На первом этапе работы над проектом исследования проводились по двум основным направлениям:
-развитие и усовершенствование теоретических моделей для описания неравновесных течений реагирующих смесей;
-анализ и разработка методов машинного обучения для решения задач неравновесной аэромеханики.

В рамках работы по первому направлению получены следующие результаты:
-Была усовершенствована разработанная ранее коллективом модель поуровневой кинетики для описания течений неравновесных газов в приближениях идеального и вязкого газа.
-В среде Matlab был разработан код для решения 0-мерной задачи о пространственно-однородной релаксации в бинарных смесях O2/O, N2/N в поуровневом приближении. В коде реализованы наиболее современные и достоверные модели для коэффициентов скорости переходов колебательной энергии и поуровневых химических реакций. Для проверки работоспособности кода был проведен расчет заселенностей уровней внутренней энергии, концентраций химических компонентов и температур при различных начальных условиях. Показано, что код может применяться для генерации данных для использования алгоритмов машинного обучения. Затем код был обобщен на случай пятикомпонентной воздушной смеси. Проведена валидация моделей путем сравнения с результатами расчетов нескольких коллективов авторов (AFRL, Texas A&M University, University of Arizona, University of Strathclyde), использующих другие подходы (прямое статистическое моделирование, многотемпературные модели), показано хорошее качественное совпадение результатов. Была построена аналитическая модель гиперзвукового обтекания тонкого крыла переменной формы, которая может быть использована для дальнейшей валидации численных расчетов.
-Для использования поуровневого приближения при моделировании вязких реагирующих течений была построена модель граничных условий на частично каталитической поверхности, учитывающая возможность дезактивации возбужденных колебательных состояний. Выведены условия для заселенностей, скорости скольжения и скачка температуры. Усовершенствованы алгоритмы расчета поуровневых коэффициентов переноса с учетом неупругих переходов вращательной энергии.
-Для учета ионизации на основе методов кинетической теории предложено модельное кинетическое уравнение для описания неравновесных течений с многократной ионизацией. Показано, что такие модельные уравнения позволяют получить системы уравнений сохранения энергии, импульса, количества ядер разных видов и электронов (как связанных, так и свободных). Предложенный подход значительно упрощает определение параметров равновесного потока и расчет равновесного состава газовой смеси.
-На основе разработанных кодов для широкого диапазона начальных неравновесных условий проведены серийные расчеты поуровневых коэффициентов скорости обменов колебательной энергией и химических реакций, релаксационных членов в уравнениях колебательно-химической кинетики, температуры, состава смесей, заселенностей колебательных уровней молекулярных компонентов, коэффициентов переноса. Результаты расчетов оформлены в виде баз данных, которые использованы для создания обучающих и валидационных выборок в алгоритмах машинного обучения.

В рамках второго основного направления получены следующие результаты:
-Был проведен обзор литературы по методам машинного обучения, как для задач регрессии, так и для построения нейронных сетей для совместного решения уравнений динамики жидкости и физико-химической кинетики.
-Проведен анализ эффективности нейросетевых методов для решения различных классов дифференциальных уравнений и их систем. Наилучшие результаты показывают многослойные нейронные сети. Использование смешанного набора активационных функций повышает эффективность при решении уравнений в частных производных, а наличие связей быстрого доступа улучшает обучение для жестких уравнений.
-Проведен анализ возможности применения алгоритмов ML для моделирования скорости реакций в неравновесных газах в поуровневом приближении. Реализованы алгоритмы k-NN и HGB для расчета скорости реакций в бинарной смеси газов. На примере нульмерной задачи о пространственно однородной релаксации и двух моделей коэффициентов скорости обменов колебательной энергией исследована точность алгоритмов и возможность повышения эффективности численного моделирования задач неравновесной газовой динамики. Использованные алгоритмы позволяют аппроксимировать с хорошей точностью значения релаксационных членов и приближенно решать систему уравнений для макропараметров. Лучшие результаты даёт метод k-ближайших соседей (k-NN), обученный на выборке, вычисленной согласно модели нагруженного гармонического осциллятора (FHO). Время численного интегрирования системы жестких обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью методов машинного обучения при использовании модели FHO несколько сокращается по сравнению со стандартными подходами. Выигрыш, однако, не слишком велик, поскольку при решении систем жестких ОДУ с помощью методов ML требуется большее количество итераций метода Гира. Эта проблема не будет возникать при решении системы уравнений в частных производных, когда жесткость частично снимается. Поэтому можно рекомендовать методы машинного обучения при решении двумерных и трехмерных задач.
-Оценена эффективность методов машинного обучения в приложении к задаче о течении неравновесной реагирующей смеси газов за плоской ударной волной. Рассмотрена одномерная задача в поуровневом приближении. Проведена регрессия скорости колебательной релаксации и химических реакций и сравнение нескольких современных алгоритмов машинного обучения. Лучшие характеристики с точки зрения времени прогнозирования достигаются с помощью алгоритма дерева решений, а минимум ошибок достигается при применении Kernel Ridge Regression. Алгоритм k-NN обеспечивает хороший компромисс между временем прогнозирования и точностью. Точность прогнозов на основе машинного обучения может быть дополнительно улучшена за счет обучения большего набора данных и уточненной настройки и оптимизации гиперпараметров.
-Исследованы различные стратегии для ускорения разработанного коллективом кода для моделирования течения за плоской ударной волной в приближении STS за счет объединения решателя ОДУ с наиболее эффективным предварительно обученным ML алгоритмом. Внедрение методов машинного обучения в решатели обыкновенных дифференциальных уравнений может обеспечить ускорение на несколько порядков, но следует обратить внимание на то, каким образом реализуется такая связь. Обнаружено, что характеристики сильно зависят от структуры сопряженных кодов.
-Для одномерного течения за фронтом ударной волны изучена возможность получения решения уравнений Эйлера, дополненных уравнениями колебательно-химической кинетики, с использованием глубокой нейронной сети (DNN). Получено хорошее согласие макропараметров потока, рассчитанных стандартным методом решения ОДУ и с помощью DNN. Таким образом, глубокие нейронные сети являются перспективными для решения задач такого типа. Тем не менее, требуются дальнейшие исследования для улучшения обобщаемости и интерпретируемости полученных результатов.
-Разработан прототип нейросети для предсказания коэффициентов переноса. Предложен подход на основе нейронных сетей для расчета термодинамических свойств и коэффициентов переноса газовых смесей с возбужденными вращательными, колебательными и электронными степенями свободы. Наборы обучающих данных для нейронных сетей получаются с использованием строгих алгоритмов кинетической теории. Для обучающей выборки проводился расчет удельной теплоемкости при постоянном давлении, коэффициентов теплопроводности и сдвиговой вязкости в однокомпонентных газах и их смесях. Для однокомпонентных газов средняя ошибка расчета составляет 2%, при достигаемом ускорении расчетов до 3 раз для атомов, и до 19 раз для молекул. При моделировании реальных потоков реагирующих газовых смесей количество расчетов коэффициентов переноса может достигать нескольких миллионов, в связи с чем даже такое умеренное ускорение важно для приложений. Для многокомпонентных смесей точность расчетов с использованием трехслойной нейронной сети хуже, особенно для пятикомпонентных смесей с низкой концентрацией отдельных компонентов смеси. Потеря точности связана с применяемыми фиксированными значениями из набора гиперпараметров, а также используемой архитектурой сети (количества нейронов/слоев/элементов в обучающей выборки и др.). В дальнейших исследованиях предполагается путем настройки значений гиперпараметров, а также изменением архитектуры нейронной сети достигнуть более высокой точности расчетов. Для расчетов в смесях газов наблюдается значительное ускорение расчетов по сравнению с работой точной модели, увеличивающееся с ростом количества химических элементов смеси. Следует отметить, что по завершению процедуры обучения полученная сеть может быть повторно использована для любого входного вектора из используемого при обучении диапазона входных значений. Таким образом, исследуемый подход перспективен при использовании в моделировании неравновесных высокотемпературных вязких течений смесей газов в рамках инженерных приложений.

По итогам работы по первому этапу проекта «Машинное обучение в задачах неравновесной аэромеханики» опубликовано/принято к публикации 8 статей, из них 2 в журналах Q1-Q2, 3 - в изданиях, индексируемых в Scopus и Web of Science, 3 - в изданиях, индексируемых в РИНЦ, 2 статьи направлены в журналы Q1-Q2, 2 статьи - в издания, индексируемые в Scopus и Web of Science, подана 1 заявка на регистрацию программы для ЭВМ, подано 2 заявки на гранты РНФ для привлечения софинансирования, защищена 1 кандидатская диссертация, 2 выпускные квалификационные работы бакалавров и 1 ВКР аспиранта. Сделано 4 доклада на международных конференциях. К работе над проектом было привлечено 7 студентов, 6 аспирантов и 7 кандидатов наук в возрасте до 39 лет.