Научная проблема, на решение которой направлен проект:
Развитие методов математической теории рассеяния для дифракционных решеток.

Научная значимость и актуальность решения обозначенной проблемы:
Периодические структуры, в частности дифракционные решетки, широко применяются в качестве элементов спектральных устройств. Для анализа работы таких устройств требуются результаты и методы теории рассеяния. Несмотря на чрезвычайную популярность этого направления и многочисленные работы, посвященные различным его аспектам, последовательная математическая теория рассеяния для дифракционных решеток в настоящий момент отсутствует. Кроме того, до сих пор не существует универсального численного метода, позволяющего исследовать рассеяние на дифракционных решетках разных типов.

Конкретная задача (задачи) в рамках проблемы, на решение которой направлен проект, ее масштаб и комплексность:
Предполагается развить математическую теорию рассеяния для квантовых, акустических и электромагнитных дифракционных решеток. В частности, планируется доказать существование и полноту волновых операторов, изучить свойства оператора и матрицы рассеяния, предложить и обосновать универсальный метод численного исследования процессов рассеяния, пригодный для всех рассматриваемых типов решеток.

Научная новизна исследований, обоснование достижимости решения поставленной задачи (задач) и возможности получения предполагаемых результатов:
Существует необозримое множество работ, посвященных рассеянию волн на дифракционных решетках. Их можно разделить на три категории: работы, описывающие волновые явления в решетках на физическом уровне строгости; работы, посвященные численному исследованию краевых задач, описывающих рассеяние на решетках; и, наконец, математические работы, посвященные отдельным аналитическим вопросам в специальных случаях (как правило, речь идет об уравнении Гельмгольца или о ситуациях, когда система Максвелла к нему сводится).
Наиболее близкой к заявленной проблеме является книга C.H.Wilcox Scattering Theory for Diffraction Gratings, Springer, 1984, где построена математическая теория рассеяния для двумерной решетки, описываемой уравнением Гельмгольца в «полуплоскости» с периодической границей. Методы этой книги существенно используют специфику задачи и не допускают сколько-нибудь значительных обобщений. Мы планируем построить математическую теорию рассеяния для дифракционных решеток разных типов. Кроме того, мы развиваем численный метод исследования процессов рассеяния на дифракционных решетках, применимый вне зависимости от типа решетки и формы профиля. Для достижения поставленных целей предполагается использовать связь задачи рассеяния на решетке с задачей рассеяния в некотором волноводе. Для волноводов аналогичные вопросы были решены авторами проекта в последние несколько лет.
Задачи, сформулированные в предлагаемой заявке, являются вводными для более масштабного проекта, направленного на исследование задач рассеяния на более сложных структурах, например, на решетках, периодических в двух или трех направлениях; на решетках с локальными нарушениями периодичности или с медленной стабилизацией характеристик заполняющей среды; задач возбуждения и рассеяния поверхностных волн и т.д. Предполагается, что круг вопросов для продолжения будет сформирован в ходе реализации настоящего проекта.

Современное состояние исследований по данной проблеме:
В работах, посвященных аналитическому исследованию рассеяния на решетках, как правило, предполагается, что решение соответствующей краевой задачи раскладывается в ряд по так называемым волнам Релея-Блоха. Сходимость рядов вплоть до границы при этом постулируется (гипотеза Релея). В связи с наличием подобных постулатов, если они теоретически не подтверждены, полученные аналитические результаты остаются условными и требуют дополнительной численной или экспериментальной проверки. В действительности, известны практически интересные случаи, когда гипотеза Релея не выполняется. О современных теоретических подходах можно судить по книге [1] или по теоретическим главам сборников [2], [3]. Отметим еще книгу [4], посвященную антенным решеткам, и работу [5] по упругим решеткам.
При такой скудности аналитических средств основную роль в исследовании решеток играют численные методы. Практически для каждого типа решеток или формы профиля требуется специфический метод. Все основные типы периодических структур покрываются современными методами. Однако регулярно появляются новые типы решеток, которые обычно требуют нового численного метода или улучшения старых. Кроме того, удовлетворительными признаются и вычислительные процедуры, основанные на справедливости гипотезы Релея. Обзор последних достижений в численных методах для решеток дан, например, в [2].
Математическая теория рассеяния для двумерной отражательной решетки, описываемой уравнением Гельмгольца, развивалась в книге [6]. При этом использовалось разложение Рэлея, в данном случае справедливое, что, однако, не позволяет перенести эту теорию на решетки произвольного типа.
В работах [7-8] развита математическая теория рассеяния для оператора Лапласа в полуплоскости с периодическим краевым условием.
Поиск поверхностных волн в решетке сводится к поиску ловушечных мод в волноводах. Теоретический поиск ловушечных мод в волноводе в настоящее время очень популярен. Упомянем работы [9-10], где асимптотическими методами доказано существование поверхностных волн в решетке определенной геометрии.
Метод численного поиска поверхностных волн в решетке предложен в статье [11]. Обоснование сходимости метода в [11] содержит пробел, который не был устранен в [12-13], где применялся этот метод. По существу, обоснование метода опиралось на предположение об отсутствии точечного спектра в соответствующем волноводе. При работе над данным проектом мы намерены устранить этот пробел. Будет показано, что упомянутый метод имеет универсальный характер и допускает распространение на широкий класс решеток, включающий квантовые, акустические и электромагнитные решетки. Мы рассматриваем этот метод как основу численного подхода, который планируется разработать в проекте. В последние годы нам удалось значительно расширить круг задач в волноводах, для которых такой метод допускает обоснование [14], и продемонстрировать его возможности на конкретных примерах [15]. Для волноводов с условиями квазипериодичности на границе, которые возникают при изучении решеток, вопрос об обосновании данного метода пока открыт.
[1] R. Petit (Ed.) Electromagnetic Theory of Gratings. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1980.
[2] E. Popov (Ed.) Gratings: Theory and Numeric Applications (2nd ed.) Presses Universitaires de Provence, 2014.
[3] Y.K. Sirenko, S. Strom (Eds.) Modern Theory of Gratings. Resonant Scattering: Analysis Techniques and Phenomena. Springer New York Dordrecht Heidelberg London, 2010.
[4] Галишникова Т.Н., Ильинский А.С. Численные методы в задачах дифракции, Изд-во МГУ, 1987. 208 с.
[5] J. Elschner, G. Hu. Scattering of plane elastic waves by three-dimensional diffraction gratings, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, Vol. 22, No. 04, 2012 DOI:10.1142/s0218202511500199
[6] C.H.Wilcox, Scattering Theory for Diffraction Gratings, Springer, 1984
[7] R. Frank, On the scattering theory of the Laplacian with a periodic boundary condition. I. Existence of wave operators. Documenta Mathematica (2003), 8, p. 547–565
[8] R. Frank, R. Shterenberg, On the scattering theory of the Laplacian with a periodic boundary condition. II. Additional channels of scattering. Documenta Mathematica (2004), 9, p. 57–77
[9] И. В. Камоцкий, С. А. Назаров, Аномалии Вуда и поверхностные волны в задаче рассеяния на периодической границе. I, Матем. сб., 190:1 (1999), с. 109–138
[10] И. В. Камоцкий, С. А. Назаров, “Аномалии Вуда и поверхностные волны в задаче рассеяния на периодической границе. II, Матем. сб., 190:2 (1999), с. 43–70
[11] Grikurov, V.E., Heikkola, E., Neittaanmäki, P., Plamenevskii, B.A. On Computation of Scattering Matrices and on Surface Waves for Diffraction Gratings. Numerische Mathematik (2003), 94(2), p. 269-288
[12] Myagkov, D.V., Grikurov, V.É., Nesterov, S.I., Portnoǐ, E.L. Two-fold mechanism of the interaction of incident light with a phase diffraction grating. Technical Physics Letters (2006), 32(12), с. 1071-1073
[13] Myagkov, D.V., Grikurov, V.E., Nesterov, S.I., Portnoi, E.L. Periodical structures with antireflective and diffraction properties, Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering, 2007.
[14] Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, О. В. Сарафанов, “Метод приближенного вычисления волноводных матриц рассеяния”, УМН, 75:3(453) (2020), с. 123–182
[15] Baskin L., Neittaanmaki P., Plamenevskii B., Sarafanov O.V., Resonant tunneling (Subtitle: Quantum waveguides of variable cross-section, Asymptotics, Numerics, and Applications), 2015, 275 pages, Springer International Publishing, Switzerland , Monograph, ISBN: 978-3-319-15104-5, DOI: 10.1007/978-3-319-15105-2; Second ed. 2021, 329 pages, ISBN 978-3-030-66456-5, DOI: 10.1007/978-3-030-66456-5

Предлагаемые методы и подходы, общий план работы на весь срок выполнения проекта и ожидаемые результаты:
Поясним предлагаемый подход на простейшем примере двумерной отражательной дифракционной решетки («полуплоскость» с гладкой периодической границей). Рассеяние волн в решетке описывается волновым уравнением с граничным условием Дирихле или Неймана. Для того чтобы описать все плоские волны в решетке, естественно рассмотреть соответствующую стационарную задачу (краевую задачу для уравнения Гельмгольца) в «полуполосе», ширина которой равна наименьшему периоду решетки. На боковых сторонах ставится условие квазипериодичности, то есть при сдвиге «полуполосы» на период вдоль поверхности решетки решение задачи умножается на постоянный фазовый множитель, не зависящий от выбора «полуполосы». Каждой волне в «полуполосе» отвечает волна в решетке. Кроме того, каждая ловушечная мода задачи в «полуполосе», то есть решение однородной задачи, интегрируемое с квадратом, порождает в решетке поверхностную волну. Таким образом, кратность непрерывного спектра в решетке меняется на каждом пороге и на каждом собственном числе задачи в «полуполосе». Зная базис собственных функций непрерывного спектра и базис в каждом собственном подпространстве задачи в «полуполосе», можно построить базис собственных функций непрерывного спектра в решетке. Спектральное разложение в решетке выводится из спектрального разложения в «полуполосе».

Следующий этап – вычисление волновых операторов в решетке (возмущенным оператором считаем оператор задачи на решетке с периодической границей, а невозмущенным – оператор задачи в полуплоскости), доказательство их полноты, построение оператора и матрицы рассеяния. В отсутствие поверхностных волн волновые операторы полны, абсолютно непрерывные части возмущенного и невозмущенного операторов унитарно эквивалентны. При наличии поверхностных волн невозмущенный оператор требует доопределения, для того чтобы волновые операторы оказались полными.

Мы не планируем использовать традиционные методы теории возмущений для изучения спектра и, в частности, для доказательства существования собственных функций непрерывного спектра возмущенного оператора. Вместо этого мы независимо установим спектральные свойства возмущенного и невозмущенного операторов, развивая подход, предложенный в книге Назаров С.А., Пламеневский Б.А., Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.:Наука, 1991, для волноводов с цилиндрическими концами. При таком подходе матрица рассеяния возникает в самом начале, одновременно с определением собственных функций непрерывного спектра. После построения волновых операторов и оператора рассеяния выясняется, что матрица, изображающая оператор рассеяния в спектральном представлении, совпадает с определенной ранее матрицей рассеяния. Этот подход позволяет единообразно рассматривать решетки разных типов, поскольку использует лишь эллиптичность оператора стационарной краевой задачи в «полуполосе»; справедливость гипотезы Релея в решетке не требуется.

Матрица рассеяния для решетки выражается через матрицу рассеяния в «полуполосе». Предполагается исследовать аналитические свойства матрицы рассеяния в решетке, в частности, изучить ее поведение вблизи порогов обоих типов, порожденных как порогами, так и ловушечными модами задачи в «полуполосе». Затем мы намерены предложить методику численного исследования процессов рассеяния на дифракционной решетке. Предполагается свести такое исследование к вычислению матрицы рассеяния в «полуполосе» и поиску в ней ловушечных мод.

Приближением для строки матрицы рассеяния в «полуполосе» служит минимизатор некоторого квадратичного функционала. Для построения этого функционала используются модельные решения вспомогательной задачи в ограниченной области, полученной из «полуполосы» отрезанием от нее «цилиндрического конца» на достаточно большом расстоянии R. Минимизатор функционала стремится к строке матрицы рассеяния с экспоненциальной скоростью при стремлении R к бесконечности.

Для поиска ловушечных мод, вводится устойчивый базис волн, включающий в себя в том числе и экспоненциально растущие волны. Устойчивость означает, что размерность пространства волн не меняется при переходе через порог. Связанная с этим базисом «расширенная» матрица рассеяния аналитически зависит от спектрального параметра вблизи порога и, в частности, не меняет размер при переходе через него. Метод вычисления «обычной» матрицы рассеяния допускает обобщение на случай расширенной матрицы рассеяния. Ловушечная мода в «полуполосе» (и одновременно поверхностная волна в решетке) существует, если среди собственных чисел расширенной матрицы рассеяния имеются некоторые конкретные значения, зависящие от спектрального параметра. Таким образом, вычисляя расширенную матрицу рассеяния и ее собственные числа, можно выяснить, есть ли на данном отрезке непрерывного спектра поверхностные волны. Кроме того, обычная (не расширенная) матрица рассеяния явно выражается через расширенную матрицу рассеяния. Используя эту связь и аналитичность расширенной матрицы рассеяния, мы планируем изучить поведение обычной матрицы рассеяния вблизи порогов. Наконец, находя приближенно расширенную матрицу рассеяния и используя связь между нею и обычной матрицей рассеяния, мы можем вычислить обычную матрицу рассеяния в малой окрестности порога, где ее непосредственное вычисление затруднено.

Описанную выше схему планируется реализовать для волнового уравнения на первом году выполнения проекта.

На втором году мы планируем распространить полученные результаты на решетки, описываемые системой Максвелла. Матрицы диэлектрической и магнитной проницаемостей предполагаются постоянными, но не обязательно диагональными матрицами, то есть задача не сводится к исследованию уравнения Гельмгольца. Система Максвелла является переопределенной. Она расширяется до эллиптической системы, после чего к ней применимы методы, развитые для эллиптических задач. Нужные сведения для системы Максвелла извлекаются из аналогичных сведений для эллиптического расширения. В этом же году планируется рассмотреть решетки, описываемые уравнением акустики с переменными коэффициентами, периодическими вдоль поверхности решетки и экспоненциально стабилизирующимися к постоянным с удалением от периодической границы.

Общий план работ по проекту

На первом году планируется
- построить математическую теорию рассеяния для дифракционных решеток, описываемых уравнением Шредингера и волновым уравнением
- обосновать метод численного исследования процессов рассеяния на таких дифракционных решетках

На втором году планируется
- построить математическую теорию рассеяния на решетках, описываемых системой Максвелла с постоянными коэффициентами
- построить математическую теорию рассеяния на решетках, описываемых уравнением акустики с переменными коэффициентами, периодическими вдоль границы и экспоненциально затухающими при удалении от нее
- разработать методику численного исследования рассеяния на электромагнитных решетках с постоянными коэффициентами и на акустических решетках с переменными коэффициентами

Имеющийся у научного коллектива научный задел по проекту, наличие опыта совместной реализации проектов (указываются полученные ранее результаты, разработанные программы и методы):
Метод поиска поверхностных волн в дифракционной решетке был сформулирован в работе [1] без должного обоснования. Дело сводится к вычислению "расширенной" матрицы рассеяния в некотором волноводе. Для двумерного квантового волновода с одним цилиндрическим выходом в бесконечность полное обоснование метода вычисления матрицы рассеяния дано в работе [2]. На случай квантового волновода любой размерности и с любым числом выходов метод распространен в книге [3]. Метод вычисления расширенной матрицы рассеяния в квантовом волноводе и вычисления обычной матрицы рассеяния вблизи порогов предложен и обоснован в [4]. На электромагнитные волноводы метод распространен в [5]. Обзор возможностей метода дан в [6], там же метод распространен на упругие волноводы. Примеры использования метода и анализ его эффективности даны в [3, 7-9].
Математическая теория рассеяния для квантовых и акустических волноводов разработана авторами проекта в последние годы. Полученные результаты анонсированы в заметке [10], подробная статья направлена в журнал.
[1] Grikurov, V.E., Heikkola, E., Neittaanmäki, P., Plamenevskii, B.A. On Computation of Scattering Matrices and on Surface Waves for Diffraction Gratings. Numerische Mathematik (2003), 94(2), с. 269-288
[2] Б. А. Пламеневский, О. В. Сарафанов, “О методе вычисления матриц рассеяния для волноводов”, Алгебра и анализ, 23:1 (2011), 200–231. Eng. transl.: B. A. Plamenevskiǐ, O. V. Sarafanov, “On a method for computing waveguide scattering matrices”, St. Petersburg Math. J., 23:1 (2012), 139–160
[3] Baskin L., Neittaanmaki P., Plamenevskii B., Sarafanov O.V., Resonant tunneling (Subtitle: Quantum waveguides of variable cross-section, Asymptotics, Numerics, and Applications), 2015, 275 pages, Springer International Publishing, Switzerland , Monograph, ISBN: 978-3-319-15104-5, DOI: 10.1007/978-3-319-15105-2
[4] Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, О. В. Сарафанов, “Метод вычисления волноводной матрицы рассеяния в окрестности порогов”, Алгебра и анализ, 26:1 (2014), 128–164; Eng. transl.: B. A. Plamenevskii, A. S. Poretckii, O. V. Sarafanov, “Method for computing waveguide scattering matrices in vicinity of thresholds”, St. Petersburg Math. J., 26:1 (2015), 91–116
[5] Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, О. В. Сарафанов, “О вычислении волноводной матрицы рассеяния для системы Максвелла”, Функц. анализ и его прил., 49:1 (2015), 93–96; Eng. transl.: B. A. Plamenevskii, A. S. Poretskii, O. V. Sarafanov, “On Computation of Waveguide Scattering Matrices for the Maxwell System”, Funct. Anal. Appl., 49:1 (2015), 77–80
[6] Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, О. В. Сарафанов, “Метод приближенного вычисления волноводных матриц рассеяния”, УМН, 75:3(453) (2020), с. 123–182
[7] Л. М. Баскин, M. Кабардов, П. Нейттаанмяки, Б. А. Пламеневский, О. В. Сарафанов, “Асимптотика и численное исследование резонансного туннелирования в двумерных квантовых волноводах переменного сечения”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 53:11 (2013), 1835–1855; Eng. transl.: L. M. Baskin, M. Kabardov, P. Neittaanmäki, B. A. Plamenevskii, O. V. Sarafanov, “Asymptotic and numerical study of resonant tunneling in two-dimensional quantum waveguides of variable cross section”, Comput. Math. Math. Phys., 53:11 (2013), 1664–1683
[8] Baskin, L., Kabardov, M., Neittaanmäki, P., Sarafanov, O., Asymptotic and numerical study of electron flow spin polarization in 2D waveguides of variable cross-section in the presence of magnetic field. Mathematical Methods in the Applied Sciences (2014), 37(7), с. 1072-1092
[9] Kabardov, M.M., Plamenevskii, B.A., Sharkova, N.M., Computation of waveguide scattering matrix near thresholds. Applicable Analysis (2017), 96(8), с. 1295-1302
[10] Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, О. В. Сарафанов, Математическая теория рассеяния в квантовых волноводах. Доклады Академии наук (2019), Т. 488. № 2