Итоговый отчет по гранту No (17-01-00258 А)
«Когомологии Хохшильда и алгебры Герстенхабера»
Руководитель: Генералов Александр Иванович


Реферат
В данный период реализации проекта были проведены различные исследованиям в области гомологической алгебры, а также в области неассоциативных и n-арных алгебр. Были приведены новые примеры вычисления когомологий Хохшильда; построены идеалы Кульсхаммера в когомологиях Хохшильда произвольной алебры; описаны вырождения и деформации алгебр Лейбница, йордановых алгебр и йордановых супералгебр; изучены основные свойства простых некоммутативных йордановых супералгебр: изучены их подсупералгебры, группы автоморфизмов, супералгебры супердифференциорваний; было предложено новое понятие тернарных йордановых алгебр и изучены основные свойства полученного многообразия тернарных алгебр; было дано описание когомологий Хохшильда через A-бесконечность кодифференцирования произвольной резольвенты и выведение формулы для скобки в терминах A-бесконечность кодифференцирований; описаны однородные операторы типа Рота для нуль-филиформных ассоциативных алгебр; oписаны дифференцирования высших порядков для алгебр инцидентности; классифицированы 2-мерные жесткие, консервативные и терминальные алгебры; классифицированы центральные расширения 3-мерных антикоммутативных алгебр.
Введение
Разработка методов вычисления когомологий Хохшильда и структур алгебр Герстенхабера на них: получение и изучение новых формул для скобки Герстенхабера на когомологиях Хохшильда, нахождения их связи с формулами для скобки Герстенхабера в терминах кодифференцирований резольвенты, применение этих формул к построению скобки Герстенхабера на когомологиях Хохшильда для смэш произведения. Проведение этих вычислений для новых классов алгебр: нахождение когомологий Хохшильда для ещё не исследованных групповых блоков ручного типа, вычисление скобки Герстенхабера на уже известных когомологиях Хохшильда некоторых блоков ручного типа и когомологиях Хохшильда самоинъективных алгебр конечного типа представления. Доказательство существования структуры алгебры Баталина–Вилковыского на когомологиях Хохшильда новых классов алгебр: исследование вопроса существования дифференциала Баталина–Вилковыского на когомологиях Хохшильда фробениусовых алгебр с неполупростым автоморфизмом Накаямы, Кошулевых алгебр, Горенштейновых алгебр, нахождение связи между существованием дифференциала Баталина–Вилковыского на алгебре с его существованием на её смэш произведении с групповой алгеброй. Построение новых примеров простых алгебр Герстенхабера над полями положительной характеристики. Исследование вопроса существования этой структуры на абстрактных алгебрах Герстенхабера: нахождение дифференциала Баталина–Вилковыского на уже известных алгебрах Герстенхабера, в частности, на алгебрах, появляющихся в качестве когомологий Хохшильда и на простых алгебрах Герстенхабера, разработка новых критериев существования дифференциала Баталина–Вилковыского на алгебре Герстенхабера. Изучение свободных алгебр Герстенхабера: построение базиса свободной обобщенной алгебры Герстенхабера. Доказательство аналога теоремы Фаркаша для полиномиальных алгебр Герстенхабера.
Основная часть отчета о НИР
2017 г.:
(1) Для аддитивной категории C, в которой любой морфизм обладает ядром, доказывается абелевость гомотопической категории комплексов над C, сосредоточенных в степенях 2, 1, 0 и точных в степенях 2 и 1. Ранее этот результат, в случае абелевости исходной категории C, был выведен из рассмотрения сердцевины подходящей t-структуры на гомотопической категории категории C.

(2) Вычислены группы когомологий Хохшильда для алгебр полудиэдрального типа, содержащихся в серии SD(2B)_1 (из известной классификации К. Эрдман). В вычислениях используется построенная в этой же статье минимальная бимодульная резольвента для алгебр рассматриваемой серии.

(3) Вычислены группы когомологий Хохшильда для алгебр диэдрального типа, содержащихся в серии D(3R) (из известной классификации К. Эрдман). В вычислениях используется построенная в этой же статье минимальная бимодульная резольвента для алгебр рассматриваемой серии.

(4) Построены идеалы Кульсхаммера в градуированном центре градуированной категории. Это позволило получить идеалы Кульсхаммера в градуированном центре триангулированной категории и в Когомологиях Хохшильда произвольной алгебры. Полученные в когомологиях идеалы инвариант относительно производных эквиваленитностей, а в случае симметрической алгебры их ограничение на нулевую степень совпадает с известными ранее идеалами Кульсхаммера. Таким образом, построен новый инвариант в Когомологиях Хохшильда, который естественным образом обобщает, известный ранее инвариант, имеющий довольно широкое применение.

(5) Описаны жесткие алгебры и неприводимые компоненты в многообразии 4-мерных алгебр Лейбница. В описании использовалась алгебраическая классификация алгебр Лейбница размерности 4, а также классические методы Грюнвальда-Охаларн для описания вырождаемости алгебр и их модификации, разработанные участниками проекта. В частности, были разработаны новые методы описания невырождений между алгебрами Лейбница и алгебрами жесткими в многообразии алгебр Ли и между алгебрами с трехмерных нильпотентным радикалом.

(6) Описаны системы вырождений в трехмерных йордановых алгебрах. Построен пример маргинальной йордановой алгебры. В описании использовалась алгебраическая классификация йордановых алгебр размерности 3, а также классические методы Грюнвальда-Охаларн для описания вырождаемости алгебр и новые методы разработанные участниками проекта. В частности, маргинальность йордановой алгебры была получена через обнуление группы вторых когомологий.

(7) Описаны жесткие алгебры и система вырождений в трехмерных йордановых супералгебрах. В описании использовалась недавно полученная алгебраическая классификация йордановых супералгебр размерности 3, а также классические методы Грюнвальда-Охаларн для описания вырождаемости алгебр, примененные в суперслучае.

(8) Изучены свойства простых некоммутативных супералгебр. В частности, были описаны все подалгебры основных простых некоммутативных йордановых супералгебр, их алгебры дифференцирований и группы автоморфизмов. Были исспользованы классические методы исследования неассоциативных алгебр и супеалгебр.

(9) Определено понятие тернарных йордановых алгебр и изучены основные их свойства. Построные примеры простых алгебр данного типа, описаны их дифференцирования и показаны связи с другими многообразиями тернарных алгебр.

(10) Описана структура k-модулей над линейными пространствами с мультипликативным базисом и n-арным умножением. Было получено обобщение на n-арный случай известного результата Калдерона Мартина, Санчеза Делгадо и Наварро-Искуердо об описании структуры модулей с мультипликативным базисом над векторными пространствами.

2018 г.:
(1) Описаны однородные операторы типа Рота для нуль-филиформных ассоциативных алгебр
(2) Описаны дифференцирования высших порядков для алгебр инцидентности
(3) Классифицированы 2-мерные жесткие, консервативные и терминальные алгебры
(4) Классифицированы центральные расширения 3-мерных антикоммутативных алгебр
(5) Описаны когомологии Хохшильда для серии $D(2\mathcal B)(k,s,0)$ в характеристике 2
(6) Когомологии Хохшильда описаны как A-бесконечность кодифференцирования произвольной резольвенты. Выведение формулы для скобки Герстенхабера в терминах A-бесконечность кодифференцирований.


2019 г:
(1) Классифицированы все центральные расширения филиформных ассоциативных алгебр;
(2) Вычисленны группы когомологий Хохшильда HHn(R) для семейства локальных алгебр полудиэдрального типа, возникающего только в характеристике 2;
(3) Приведены примеры свободных групп ранга 2, являющихся подгруппами группы бесконечных унитреугольных целочисленных матриц UT(∞,Z).
(4) Дано описание алгебры Йонеды для некоторой серии локальных алгебр, представленной
в классификации К. Эрдман.

Заключение
В результате работ по проекту все поставленные задачи были выполнены, а также были получены новые интересные результаты в близких областях к тематике проекта. Полученные результаты представлены и опубликованы в ведущих мировых математических журналах