РЕФЕРАТ
В проекте были рассмотрены задачи динамики, управления и наблюдения, связанные с нелинейными импульсными системами двух основных видов - с мгновенными импульсами (скачками), а также с импульсами конечной длительности и различной формы. Для систем с мгновенными импульсами получены условия существования и локальной устойчивости периодических решений при наличии нескольких запаздываний в обратных связях системы, Кроме того, для таких систем рассматривалась задача синтеза наблюдателя состояний, в том числе при наличии аддитивных гармонических возмущений. Были получены условия локальной устойчивости режима наблюдения.
Для систем с импульсами конечной длительности рассматривались задачи глобальной и локальной устойчивости нулевого состояния равновесия. Для их исследования был использован метод усреднения, который позволяет учитывать лишь площадь импульса и длину тактового интервала.
Условия устойчивости были получены в виде линейных матричных неравенств, которые могут быть легко исследованы с помощью стандартных пакетов программ. Было установлено, что за счет выбора подходящей формы и скважности импульса длина тактового интервала может быть существенно увеличена, что особенно важно для случая, когда импульсный сигнал передается по каналу связи ограниченной пропускной способности.

ВВЕДЕНИЕ
В проекте предполагалось рассмотреть достаточно широкий класс задач, относящихся к теории импульсных систем. Во-первых, изучить системы с мгновенными импульсами (со скачками). У этих систем значения некоторых координат меняются скачкообразно в дискретные моменты времени. Времена возникновения импульсов и величины скачков зависят от фазовых координат, т. е. в системе присутствуют частотная и амплитудная модуляции. Во -вторых, в проекте рассмотриваются модели систем с управлением импульсами конечной длительности (преимущественно, прямоугольной формы), в которых амплитуда, ширина и частота импульсов могут модулироваться значениями некоторых координат системы. Для систем первого класса рассматриваются вопросы существования периодических решений, а также более сложных колебаний при наличии запаздываний в каналах обратной связи, изучается устойчивость периодических режимов, рассматривается возможность стабилизации периодических режимов желаемой частоты внешним сигналом. Для систем второго класса изучается вопрос построения наблюдателя состояний в случае неопределенности в коэффициентах. С по мощью таких наблюдателей могут быть синтезированы импульсные стабилизирующие управления и получена оценка допустимой частоты импульсации. В качестве области приложения предполагаемых результатов рассматриваются науки о жизни, в частности медицинские и популяционные модели.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ ОТЧЕТА
В ходе выполнения проекта были решены следующие задачи:
1. Была рассмотрена модель, представляющая собой импульсный аналог биологического осциллятора Гудвина (импульсный осциллятор Гудвина), в которой традиционная нелинейность заменена импульсным модулятором, генерирующим мгновенные импульсы (скачки), модулированные по амплитуде и частоте. Для такой системы были получен математически строгий критерий экспоненциальной орбитальной устойчивости периодических режимов.
2. Был рассмотрен импульсный осциллятор Гудвина с несколькими запаздываниями в цепях регулирования. Были получены условия локальной устойчивости периодических решений с различным числом импульсов на периоде.
3. Была изучена задача наблюдения состояния для импульсного осциллятора Гудвина, находящегося под действием внешнего гармонического сигнала. Для устойчивого режима наблюдения (синхронного режима) получены оценки его области притяжения. Для того, чтобы избежать срыва режима наблюдения, в импульсной части системы были введены дополнительные обратные связи, даны рекомендации по выбору их коэффициентов усиления.
4. Получены условия глобальной стабилизации нелинейных систем с помощью обратной связи, использующей амплитудно-модулированные импульсные сигналы различной формы: c интерполятором нулевого порядка, прямоугольные конечной длительности, пилообразные. Непрерывная часть системы представлена в виде системы типа Лурье с секторальными ограничениями на нелинейность. Показано, что за счет выбора формы и параметров импульса допустимая частота импульсации может быть существенно снижена. Это свойство играет важную роль при проектировании систем управления, в которых управляющая информация передается по каналам связи ограниченной пропускной способности.
5. Получены условия локальной стабилизации нелинейной системы с помощью импульсной обратной связи, использующей широтно-импульсную модуляцию. Такой вид модуляции допускает простую техническую реализацию и устойчив к внешним возмущениям.
6. Рассмотрен математический маятник, находящийся под воздействием нерегулярного импульсного возмущения ограниченной амплитуды. Исследована задача управления, при которой энергия маятника должна находиться в окрестности заданного значения. Управление реализовано на основе метода скоростного градиента. Получены оценки допустимого начального и предельного множеств в пространстве состояний.
7. Изучался класс нелинейных многомерных систем, описываемых уравнениями, коэффициенты которых нелинейно зависят от фазовых координат. Рассматривалась задача глобальной стабилизации такой системы с помощью наблюдателя состояний и импульсной обратной связи.

Для исследования импульсного осциллятора с мгновенными импульсами использовались методы построения вспомогательного дискретное преобразование от импульса к импульсу (преобразования Пуанкаре), изучались его свойства. Для систем с запаздыванием и для системы объект-наблюдатель построение преобразования Пуанкаре является нетривиальной задачей, решение которой было предложено авторами проекта в ряде публикаций.
Для исследования устойчивости систем с импульсами конечной длительности использовался неасимптотический метод усреднения, при котором импульсный сигнал на выходе модулятора приближается локально усредненным амплитудно-модулированным сигналом. Затем сигнал на выходе модулятора представляется в виде суммы двух вспомогательных сигналов - усредненного сигнала и производной от интегральной ошибки усреднения. К преобразованной таким образом системе могут быть применены методы классической теории абсолютной устойчивости - выписаны квадратичные и интегрально-квадратичные связи, построена функция Ляпунова. Данный вариант метода усреднения принадлежит авторам проекта и представляет собой развитие их предыдущих работ.
Для построения управления системами маятникового типа использовался вариант метода скоростного градиента. Идея этого метода была первоначально предложена А.Л. Фрадковым для управления системами с адаптацией, но в дальнейшем оказалась полезной для различных классов систем управления, в том числе импульсных.
Результаты проекта были опубликованы в рецензируемых международных журналах и докладывались на международных конференциях высокого уровня, что подтверждает их соответствие мировому научному уровню.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате выполнения проекта было получена решения нескольких важных прикладных задач. Во-первых, выполнено исследование импульсного аналога осциллятора Гудвина - известной в математической биологии модели, которая используется для описания колебаний, возникающих в живом организме, в частности, при исследовании гормональной регуляции. Была рассмотрена динамика гормональной системы с учетом запаздываний, а также задача оценивания концентрации гормонов, которые секретируются в недоступных для измерения отделах головного мозга. Изучение импульсных моделей гормональной регуляции позволяет лучше понять взаимодействие нервной и эндокринной систем в человеческом организме, что приближает нас к созданию математически обоснованных методов гормональной терапии.
Во-вторых, В данном проекте с помощью методов абсолютной устойчивости рассматривалась задача импульсной стабилизации систем с различными видами импульсной модуляции - амплитудно-импульсной
с непериодической и периодической дискретизацией, широтно-импульсной, учитывались форма и скважность импульсов. На практически значимых примерах было показано, что методы абсолютной устойчивости в сочетании с методом усреднения позволяют в некоторых случаях улучшить условия устойчивости, полученные ранее другими авторами с помощью техники функционалов Ляпунова-Красовского, уменьшив требуемую частоту дискретизации. Снижение частоты дискретизации стабилизирующего импульсного сигнала в последние годы стало актуальной задачей в связи с необходимостью учета коммуникационных ограничений в каналах управления.