Научная проблема, на решение которой направлен проект:

В настоящее время моделирование социальных и экономических отношений все чаще происходит с использованием сетевых структур. Взаимодействие между вовлеченными в такие отношения сторонами (людьми, группами людей или странами) описывается связями, оказывающими существенное влияние как на характер взаимодействия, так и на выигрыш каждой стороны. Передача информации также осуществляется посредством сетевой структуры. По этой причине все более популярной становится область моделирования социальных сетей, которая включает как идентификацию и описание сетевой структуры, так и описание поведения участников (агентов) социальной сети с целью предсказания их будущих действий и возможного влияния на других участников, например, на их мнения. В данной области при моделировании применяются различные подходы, в том числе, традиционные подходы прикладной физики, математики и социологии. Под мнением агента традиционно понимается его представление о некотором событии, явлении или информации, выраженное в числовом эквиваленте. При рассмотрении социальной сети в динамике, вполне естественно предполагать, что мнения агентов меняются со временем.

Первая проблема, которая возникает в этой области, – это адекватное представление структуры сети, которая должна учитывать в том числе, динамику изменения социального графа связей. Здесь могут быть использованы различные подходы, в том числе подходы из теории случайных графов. Возможны также исследования эмпирических данных с целью описания реальных социальных сетей или их подсетей (сообществ), таких как Facebook, «ВКонтакте» и др. В проекте предполагается использовать подход моделирования социальных сетей с использованием теории сетевых игр. В качестве аппарата для моделирования подходит теория формирования стабильных или устойчивых сетевых структур в динамике. Этот подход подразумевает, что в каждый момент времени выбирается два случайных агента в сети, которые могут сформировать взаимную связь, если это является взаимовыгодным, принимая во внимание их выигрыши (или затраты). Проблема исследования структуры стабильных сетей является актуальной, и ее решение также зависит от информации, которой обладают выбранные два агента. Информация может быть как полной, так и неполной, причем вид информационной структуры вносит существенные коррективы в структуры стабильных сетей, формируемых в динамике. Кроме того, очень часто агенты не информированы о том, как связаны другие агенты.

Вторая проблема, которая возникает в данной области, состоит в изучении моделей динамики мнений без внешнего воздействия, т. е., когда на мнения участников сети воздействуют только участники этой же сети, но не внешние силы. В проекте предлагается изучить ряд подходов к определению динамики мнений, в том числе, в случае, когда агенты при формировании своего мнения учитывают как мнения всех участников социальной сети, так и мнения только тех агентов, с которыми они связаны напрямую, т. е. своих непосредственных соседей. В этом случае необходимо определить, может ли быть достигнут консенсус при заданной сетевой структуре и динамике взаимодействия агентов (здесь под консенсусом понимается состояние социальной сети, при котором все агенты имеют одинаковое мнение и не меняют его впоследствии). Достижимость консенсуса зависит от структуры социальной сети, правилах обмена мнениями среди агентов, а также способах учета мнений других агентов как и своего собственного для формирования мнения в следующем периоде. Интересна также проблема существования консенсуса в подгруппах агентов в случае, когда невозможно достичь консенсус во всей группе агентов, и то, как сетевая структура влияет на формирование таких подгрупп.

Третья проблема, на изучение которой направлен проект, заключается в анализе внешнего управляемого воздействия на социальную сеть, целью которого является изменение мнения участников социальной сети так, чтобы приблизить это мнение к некоторому желаемому. В такой постановке проблема заключается в нахождении «оптимального» длительного воздействия некоторого участника (активного агента, игрока, или центра влияния) на мнения остальных участников (пассивных агентов) сети, когда цель игрока состоит в минимизации затрат, связанных, с одной стороны, с близостью мнений пассивных агентов к заданному и, с другой стороны, в учете прямых издержек, связанных с влиянием. В случае наличия нескольких игроков или центров влияния уже возникает теоретико-игровая ситуация управляемого влияния на мнение агентов в социальной сети. Здесь каждый игрок может иметь свое собственное целевое мнение, которое он желает распространить в сети среди ее участников. В случае конкуренции между игроками при распространении мнений предлагается определить равновесное поведение – равновесие по Нэшу и изучить соответствующую динамику мнений пассивных агентов сети. В случае, когда игроки могут договариваться между собой не только о распределение общих затрат, но и о выборе единого мнения, которое они хотят распространить в сети среди агентов, ставится переговорная задача оптимального управления. Здесь в качестве решения можно рассматривать паретооптимальное решение и, в частности, арбитражную схему Нэшу. Актуальной является проблема достижения такого соглашения между игроками, при котором, учитывая целевые мнения всех игроков, предлагался бы способ выбора единого приемлемого всем игрокам, возможно нового, целевого мнения. Этой задаче также будет посвящен настоящий проект.

В проекте предполагается решать также комплексные задачи, направленные на решение первой и третьей проблем одновременно. Предлагается рассматривать двухэтапные модели, когда в течение первой фазы формируется стабильный социальный граф связей в соответствии с предложенным механизмом взаимодействия и неполной информацией у игроков, а на втором – решается динамическая теоретико-игровая задача управления мнением агентов в социальной сети с заданным количеством игроков. Также после формирования сети допускается однократное структурное изменение сети под воздействием так называемого «шока» – некоторого события, при наступлении которого пассивные агенты меняют свое доверие как друг другу, так и к игрокам.



Актуальность проблемы, научная значимость решения проблемы:

Проект предполагает теоретико-игровой анализ поведения игроков в социальной сети. При наличии возможности у игроков воздействовать на мнения участников сети (управлять ими) в течение определенного периода времени с целью формирования у участников заданного мнения, довольно естественно задаться следующими вопросами: В какие периоды игроки должны оказывать влияние на игроков и в какой степени? Как игрокам реагировать на управления других игроков в сети? Отвечая на эти вопросы, мы, с одной стороны, сможем выяснить структуру оптимального в некотором смысле поведения игроков и, с другой стороны, проанализировать эффект такого поведения на мнения участников. Кроме того, это даст возможность выяснить, насколько близко формируемые мнения участников к заданным мнениям игроков, какая доля участников социальной сети разделяет мнение определенного игрока, и как распределение долей изменяется во времени. В целом, вышеописанный анализ, который планируется провести в рамках данного проекта, позволит лучше понять процессы формирования мнений участников социальной сети и их динамику, что, на наш взгляд, является довольно важной и значимой проблемой в настоящее время, когда социальные сети занимают немаловажное место в жизни человека.

В задачах, направленных на исследование динамики мнений и информационного влияния, управление имеет довольно существенное практическое значение. Например, при разработке стратегии маркетинговых кампаний фирме стоит ориентироваться на свою целевую аудиторию, понимать и правильно оценивать долю (возможно, меняющуюся) потребителей, заинтересованных предлагаемым ей товаром или услугой. По этой причине выстраивание правильной стратегии, адаптируемой к доли таких потребителей, позволит более эффективно провести маркетинговую кампанию и правильно распределить рекламный бюджет в отдельные периоды кампании. Подобная ситуация возможна и при наличии нескольких фирм, конкурирующих за целевую аудиторию предлагаемого товара или услуги. В этом случае каждой фирме при выработке своей стратегии необходимо также принимать во внимание поведение ее конкурентов. Применение изучаемых моделей возможно не только при анализе рыночных процессов. Оно возможно и в социальных системах, где мнение участника исследуемой группы о некотором вопросе или инициативе имеет важное значение в сути изучаемого процесса, например, при оценке общественного мнения в отношении предлагаемого городского проекта и его динамики в ходе обсуждения и общественных слушаний. Также вполне естественным выглядит применение изучаемых в проекте моделей в задачах борьбы политических или общественных организаций за мнение определенной группы общества относительно предлагаемых ими программ. Вышеописанные примеры реальных практических ситуаций, несомненно, подчеркивают актуальность и значимость тематики предлагаемого проекта.



Конкретная задача (задачи) в рамках проблемы, на решение которой направлен проект, ее масштаб и комплексность:

В определенных теоретико-игровых моделях управления динамикой мнений, предложенных нами ранее, было получено равновесное поведение игроков в классической модели динамики мнений ДеГроота. Поскольку в модели ДеГроота социальный граф связей, отражающий степень влияния одних участников на других, задан и не может меняться с течением времени, то такая модель не предполагает более «широкие» возможности участников в части изменения этого графа. В то же время вполне естественно считать, что на длительном временном промежутке степени влияния одних участников на других (или степени доверия одних участников другим) могут меняться ввиду ряда структурных изменений в сети. В проекте рассматривается функция издержек игрока, которая является комбинацией усредненной близости мнений участников к его желаемому мнению и прямых затрат, связанных с воздействием на мнения участников сети.

Вполне реальна ситуация, когда формирование сети происходит с неполной информацией и ассиметричными игроками, в предположении, что множество игроков разбито на непересекающиеся подгруппы, и информация о принадлежности игрока к определенной подгруппе не является общедоступной всем игрокам. Допустимы две особенности в различии игроков. Во-первых, функция выигрыша игрока в сети может быть определена по-разному для игроков в зависимости от подгруппы, которой он принадлежит. Во-вторых, у игроков есть неполная информация о характеристиках его оппонентов, которые влияют на функции выигрыша.

Приведем задачи, которые мы собираемся решить в рамках данного проекта.

1. Задача формирования графа связей между участниками. Как уже было отмечено выше, модель ДеГроота предполагает наличие заданного графа. В то же время, различные начальные графы (при прочих равных других характеристиках) могут существенно влиять на поведение игроков. Здесь мы собираемая ответить на вопрос: Каким должен быть начальный граф связей, чтобы в рамках игровой модели динамики мнений ДеГроота у игроков не было желания его изменять? Далее мы выясним, каким образом игроки должны формировать связи с учетом вышеописанной асимметрии в их информированности об оппонентах.

2. В рамках изучения проблемы формирования связей будет решена задача нахождения устойчивых сетей, когда подгруппы, на которые разбиты игроки, могут пересекаться. Модель с пересекающимися подгруппами более адекватно описывает структуру агентов в социальной сети, ведь ее участники часто принадлежат нескольким сообществам одновременно. Здесь мы определим полезность связи между игроками как функцию, которая зависит от доли общих групп, которым принадлежат эти игроки. Такая функция полезности довольно интуитивна, поскольку отражает степень близости между игроком и его партнерами в сети. Нами будут найдены стабильные сети при пересекающихся подгруппах.

3. Задача формирования графа связей между участниками с последующим поиском рационального поведения игроков. Данная задача является естественным продолжением предыдущей. После того, как приемлемая стабильная сеть создана, мы хотим определить рациональное поведение игроков. Ранее мы уже решили задачу поиска равновесия по Нэшу для игры динамики мнений на основе модели ДеГроота при фиксированном графе. Этот задел мы будем использовать при решении игры с двумя фазами равновесного поведения игроков: формирование графа с последующим выбором уровней влияния игроков.

4. Анализ влияния склонности участников к приверженности своего собственного мнения. При решении этой задачи делается распространение игры динамики мнений на основе модели ДеГроота к игре на основе модели Фридкина–Джонсена. Здесь мы исследуем равновесие по Нэшу и изучим, как приверженность участников к своим начальным мнениям влияет на равновесное поведение и выигрыши игроков.

5. Задача переговоров в игре динамики мнений. При решении данной задачи мы будем предполагать, что игроки могут совместно принимать решение о выборе стратегий для достижения более низких затрат. При таком предположении равновесие по Нэшу уже не будет являться некоторым «эталонным» поведением, но, в то же время, такая переговорная схема, как арбитражное решение, в действительности, может улучшить затраты игроков, при этом сохранив индивидуальную рациональность. Поскольку арбитражное решение является паретооптимальным, то в игре динамики мнений на основе модели Фридкина–Джонсена мы охарактеризуем множество паретооптимальных решений (фронт Парето) и выделим из него единственное арбитражное решение. В дополнении мы исследуем поведение этого решения при изменении приверженности участников к своим начальным мнениям.

6. Моделирование поведения игроков, полученных при решении предыдущих задач на реальных социальных графов связи. При решении этой задачи будет, в частности, проведен анализ сообществ социальной сети «ВКонтакте». Для построения социальных графов связей в анализируемых сообществах будут задействованы программные средства (Python, MATLAB, Mathematica). Кроме того, программные средства также будут использоваться для численного нахождения решения (при необходимости) – равновесия по Нэшу, паретооптимальных решений и арбитражного решения. Это будет реализовано в среде MATLAB и Mathematica.



Научная новизна поставленной задачи, обоснование достижимости решения
поставленной задачи и возможности получения запланированных результатов:

У научного коллектива имеется хороший задел по тематике проекта, в том числе пять опубликованных работ в области математического моделирования динамики мнений в социальных сетях, что демонстрирует новизну этого научного направления для коллектива, специализирующегося в теории динамических игр. Научная проблема, на решение которой направлен проект, является естественным развитием теории управления мнениями участников социальных сетей при наличии одного и нескольких активных центров влияния. В рамках работы над проектом планируется получить теоретические и применимые на практике результаты по моделированию структур социальных сетей с использованием теории сетевых игр при условии асимметричной информации у агентов сети, когда они принимают решения о создании связей. Актуальность проблемы подчеркивает неполнота информации, в отличие довольно частого предположения наличия полной информации, являющимся слишком сильным требованием. У членов научного коллектива также имеются публикации в области моделирования процессов формирования сетевых структур, в том числе при некоторой асимметрии игроков, что способствует решению поставленных в проекте задач. В частности, в проекте ставится задача построения стабильной сети, после решения которой требуется найти решение задачи (возможно конфликтного) управления мнением агентов в этой сети с использованием заданной динамики мнений.

В проекте также планируется получить новые результаты, позволяющие описать оптимальное или равновесное воздействие на агентов сети с целью приведения их мнения к желаемому, минимизируя затраты на управления. При этом в качестве динамики изменения мнений будет выбрана модель Фридкина–Джонсена, теоретико-игровое расширение которой недостаточно изучено в литературе по сравнению с более классической моделью ДеГроота. Планируется использовать методы динамического программирования и оптимального управления, которые успешно применялись авторами проекта при решении сходных по структуре задач теории динамических игр.

Еще одной новой идеей проекта является часть, связанная с использованием методов переговоров для нахождения общего целевого мнения объединенных в одну группу участников, с последующим решением задачи управления мнением при возможности кооперации игроков (или другого типа согласованного выбора действий). Такая постановка является новой, поскольку традиционно при кооперации функционалы игроков складываются и совместно оптимизируются игроками. В текущем же проекте мы отходим от традиционного подхода и обращаемся к возможности проведения переговоров на первом этапе игры. После достижения согласия об общих целях будет решаться задача управления мнением в сети.



Современное состояние исследований по данной проблеме:

Одной из классических моделей достижения консенсуса в социальных сетях является модель ДеГроота (De Groot, 1974), в которой введено понятие «консенсуса» и исследована проблема его существования, когда матрица взаимного влияния агентов на мнения не меняется во времени. Формирование общественного мнения под влиянием различных социальных факторов описывается моделью Фридкина–Джонсена (Friedkin and Johnsen, 1990), которая является расширением модели ДеГроота. Как подчеркивают авторы, они описывают паттерн взаимодействия в больших и малых социальных сообществах. Эта модель была далее развита в (Friedkin et al., 2016). В динамике, предложенной в работе (Hegselmann and Krause, 2005) участники социальной сети обмениваются мнениями только с теми, кто входит в их «круг общения». В этом случае достижение консенсуса напрямую связано с количеством подгрупп, на которые делится вся группа агентов, а мнения меняются за счет «усреднения» мнения агентов из «круга общения». Достижимость консенсуса и ряд предельных свойств приводится в (Чеботарев и Агаев, 2013). Достижение консенсуса в группе с центрами влияния описано в (Bure et al., 2017), где предполагается разбиение множества всех агентов сети на две непересекающиеся подгруппы, которые подвержены влиянию разных центров. В работе находятся условия достижения консенсуса и консенсуса в подгруппах. Также стоит отметить модели динамики мнений без внешнего воздействия на сеть (Weisbuch et al., 2005; Sirbu et al., 2016). В статье (Краснощеков, 1998) также рассматривается модель ДеГроота динамики мнений, а также выделяются определенные типы поведений агентов сети такие, как митинг, переговоры, рабочий коллектив, парламент, для которых изучается проблема существования консенсуса и предельные мнения коллектива. Также в этой работе рассматривается пример, построенный на реальных данных голосования депутатов в парламенте СССР. Развитие данной модели предложено в статье (Kozitsin and Belolipetskii, 2019). В статье (Bolouki et al., 2017) матрица влияния агентов друг на друга меняется во времени, изучается вопрос манипулируемости мнениями агентов, если часть агентов объединяется в коалицию и преследует общую цель. Также при моделировании динамики мнений в сети используется математический аппарат эволюционной динамики и эволюционных игр (Smyrnakis et al., 2019; Zino et al., 2020) и игр среднего поля (Bauso et al., 2016).

Помимо моделей динамики мнений в социальных сетях, основанных на модели ДеГроота и ее модификаций, стоит отметить бурно развивающееся направление так называемых «пороговых» моделей динамики мнений, когда мнение агента предполагается бинарным (т.е. принимает значение 0 или 1) и меняется на противоположное, если среднее мнение соседей этого агента превышает пороговое (Granovetter, 1978; Schelling, 1978). В рамках данной модели были предложены модели, учитывающие конформизм и антиконформизм агентов (Grabisch and Li, 2020). Подробный обзор моделей динамики мнений содержится в (Grabisch and Rusinowska, 2020).

В вышеупомянутых статьях не рассматривается наличие внешних по отношению к сети игроков, которые могут воздействовать на агента/агентов сети с целью изменения их мнений. Модели информационного влияния и противоборства в социальных сетях предложены и изучены в следующих работах (Barabanov et al., 2010; Chkhartishvili et al., 2010; Gubanov et al., 2011; Parsegov et al., 2017; Бреер и др., 2016; Бурков и др., 2002). Модель управления мнениями в сетях с неизменяющейся сетевой структурой и динамикой, ориентируемой на среднее значение в коллективе, изучаются в работах (Mazalov et al., 2020). Модели управления мнениями с обратной связи, т. е. в зависимости от текущих мнений игроков, рассматриваются в (Sedakov and Zhen, 2019; Rogov and Sedakov, 2020; Dorofeeva, 2020). В этих работах в качестве решения игры динамики мнений ДеГроота предложено использовать равновесие по Нэшу и кооперативную ситуацию (при возможности кооперации центров влияния), которые были охарактеризованы с использованием принципа максимума Понтрягина, а также путем решения уравнений Гамильтона–Якоби–Беллмана. Метод Эйлера был применен для нахождения оптимального воздействия на агентов сети и равновесия в случае нескольких центров влияния в работах (Mazalov and Parilina, 2019; Mazalov and Parilina, 2020).

Имеются модели формирования сетей и изучения их свойств в случае неполной информации у агентов сети. (Jackson and Yariv, 2007) предлагают модель, в которой игроки не уверены в том, как связаны другие игроки между собой в сети, а полезность каждого игрока частично зависит от косвенных (непрямых) связей. (Gallo, 2012) предложил модель стратегического формирования сети, в которой игроки обладают разнородными знаниями о сети: «знающие» игроки знают все о сети, в то время как «невежественные» игроки менее осведомлены о структуре сети; в этой работе исследуются структуры стабильных сетей. (Song and van der Schaar, 2015) изучают динамический процесс формирования сети с бесконечным временем, когда игроки не знают величины издержек на формирование одной связи, пока не начинают участвовать в процессе формирования и обновлять информацию об издержках. Одновременная игра с неполной информацией моделирует процесс формирования сети в работе (Leung, 2015), где решения о формировании связи принимаются в зависимости от сетевой структуры и характеристик игроков. (De Martí and Zenou, 2015) рассматривают сетевую игру, в которой величина индивидуального вознаграждения при взаимодействии игроков известна игрокам лишь частично. В работе (Сунь и Парилина, 2020) предлагается стохастическая модель формирования сети при несимметричных игроках и неполной информации при выборе игроками стратегий. Модели формирования сетевой структуры в случае асимметричных игроков были представлены в (Sun and Parilina, 2019; Sun and Parilina, 2021), где найдены байесовские равновесия, проведен численный анализ результатов. Также модель формирования сети с использованием теории кооперативных игр с коммуникационной структурой предложена в (Khmelnitskaya et al., 2019). Двухшаговые динамические игры, в которых происходит формирование сети, а игроки получают выигрыши, зависимые от сетевой структуры, изучены в следующих работах (Petrosyan et al., 2021; Petrosyan et al., 2016; Petrosyan and Sedakov, 2016).



Предлагаемые методы и подходы, общий план работы на весь срок выполнения проекта:

При решении задач, связанных с поиском решения игры динамики мнений в модели ДеГроота (паретооптимального решения и арбитражного решения), а также при поиске решения игры динамики мнений в модели Фридкина–Джонсена (равновесия по Нэшу, паретооптимального решения и арбитражного решения), будут использованы методы математической теории игр и теории оптимального управления. В частности, будут использоваться принцип максимума Понтрягина и методы решения уравнений Гамильтона–Якоби–Беллмана и Эйлера, которые позволят охарактеризовать поведение игроков, оказывающих влияние на агентов сети, для двух классов стратегий – классов программных и позиционных (с обратной связью) стратегий.

При решении задач, связанных с поиском структуры графа связей между участниками социальной сети в рамках игры динамики мнений в моделях ДеГроота и Фридкина–Джонсена, будут использоваться методы и подходы, принятые в теории сетевых игры для поиска устойчивых или стабильных сетей. Элементы теории вероятностей будут применятся для описания элементов случайности, которые могут возникать при формировании графа связей или отражать происходящие в нем структурные изменения, а также в случае асимметричной информации у игроков. В этом специальном случае предполагается использование байесовского подхода к обновлению игроками информации о своих оппонентах в сети.

Кроме того, полученные на основе реальных графов сообществ социальной сети «ВКонтакте» социальные графы будут проанализированы с использованием методов теории сетевых игр и теории вероятностей при выполнении моделирования. Этот анализ необходим для правильной классификации типа социальной сети сообществ и последующей оценкой их характеристик. Для программной реализации планируется использоваться инструменты Python, MATLAB и Mathematica.
Приведем общий план работы в соответствии с поставленными нами задачами.


Первый год выполнения проекта (2022 г.)
В течение первого года выполнения проекта планируется исследовать следующие направления:

1. При асимметрии информации у игроков будут найдены предельные стабильные сетевые структуры в соответствии с принципом оптимизации функции полезности. Полученные стабильные сети будут сопоставлены со стабильными сетями, формируемыми в динамике при полной информации. Планируется также решить задачу формирования стабильных сетей, используя модифицированное правило обновления информации о сети в динамике, благодаря которому игроки имеют более эффективную способность к обучению при условии, что игроки знают точное количество участников в каждой подгруппе. Будет проведено сравнение двух правил обновления информации при прочих равных условиях.

2. Включение возможности формирования социального графа связей в рамках теоретико-игровой модели ДеГроота динамики мнений. На первом этапе планируется предложить способы формирования стабильной сети и изучить их влияние на поведение игроков в рассматриваемой теоретико-игровой модели. Далее на втором этапе предложить некооперативное индивидуально-рациональное решение изучаемой игры (равновесие по Нэшу), определяющее поведение игроков и выбираемые ими уровни влияния на участников социальной сети, в условиях возможного формирования графа связей.

3. Переход к теоретико-игровой модели Фридкина–Джонсена динамики мнений – расширению модели ДеГроота, теперь предполагая, что участники социальной сети обладают склонностью придерживаться своего изначального мнения. Такое естественное обобщение приводит к необходимости поиска некооперативного индивидуально-рационального решения (равновесия по Нэшу) для определения поведения игроков и выбираемых ими уровней влияния на участников социальной сети в новых условиях. После построения решения мы планируем изучить влияние параметров модели, отражающих степень приверженности игроков своим начальным мнениям, на равновесное поведение игроков, их выигрыши, и «усредненное» мнение общества. Есть основание полагать, что чем сильнее участники ориентированы на свое начальное мнение, тем слабее они подвержены влиянию со стороны игроков. Мы также проверим эту гипотезу.

В 2022 г. ожидается получить следующие результаты:

В описанных выше динамических теоретико-игровых ситуациях будет охарактеризовано равновесие по Нэшу и получены равновесные стратегии игроков. Это будет сделано для двух классов стратегий – программных, когда игроки принимают решение о степени воздействия на участников, принимая во внимание только момент времени, так и в позиционных, учитывая при этом и текущее состояние социальной сети – мнения участников в этот момент времени.

При решении задачи формирования стабильной сети в случае асимметрии информации у игроков об их оппонентах будут найдены стабильные сети, когда игроки могут разбиваться на пересекающиеся подгруппы.

В игре динамики мнений Фридкина–Джонсена будет исследовано влияние параметров модели, которые отражают степень приверженности игроков своим начальным мнениям, на найденное равновесие по Нэшу, выигрыши игроков в равновесии, а также на «усредненное» мнение общества. На основе полученных результатов будет сделан вывод о справедливости отмеченной выше гипотезы.

Кроме того, как было отмечено в п. 4.3, функция выигрыша игрока содержит две составляющие, которые отражают как затраты, связанные с отклонением усредненного мнения общества от заданного, так и затраты, связанные с прямым влиянием игрока. В этой связи будет проанализировано, как расстановка приоритетов игроком между этими составляющими влияет на равновесие в динамической игре.

Участниками проекта будет сделано два доклада на международных научных конференциях по теории игр и теории оптимального управления с высокой степенью отбора.

Планируется опубликовать две статьи в изданиях, индексируемых в наукометрических базах данных Web of Science Core Collection или Scopus.


Второй год выполнения проекта (2023 г.)
В течение второго года выполнения проекта планируется исследовать два направления:

1. Построение и анализ переговорных решений в рамках теоретико-игровой модели Фридкина–Джонсена динамики мнений, которые сохраняют индивидуальную рациональность и в то же время позволяют улучшить значение критерия, на который ориентируется игрок – его затраты. В качестве такого переговорного решения планируется применение арбитражной схемы. С использованием результатов, полученных в течение первого года работы над проектом, изучаемая управляемая модель Фридкина–Джонсена будет дополнена возможностью формирования стабильного графа связей с последующим определением поведения игроков, приводящего к арбитражному решению.

2. Рассмотрение предложенных в проекте теоретико-игровых моделей динамики мнений при анализе реальных социальных сетей на примере сообществ социальной сети «ВКонтакте». Здесь значительное внимание будет уделено программной реализации полученных теоретических результатов, начиная с численного поиска решений (равновесие по Нэшу, паретооптимальное решение, арбитражные решения), построения социальных графов связей на основе выбранных сообществ в сети «ВКонтакте» и заканчивая визуализацией полученных результатов посредством необходимых графиков, диаграмм и рисунков.

В 2023 г. ожидается получить следующие результаты:

В теоретико-игровой модели Фридкина–Джонсена динамики мнений будет охарактеризовано арбитражное решение и получены соответствующие стратегии игроков. Поскольку арбитражное решение является паретооптимальным, то для его поиска будет найдено множество паретооптимальных решений (фронт Парето), из которого в соответствии со специальной процедурой будет определен набор весов, соответствующий арбитражному решению. Все решения будут получены для двух классов стратегий – программных и позиционных.

Будет найдено арбитражное решение и соответствующее поведение игроков, адаптируемое к изменению формируемого графа связей.

В игре динамики мнений Фридкина–Джонсена будет исследовано влияние параметров модели, которые отражают степень приверженности игроков своим начальным мнениям, на найденное арбитражное решение и фронт Парето, а также на выигрыши игроков при использовании арбитражной схемы и на формируемое «усредненное» мнение общества. Будет проанализировано, как расстановка приоритетов игроком между составляющими его функции выигрыша влияет на арбитражное решение и фронт Парето.

Будет проведено комплексное сравнение арбитражных решений с равновесными по Нэшу наборами стратегий, запланированных к получению для теоретико-игровой модели Фридкина–Джонсена динамики мнений в течение первого года работы над проектом.

Будет проведен анализ ряда сообществ социальной сети «ВКонтакте», для каждого из которых будет построен социальный граф связей, проведена его классификация в соответствии с принятыми типами сетей и вычислены требуемые характеристики. В частности, для определения степени доверия агентов друг другу будут применены процедуры оценивания на основе меры центральности, характеризующей положение узла в графе.

Участниками проекта будет сделано три доклада на международных научных конференциях по теории игр и теории оптимального управления с высокой степенью отбора.

Планируется опубликовать три статьи в изданиях, индексируемых в наукометрических базах данных Web of Science Core Collection или Scopus.



Имеющийся у коллектива исполнителей научный задел по проекту:

В качестве научного задела по проекту можно привести некоторое количество уже опубликованных научных статей авторами заявки, напрямую связанных с тематикой проекта. Это работы, непосредственно посвященные теоретико-игровому расширению модели динамики мнений ДеГроота, в которой изучается равновесие по Нэшу и кооперативное поведение при фиксированном графе связей и постоянной матрице влияния:

1. Рогов М. А., Седаков А. А. Согласованное влияние на мнения участников социальной сети. Математическая теория игр и ее приложения, 2018, т. 10, № 4, сс. 30-58. Rogov M. A., Sedakov A. A. Coordinated Influence on the Opinions of Social Network Members. Automation and Remote Control, 2020, Vol. 81, No 3, pp. 528-547
2. Mazalov V.V., Parilina E.M. The Euler-equation approach in average-oriented opinion dynamics. Mathematics. 2020. Vol. 8, Is. 3. art. no. 355 (Q1)
3. Mazalov V., Parilina E. Game of competition for opinion with two centers of influence // Mathematical Optimization Theory and Operations Research - 18th International Conference, MOTOR 2019, Proceedings (Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics). Springer, 2019. 11548 LNCS. 673-684
4. Sedakov A., Zhen M. Opinion dynamics game in a social network with two influence nodes. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2019, vol. 15, iss. 1, pp. 118–125
5. Zhen M. Stackelberg equilibrium of opinion dynamics game in social network with two influence nodes. Contributions to Game Theory and Management, 2019, Vol. 12, 366–386

В этих работах в качестве решения игры динамики мнений ДеГроота предложено использовать равновесия по Нэшу и по Штакельбергу и кооперативную ситуацию (при возможности кооперации центров влияния), которые были охарактеризованы с использованием принципа максимума Понтрягина, а также путем решения уравнений Гамильтона–Якоби–Беллмана и Эйлера. Равновесное и кооперативное поведение игроков, оказывающих влияние на агентов сети, было найдено в двух классах стратегий – классах программных и позиционных (с обратной связью) стратегий.

У авторов заявки существуют научные работы и в части формирования стабильных графов связей, напрямую связанные с задачами проекта, когда исследуемые теоретико-игровые сетевые модели состоят из двух этапов, причем на первом этапе граф связей между участниками социальной сети может формироваться (или меняться по ряду причин, в том числе случайных). Сюда можно отнести следующие работы:

1. П. Сунь, Е.М. Парилина Стохастическая модель формирования сети с асимметричными игроками. Математическая Теория Игр и ее Приложения. 2020. т. 12, в. 4. C. 62-92
2. Khmelnitskaya A., Parilina E., Sedakov A. (2019) Endogenous Formation of Cooperation Structure in TU Games. In: Petrosyan L., Mazalov V., Zenkevich N. (eds) Frontiers of Dynamic Games. Static & Dynamic Game Theory: Foundations & Applications. Birkhäuser, pp. 49-64
3. Petrosyan L., Bulgakova M., Sedakov A. Time-Consistent Solutions for Two-Stage Network Games with Pairwise Interactions. Mobile Networks and Applications, 2021, Vol. 26, pp. 491-500 (Q1)
4. Petrosyan L. A., Sedakov A. A., Bochkarev A. O. Two-stage network games. Automation and Remote Control, 2016, Vol. 77, No 10, pp. 1855-1866
5. Petrosyan L., Sedakov A. The Subgame-Consistent Shapley Value for Dynamic Network Games with Shock. Dynamic Games and Applications, 2016, Vol. 6, No 4, pp. 520-537
6. Sun, P.; Parilina, E. Network Formation with Asymmetric Players and Chance Moves. Mathematics. 2021. Vol. 9, 814. https://doi.org/10.3390/math9080814 (Q1)
7. Sun P., Parilina E. Two-stage network formation game with heterogeneous players and private information. Contributions to Game Theory and Management. 2019. Vol. XII. 316-324

Поиск «оптимальных» графов связи, построение равновесий по Нэшу и кооперативной ситуации в вышеперечисленных работах опираются на принцип динамического программирования и решение уравнения Гамильтона–Якоби–Беллмана. Равновесное и кооперативное поведение игроков находится в классе позиционных стратегий, а при наличии в модели элементов случайности поиск решения уже осуществлялся с использованием стратегий с полной памятью с целью фиксации реализации элементов случайности.

В дополнении приведем ряд последних проектов по анализу теоретико-игровых динамических моделей кооперации и равновесия, поддержанных российскими и иностранными фондами, в которые принимали участие участники текущей заявки:

1. РНФ 17-11-01079 Оптимальное поведение в конфликтно-управляемых системах, 2017-2019, 2020-2021 (продление); Парилина Е. М., Седаков А. А. – основные исполнители
2. Грант WST2017009 провинции Шаньдун, Китай "Двойная сотня талантов", 2018-2020; Парилина Е. М., Седаков А. А. – основные исполнители
3. РФФИ 17-51-53030 Рациональность и устойчивость в играх на сетях, 2017-2018; Парилина Е. М., Седаков А. А. – исполнители
4. РФФИ 16-01-00713 Игровые модели кооперации при структурных и информационных ограничениях, 2016-2017; Парилина Е. М., Седаков А. А. – исполнители
5. РФФИ 14-01-31141 мол_а Устойчивость коалиционных соглашений, 2014-2015 гг.; Парилина Е. М. – исполнитель, Седаков А. А. – руководитель