Нашей целью является создание в Санкт-Петербурге новой лаборатории, которая
объединит специалистов из нескольких различных областей современной алгебры, а
именно: теории групп, алгебраической геометрии, теории представлений, теории мотивов,
гомологической алгебры. Для руководства создаваемой лабораторией приглашается Д.
Прасад - ведущий мировой эксперт, работающий на стыке этих областей. В лаборатории
будут функционировать две основные исследовательские группы. Первая группа будет
работать над различными задачами теории дискретных и проконечных групп (ключевые
исследователи - Д. Прасад, С. Иванов, Р. Михайлов, Р. Григорчук, Т. Смирнова-
Нагнибеда). Вторая группа (Д. Прасад, И. Панин, В. Петров, А. Ананьевский, П. Зограф)
будет фокусироваться на алгебро-геометрических аспектах теории групп и теории
мотивов.
В нашей лаборатории будут открыты исследовательские позиции для студентов,
аспирантов и постдоков, будут организованы семинары, конференции и школы,
посвященные наиболее актуальным вопросам современной алгебры. Лабораторию посетят
с лекциями ведущие мировые математики, в частности, филдсовские лауреаты В.
Воеводский и Е. Зельманов, а также профессора Джи Ву, Кент Орр, Эмануэль Фарджун,
Харальд Хелфготт, Ольга Харлампович, Динакар Рамакришнан, Тиерри Жордано. Мы
уверены, что создание лаборатории, объединяющей упомянутых выше специалистов,
приведет к сильному синергетическому эффекту в их деятельности и инициирует
совершенно новую для Санкт-Петербурга и для России в целом волну современных
математических исследований.
Ожидаемые результаты: В ходе выполнения проекта мы планируем получить следующие результаты:
1) Описание законов ветвления для неумеренных представлений классических
редуктивных групп в качестве продолжения теории гипотез Гана-Гросса-Прасада для
умеренных представлений, и получение аналогичных результатов для высших Ext-
пространств.
2) Решение проблемы Боусфилда о гомологиях R-пополнения свободной группы.
3) Составление fr-словаря, переводящего предложения в fr-языке в функторы в категории
групп, развитие теории высших пределов. Результаты в направлении обобщенной
проблемы Фокса, описания подгрупп, определяемых мономиальными идеалами в
групповых кольцах. В недавней работе Р. Михайлова и И.Б.С. Пасси показано, что
подобные задачи приводят к производным функторам, ожидается построение более общей
теории, включающей в себя комбинаторно-гомотопические связи такого типа.4) Описание решетки подгрупп ветвящихся групп. Построение новых примеров
аменабельных групп, не являющихся элементарно аменабельными. Построение примеров
групп промежуточного роста.
5) Развитие нового многообещающего направления – применение теории апериодического
порядка и случайных операторов Шрёдингера на квазикристаллах к изучению групп
промежуточного роста.
6) Мы ожидаем получить описание неприводимых допустимых представлений
, на
которых существует
-инвариантная линейная форма, и размерности пространства
таких инвариантных форм в терминах (усовершенствованного) параметра Ленглендса
исходного представления, для любой редуктивной алгебраической группы
над
локальным полем с квадратичным расширением . Для этого мы планируем изучить
особенности параметрических пространств параметров Ленглендса для связных
редуктивных групп над локальными полями и их морфизмы.
7) Установление двойственности между каноническими системами комплексных
координат на пространстве
-опер.
8) Мы планируем дать явное описание сердцевин категории фрейм-мотивов и стабильной
мотивной гомотопической категории алгебраических многообразий, а также доказать
мотивный вариант теоремы Сегала.
9) Построение теории сравнений между рядами Эйзенштейна и касп-формами на
,
аналогичной теории для
, использованной в доказательстве теоремы Хербранда-
Рибета. Применение этой теории к построению расширений таких числовых полей как
– числовое поле, полученное присоединением координат точек p-кручения
эллиптической кривой над полем рациональных чисел.
10) Классификация с точностью до изоморфизма и изотопии, структурируемых алгебр
(над полями без расширенийнечетной степени) с одномерным пространством
кососимметрических элементов.