применяться в случае, когда позиционные силы переключаются в процессе функционирования системы. Получены условия, при выполнении которых асимптотическая устойчивость будет иметь место при произвольном законе переключения.
6. Рассматривалась проблема формирования критериальных матриц динамических систем типа «многомерный вход - многомерный выход», которые могут быть использованы для исследования свойств многомерной системы в неподвижном состоянии. Процедура формирования критериальных матриц рассматривалась применительно к задаче оценивания склонности многомерных динамических систем к вырождению, являющемуся мерой их робастности. Конструирование критериальных матриц выполнялось на примере многомерной непрерывной динамической системы. Задача решалась с использованием алгоритма Фаддеева — Леверье, дополненного теоремой Гамильтона — Кэли. Полученная вещественнозначная конструкция для формирования критериальных матриц отношения «вход—выход» многомерных динамических систем предназначена для априорного экспресс-контроля вырождения динамических систем типа «многомерный вход—многомерный выход» в статике [4].
7. Решена проблема электродинамической компенсации произвольного возмущающего момента [33].
8. Проанализирована возможность электродинамического управления ориентацией для стабилизации в орбитальной системе координат спутника, находящегося на круговой околоземной орбите, эволюционирующей вследствие возмущений, вызванных сплюснутостью Земли [39]. Решение проблемы электродинамической компенсации произвольного возмущающего момента позволило синтезировать алгоритмы управления электромагнитными параметрами ИСЗ, позволяющие стабилизировать угловое положение ИСЗ в орбитальной системе координат в условиях воздействия возмущающего гравитационного момента [33]. В рамках октупольной аппроксимации геомагнитного поля доказана аналитически и проверена компьютерным моделированием устойчивость программного движения ИСЗ при постоянно действующих возмущениях.
9. Решены задачи электродинамической стабилизации некоторых практически важных программных вращений ИСЗ.
9.1. Сначала была решена задача электродинамической стабилизации такого движения ИСЗ, при котором ось динамической симметрии ИСЗ стабилизируется по местной вертикали, а сам спутник совершает медленное вращение вокруг этой оси [38].
9.2. Затем была решена более сложная задача стабилизации ИСЗ в программном режиме движения, при котором ось динамической симметрии ИСЗ стабилизируется в положении, определяемом постоянным углом к местной вертикали, а сам ИСЗ совершает медленное вращение вокруг этой оси. На основе метода функций Ляпунова получены достаточные условия асимптотической устойчивости стабилизируемого программного режима движения при наличии возмущающего воздействия гравитационного момента [37]. С помощью оригинальной конструкции функции Ляпунова получены новые условия, при которых электродинамическое управление решает поставленную задачу стабилизации программного режима движения ИСЗ [21]. Достаточные условия асимптотической устойчивости программного движения ИСЗ найдены в терминах неравенств для значений параметров управления. Эти условия позволяют обеспечить рациональный выбор коэффициентов параметрического управления в зависимости от параметров ИСЗ и его орбиты.
10. Дано развитие метода электродинамической трехосной стабилизации ИСЗ в орбитальной системе координат при отсутствии ограничений на модель магнитного поля Земли [36]. Рассмотрен ИСЗ, движущийся по круговой околоземной орбите. В качестве наибольшего возмущающего момента учтен гравитационный момент. С использованием прямого метода Ляпунова получены условия, при которых электродинамическое управление решает проблему. Найдены и представлены в явном виде ограничения на значения параметров управления, для которых можно гарантировать асимптотическую устойчивость программного движения ИСЗ.
11. Дано развитие лоренцева метода управления ориентацией и стабилизацией околоземных орбитальных объектов, ориентированный на применение для протяженных орбитальных конструкций и, в частности, для космической тросовой системы.
Рассмотрен ИСЗ с системой экранов электростатической защиты (ЭСЗ), выполненных в виде крупногабаритных заряженных оболочек [39]. Решена новая задача, связанная с использованием момента сил Лоренца для стабилизации ИСЗ в условиях центрованного распределения зарядов. Ввиду больших размеров ЭСЗ лоренцев момент вычислен с учетом сложной формы экранов (учтены моменты зарядов не только первого, но и второго порядка), а также градиентности геомагнитного поля в объеме экранов. Путем изменения величин зарядов оболочек предлагается управлять статическими моментами заряда второго порядка всей системы, не меняя положения центра заряда ИСЗ. При этом центр заряда совпадает с центром масс ИСЗ. Показана возможность использования лоренцева момента для пассивной стабилизации ИСЗ в орбитальной системе координат [15, 19]. Найдено прямое положение равновесия ИСЗ в орбитальной системе координат. Получены достаточные условия устойчивости прямого положения равновесия с использованием построенного первого интеграла с учетом влияния гравитационного момента. Построены области устойчивости прямого положения равновесия при различных параметрах системы.
12. Разработана и запатентована [28] новая конструктивная схема электродинамического троса [35], позволяющая решать задачу стабилизации электродинамического троса в околоземном пространстве в режиме ориентации вдоль местной вертикали без выключения тока, протекающего по тросу [14,17,27]. Для создания дополнительного восстанавливающего момента используются разноименно заряженные коллекторы на концах троса. При взаимодействии зарядов с магнитным полем Земли возникает момент лоренцевых сил, который оказывает ориентирующее действие на трос [1,7].
13. Для создания активного управляющего момента диссипативного характера и достижения асимптотически устойчивой ориентации электродинамического троса вдоль местной вертикали разработано и запатентовано новое демпфирующее устройство [2], включающее управляемые электронные эмиттеры, позволяющие изменять величину заряда на одном из коллекторов в соответствии с условиями, определяемыми текущей ориентацией троса [1]. Параметры троса выбирают в соответствии с условиями, учитывающими влияние возмущающих моментов [8,13]. Выполнено численное моделирование управляемого движения электродинамического троса [12].
14. Разработан новый способ определения инерционных параметров ИСЗ [24]. Идентификация инерционных параметров ИСЗ осуществляется на основе гиродинов, использующихся для ориентации и стабилизации ИСЗ. Для решения задачи применяется энергетический метод и малые симметричные двухэтапные программные разгонно-тормозные движения по одной и двум осям. Разработанный алгоритм идентификации позволяет по замеренным значениям активных моментов сил, приложенных к ИСЗ, создаваемых гиродинами, а также по значениям угловых скоростей ИСЗ и маховиков вычислять искомые инерционные параметры ИСЗ. Ввиду симметричности движений значительно снижается воздействие внешних возмущающих моментов на результат измерений. Приведена математическая модель вращательного движения космического аппарата, алгоритм идентификации и расчетные формулы для определения осевых и центробежных моментов инерции [46].
15. Разработан и запатентован новый способ идентификации тензора присоединенных моментов инерции тела и устройство для его осуществления [6].
16. Разработан новый программный продукт [40], защищенный государственной регистрацией в Реестре программ для ЭВМ, предназначенный для аналитического моделирования гравитационного и магнитного полей Земли с использованием тензорного мультипольного представления. [18]. Программный код, составленный на языке системы компьютерной алгебры MAPLE, позволяет строить аналитические выражения компонент мультипольных тензоров произвольных рангов.
17. Разработаны новые подходы к использованию прямого метода Ляпунова и метода сравнения в задачах одноосной и трехосной угловой стабилизации ИСЗ относительно центра масс при эволюции управляющих моментов, включая случай исчезающего управления и существенно нелинейных диссипативного и управляющего моментов.
17.1. Изучалась проблема одноосной стабилизации ИСЗ в условиях, когда в системе управления ИСЗ имеется линейный [16] и нелинейный [29] нестационарный диссипативный момент и нестационарный восстанавливающий момент, стремящийся к нулю с увеличением времени. Рассмотрены варианты линейных и существенно нелинейных восстанавливающих моментов [20]. С помощью метода декомпозиции получены условия, при которых можно гарантировать устойчивость или асимптотическую устойчивость равновесного положения ИСЗ, несмотря на исчезновение восстанавливающего момента. С помощью прямого метода Ляпунова и теории дифференциальных неравенств найдены условия, при которых положение равновесия ИСЗ устойчиво как по всем, так и относительно части переменных.
17.2. Изучалась проблема трехосной стабилизации углового положения ИСЗ. Был поставлен вопрос о возможности реализации такой системы управления, в которой диссипативный момент стремится к нулю с течением времени, а в качестве управляющего остается лишь восстанавливающий момент [34]. Случай исчезающего демпфирования известен как наиболее сложный в проблеме анализа устойчивости механических систем с нестационарным параметром при диссипативных силах. Доказана лемма об оценке снизу нормы восстанавливающего момента в окрестности стабилизируемого движения ИСЗ, а также две теоремы об асимптотической устойчивости стабилизируемого движения ИСЗ. Показано, что найденные в теоремах достаточные условия асимптотической устойчивости близки к необходимым. Рассмотрен также другой предельный случай, в котором диссипативный момент меняется со временем, а его эволюция приводит к неограниченному увеличению величины момента [26]. Рассмотрены случаи линейного и нелинейного однородного диссипативного момента. Определены условия, при которых можно гарантировать асимптотическую устойчивость программного движения ИСЗ, несмотря на эволюцию диссипативного момента [10].
18. Разработаны методы анализа устойчивости и стабилизации (одноосной и трехосной) углового положения ИСЗ при наличии однородных нестационарных возмущений с нулевыми средними значениями.
18.1. Исследовалась проблема управления одноосной ориентацией ИСЗ, подверженного нестационарным возмущающим моментам. Как известно, применяемый для подобных задач метод усреднения является мощным средством анализа нестационарных систем на устойчивость, поскольку позволяет свести нестационарную задачу к соответствующей стационарной с вытекающими из этого упрощениями. Однако, прием усреднения хорошо разработан только для систем с быстро изменяющейся нестационарностью. В проведенном исследовании не предполагалось быстрого изменения нестационарных возмущений, действующих на ИСЗ. Рассмотрены возмущения, представимые в виде линейных комбинаций однородных функций с изменяющимися во времени коэффициентами. Управляющий момент состоит из диссипативного компонента и восстанавливающего. Предполагается, что порядки возмущений совпадают с порядками восстанавливающего момента, а коэффициенты имеют нулевые средние значения. В частности, коэффициенты такого типа могут описывать периодические или почти периодические колебания. Проанализированы случаи линейного и нелинейного восстанавливающего и возмущающего моментов. Доказаны две теоремы об асимптотической устойчивости программной ориентации ИСЗ [22]. Полученные условия устойчивости не налагают никаких ограничений на амплитуды колебаний возмущающего момента.
18.2. Аналогичная задача об одноосной стабилизации углового положения ИСЗ анализировалась также и при более общих условиях. Предполагалось, что порядок однородности возмущений не превосходит порядка однородности восстанавливающего момента. При отсутствии требования равномерности (по времени) стремления среднего значения возмущающего момента к нулю доказана теорема о достаточных условиях асимптотической устойчивости стабилизируемого решения [9]. С использованием метода функций Ляпунова найдены условия, гарантирующие решение задачи об одноосной стабилизации углового положения ИСЗ, не накладывают ограничений на амплитуды колебаний коэффициентов возмущающего момента [11].
19. Разработаны новые подходы к построению функций Ляпунова в различных задачах динамики управляемого движения ИСЗ и космической тросовой системы относительно центра масс. Построены области асимптотической устойчивости (на базе строгого аналитического доказательства) для различных стабилизируемых режимов ИСЗ и электродинамической тросовой системы. Эти результаты отражены в вышеперечисленных пунктах.
20. Во всех вышеперечисленных пунктах, связанных с динамикой и управлением ориентацией орбитальных объектов, выполнялся не только аналитический, но и численный анализ эффективности и реализуемости разработанных параметрических методов. Результаты численного моделирования подтвердили эффективность и реализуемость разработанных методов и алгоритмов.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ
1. Тихонов А.А. Метод управления для угловой стабилизации электродинамической тросовой системы // Автоматика и телемеханика, 2019 (принято в печать)
2. Тихонов А.А. Патент по заявке № 2018140698/11 (067633) от 16.11.2018 на изобретение «Демпфирующее устройство для стабилизации электродинамической тросовой системы» (получено решение от 23.10.2019. Входящий СПбГУ № 01-118-4638 от 13.11.2019.)
3. Aleksandrov A.Yu., Kovaleva N.O. Diagonal Riccati Stability of a Class of Matrices and Applications // Nonlinear Dynamics and Systems Theory, 2019, vol.19, no. 4, pp. 445-454.
4. Vunder N.A., Dudarenko N.A., Melnikov V.G. Formation of criterion matrices of multi-dimensional dynamical systems using the Faddeev - LeVerrier algorithm // Известия высших учебных заведений. Приборостроение // 2019, vol. 62, no. 9, pp. 791-797.
5. Melnikov G.I., Melnikov V.G., Dudarenko N.A., Talapov V.V. Stability of nonlinear dynamical system motion under constantly acting perturbations // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2019, vol. 19, no. 2, pp. 216-221
6. Патент RU - No 2688964 на изобретение "Способ идентификации тензора присоединенных моментов инерции тела и устройство для его осуществления" по заявке No 2018123452, Приоритет 27.06.2018, Дата гос. регистрации в Гос. реестре изобретений РФ 23.05.2019.
7. Дериглазов А.П., Щербакова Л.Ф., Яковлев А.Б. Об электродинамическом управлении космической тросовой системой // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов в 4 томах. Т.1: Общая и прикладная механика. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. -780 с., С. 737--739.
8. А.А. Тихонов, Л.Ф. Щербакова О демпфировании колебаний электродинамической тросовой системы // XLIII Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти акад. С.П. Королева и других выдающихся отечественных ученых - пионеров освоения космического пространства (Москва, 29 января - 1 февраля 2019 г.) : сб. тез.: в 2 т. - М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2019. Т.1. -- 419 с., С. 125-127.
9. А.Ю. Александров, А.А. Тихонов Одноосная стабилизация вращательного движения твердого тела при наличии возмущений с нулевыми средними значениями // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия, 2019, Т. 52, No 2, C. 271-281.
10. А.Ю. Александров, А.А. Тихонов К вопросу о трехосной стабилизации твердого тела при эволюции диссипативного момента / Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Материалы XIV Международной научной конференции (30 мая - 1 июня 2018г., Москва) / [Ред. В.Н. Тхай]. - М.: ИПУ РАН, 2018. - 499 с., С. 13-16.
11. A.Yu. Aleksandrov, A.A. Tikhonov Uniaxial Attitude Stabilization of a Rigid Body under Conditions of Nonstationary Perturbations with Zero Mean Values // Vestnik of the St. Petersburg University: Mathematics. vol. 52, no. 2, pp. 187-193.
12. К.А. Антипов, А.П. Дериглазов, Д.Н. Иванов, А.А. Тихонов О математическом и компьютерном моделировании космической электродинамической тросовой системы // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: Сб. тр. XII междунар. науч. конф. "ПМТУКТ-2019", Воронеж, 2019.
13. A.A. Tikhonov On damping of the oscillations of electrodynamic tether system // AIP Conference Proceedings 2171(1):060007• November 2019 DOI: 10.1063/1.5133205
14. A.A. Tikhonov, L.F. Shcherbakova On Equilibrium Positions and Stabilization of Electrodynamic Tether System in the Orbital Frame // AIP Conference Proceedings 1959, 040023 (2018); doi: 10.1063/1.5034626
15. D.Y. Nikitin, A.A. Tikhonov Attitude Stabilization of a Spacecraft Equipped with Large Electrostatic Protection Screens // AIP Conference Proceedings 1959, 040011 (2018); doi: 10.1063/1.5034614
16. A.Yu. Aleksandrov, E.B. Aleksandrova, A.A. Tikhonov On the monoaxial stabilization of a rigid body under vanishing restoring torque // AIP Conference Proceedings 1959, 080001 (2018); doi: 10.1063/1.5034718
17. А.А. Тихонов О положениях равновесия электродинамической тросовой системы и возможности ее стабилизации в орбитальной системе координат // Восьмые Поляховские чтения: Тез. докл. Междунар. науч. конф. по механике, Санкт-Петербург, 30 января - 2 февраля 2018 г. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2018. 346 с., C. 86-87
18. Д.Г. Корытников А.А. Тихонов Алгоритм тензорного моделирования магнитного поля Земли для реализации в системе компьютерной алгебры // Восьмые Поляховские чтения: Тез. докл. Междунар. науч. конф. по механике, Санкт-Петербург, 30 января - 2 февраля 2018 г. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2018. - 346 с., C. 67
19. Д.Ю. Никитин, А.А. Тихонов О стабилизации спутника, оснащенного экранами электростатической защиты // Восьмые Поляховские чтения: Тез. докл. Междунар. науч. конф. по механике, Санкт-Петербург, 30 января - 2 февраля 2018 г. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2018. - 346 с., C. 72
20. A.Yu. Aleksandrov, A.A. Tikhonov Attitude stabilization of a rigid body under the action of a vanishing control torque // Nonlinear Dynamics, 2018, vol. 93, No. 2, pp. 285-293. DOI: 10.1007/s11071-018-4191-4
21. A.Yu. Aleksandrov, E.B. Aleksandrova, A.A. Tikhonov Stabilization of a programmed rotation mode for a satellite with electrodynamic attitude control system // Advances in Space Research, 2018, vol. 62 (1), pp. 142-151.
22. A.Yu. Aleksandrov, A.A. Tikhonov Rigid body stabilization under time-varying perturbations with zero mean values // Cybernetics and Physics, 2018, Vol. 7, No. 1, pp. 5-10.
23. Мельников Г.И., Мельников В.Г., Дударенко Н.А., Иванова Л.Н. Итеративный метод дифференциальных неравенств для функций Ляпунова // Восьмые Поляховские чтения: Тез. докл. Междунар. науч. конф. по механике, Санкт-Петербург, 30 января - 2 февраля 2018 г. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2018. - 346 с.
24. Алышев А.С., Мельников В.Г. Определение инерционных параметров искусственного спутника Земли // Восьмые Поляховские чтения: Тез. докл. Междунар. науч. конф. по механике, Санкт-Петербург, 30 января - 2 февраля 2018 г. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2018. - 346 с.
25. Александров А.Ю., Жабко А.П., Чэнь Я. Анализ устойчивости гироскопических систем с запаздыванием на основе декомпозиции // Восьмые Поляховские чтения: Тез. докл. Междунар. науч. конф. по механике, Санкт-Петербург, 30 января - 2 февраля 2018 г. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2018. - 346 с.
26. A.Yu. Aleksandrov, A.A. Tikhonov On the Triaxial Stabilization of a Rigid Body under an Evolution of Dissipative Torque // Proceedings of 2018 14th International Conference Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiys Conference), STAB 2018 6 July 2018, pp. 1-4.
27. А.А. Тихонов, Л.Ф. Щербакова О равновесиях космического электродинамического троса в условиях неоднородного магнитного поля // Проблемы механики и управления: Материалы Межд. конф. (16-22 сент. 2018, г. Махачкала) / Ред. И.Г. Горячева - М.: Изд-во Московского университета. 2018. -452 с., С. 395-396.
28. Патент RU - No 2666610 на изобретение "Устройство стабилизации электродинамической тросовой системы для удаления космического мусора" по заявке No 2017129790, Приоритет 22.08.2017, Дата гос. регистрации в Гос. реестре изобретений РФ 11.09.2018.
29. A.Yu. Aleksandrov, E.B. Aleksandrova, A.A. Tikhonov Monoaxial Attitude Stabilization of a Rigid Body under Vanishing Restoring Torque // Nonlinear Dynamics and Systems Theory, 2018, Vol. 18, No. 1, pp. 12-21.
30. A.Yu. Aleksandrov, E.B. Aleksandrova Stability Analysis of Nonlinear Mechanical Systems with Delay in Positional Forces // Nonlinear Dynamics and Systems Theory, 2018, Vol. 18, No. 3, pp. 225-232.
31. Aleksandrov A.Yu., Zhabko A.P., Chen Y. Stability analysis of gyroscopic systems with delay via decomposition // AIP Conference Proceedings, 2018, 1959, 80002, DOI: 10.1063/1.5034719
32. Aleksandrov A., Kovaleva N. Diagonal Riccati stability of a class of time-delay systems // Cybernetics and Physics, 2018, vol. 7, no. 4
33. A.A. Tikhonov, K.A. Antipov, D.G. Korytnikov, D.Yu. Nikitin Electrodynamical compensation of disturbing torque and attitude stabilization of a satellite in J2 perturbed orbit // Acta Astronautica, 2017, Vol. 141, pp. 219-227.
34. Александров А.Ю., Тихонов А.А. Стабилизация вращательного движения твердого тела в условиях убывающей диссипации // Вестник СПБГУ, 2017, т. 62, № 4, C. 633-643.
35. А.А. Тихонов Об одной конструктивной схеме электродинамического троса для расширения возможностей и повышения эффективности решения задачи спуска ИСЗ с орбиты / Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: Сб. тр. X междунар. науч. конф. "ПМТУКТ-2017" / под ред. И.Л. Батаронова, А.П. Жабко, В.В. Провоторова; Воронеж. гос. техн. ун-т., Моск. гос. ун-т., С.- Петербург. гос. ун-т., Военно-возд. академия (Воронеж), Воронеж. гос. ун-т., Пермск. гос. нац. исслед. ун-т, Пермск. нац. исслед. политех. ун-т. - Воронеж: Изд-во "Научная книга", 2017. -446 с., С. 347-350.
36. Aleksandrov A.Y., Tikhonov А.А. Asymptotic stability of a satellite with electrodynamic attitude control in the orbital frame // Acta Astronautica, 2017, Vol. 139, pp. 122-129
37. Александров А.Ю., Александрова Е.Б., Лапшин А.Е., Тихонов А.А. Электродинамическая стабилизация искусственного спутника Земли в режиме двухосной закрутки // Мехатроника, Автоматизация, Управление. 2017, Т. 18, № 5, С. 346-351.
38. А.Ю. Александров, А.Е. Лапшин, А.А. Тихонов Об электродинамической стабилизации вращения ИСЗ в режиме двухосной закрутки // XLI Академические чтения по космонавтике, М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2017. -- 565 с., С. 95--96.
39. Корытников Д.Г., Никитин Д.Ю. О пассивной и полупассивной стабилизации спутника, оснащенного экранами электростатической защиты // XLI Академические чтения по космонавтике, М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2017. -- 565 с.
40. А.А. Тихонов, К.А. Антипов, Д.Г. Корытников Программа для моделирования гравитационного и магнитного полей Земли с помощью мультипольных тензоров произвольных рангов (MULTIPOL). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ No. 2017661341 по заявке No. 2017618511 от 22.08.2017. Дата гос. регистрации в Реестре программ для ЭВМ 10.10.2017.
41. Aleksandrov A.Y., Aleksandrova E.B., Platonov A.V., Voloshin M.V. On the global asymptotic stability of a class of nonlinear switched systems // Nonlinear Dynamics and Systems Theory, 2017, vol. 17, no.2, pp. 107-120
42. Александров А.Ю., Косов А.А. Анализ устойчивости гибридных механических систем с переключающимися нелинейными неоднородными позиционными силами // Abstracts of the IEEE International Conference. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” Dedicated to the Memory of Professor V.F. Demyanov, 22-27 мая 2017. Часть 1. – СПб.: Изд-во ВВМ, 2017, с. 210-213.
43. G.I. Melnikov, N.A. Dudarenko, K.S. Malykh, L.N. Ivanova, V.G. Melnikov Mathematical Models of Nonlinear Oscillations of Mechanical Systems with Several Degrees of Freedom // Nonlinear Dynamics and Systems Theory, 2017, vol. 14, no.4, pp. 369-375
44. Мельников В.Г., Мельников Г.И., Дударенко Н.А., Алышев А.С., Иванова Л.Н. Последовательности дифференциальных неравенств для функций Ляпунова в оценках устойчивости нелинейных динамических систем // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2017, т.17, № 5, с. 947–951
45. Патент 2 627 023 РФ, MПК 7 G 01 M 1/16 Способ идентификации присоединенного момента инерции тела и устройство для его осуществления
46. Алышев А.С., Мельников В.Г. Метод идентификации моментов инерции космического аппарата на геостационарной орбите // Тез. докл. междунар. науч. конф. "Фундаментальные и прикладные задачи механики" им. Н.Е. Жуковского, 2017, с.117.

Заключение
Каждый из результатов, перечисленных выше, сопровождается библиографическими ссылками, подтверждающими, что все основные результаты, полученные в процессе выполнения работ по проекту, были апробированы на международных конференциях и опубликованы в рецензируемых отечественных и зарубежных журналах. В журналах квартиля Q3 опубликовано 7 статей, в журналах квартиля Q2 - 5 статей, в журналах квартиля Q1 - 3 статьи. Каждая из опубликованных статей прошла рецензирование, в том числе статьи, опубликованные в зарубежных журналах, прошли международное рецензирование и, следовательно, каждая из статей была сопоставлена с мировым уровнем несколькими независимыми экспертами из разных стран. То же относится и к материалам, опубликованным в сборниках трудов международных конференций. Этот факт, а также сопоставление каждого из перечисленных важнейших результатов с известными результатами, ранее опубликованными в ведущих научных изданиях, свидетельствует о том, что результаты, полученные в процессе выполнения работ по данному проекту, являются новыми по постановкам задач и по методам, примененным для их получения. Все результаты, имеющие как теоретическое значение, так и прикладную направленность (в том числе, отраженные в четырех патентах и одном программном продукте), были получены исходя из целей, сформированных на основе анализа имеющегося мирового опыта, подробно описанного в заявке. Поэтому результаты, полученные в соответствии с поставленными целями в процессе выполнения работ по проекту, соответствуют мировому уровню и являются актуальными.