Исследование периодических и квазипериодических операторов – одно из наиболее актуальных направлений современной математической физики. Это направление крайне интересно для приложений, особенно в связи с применением в современных технологиях наноматериалов, композитных материалов и фотонных кристаллов с периодической структурой. Многие физические процессы в таких материалах описываются дифференциальными и разностными операторами с периодическими или квазипериодическими коэффициентами.
Наши усилия будут направлены на изучение (I) задач теории усреднения (гомогенизации), (II) спектральных свойств периодических операторов, (III) спектральных свойств разностных операторов с квазипериодическими коэффициентами. Остановимся подробнее на каждом из этих направлений.
I. Теория усреднения изучает свойства решений дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. В операторных терминах речь идет о поведении функций: резольвенты, операторной экспоненты, операторного косинуса – от эллиптического оператора с быстро осциллирующими (периодическими либо локально периодическими) коэффициентами. В пределе малого периода функция от такого оператора сходится к соответствующей функции от эффективного оператора. Нашей целью является получение «операторных оценок» погрешности для целого ряда задач гомогенизации. Мы будем изучать усреднение нестационарных уравнений типа Шрёдингера и гиперболического типа с периодическими коэффициентами в R^d, усреднение эллиптических операторов высокого порядка. Впервые будут получены операторные оценки при усреднении нелокального оператора Шрёдингера. Еще одним направлением будет получение операторных оценок погрешности для операторов с локально периодическими коэффициентами (зависящими от «быстрой» и «медленной» переменной).
II. В теории периодического оператора Шрёдингера часто возникает необходимость в описании спектра оператора Лапласа на ячейке (на параллелепипеде с периодическими краевыми условиями). Мы докажем ограниченность длин лакун в спектре оператора Лапласа на ячейке для рациональных решеток в трехмерном случае.
В физике твердого тела поведение электрона в кристалле принято описывать в терминах эффективной массы. Это приближение подразумевает невырожденность зонных функций на краях спектральных зон. Будет изучаться невырожденность краев спектральных зон для разностного периодического оператора Шрёдингера на решетке.
Еще одним направлением исследований станет гипотеза Пойа о равномерной оценке считающей функции собственных чисел оператора Лапласа через главный член вейлевской асимптотики.
III. Исследование (обобщенных) собственных функций квазипериодических операторов – известная сложная задача, решение которой зависит, например, от арифметических свойств частоты и от величины константы связи. Наша цель – получить конструктивное описание (обобщенных) собственных функций для нетривиальных модельных операторов. Мы планируем атаковать задачу с помощью перенормировочного подхода, предложенного Буслаевым и Федотовым.
Еще одним направлением будет исследование влияния комплексных особенностей потенциала на асимптотики длин лакун в случае малой константы связи. Мы сконцентрируемся на случае, когда потенциал является ограничением на целочисленную решетку мероморфной функции, имеющей два полюса на периоде и стремящейся к нулю при удалении от вещественной оси (модель Ганешана–Пиксли–Дас Сарма).
Решение задач, поставленных в проекте, будет важно для развития самой теории периодических и квазипериодических операторов, а полученные результаты найдут множество приложений.
