4.1. Научная проблема, на решение которой направлен проект:

Проект направлен на решение фундаментальной проблемы маломерной топологии – классификации трехмерных многообразий.

4.2. Научная значимость и актуальность решения обозначенной проблемы:

Вопросы классификационного характера являются стержневыми для многих разделов классической и современной математики и, в частности, для геометрической топологии. Существенная часть исследований в трехмерной топологии XX в. была мотивирована, прямо или косвенно, стремлением решить именно классификационные проблемы, к которым относятся, в частности, доказанные Перельманом гипотеза Пуанкаре и геометризационная гипотеза Терстона. Достигнутый за последние годы серьезный прогресс в данной проблематике тем не менее оставляет открытыми многие классические вопросы, сохраняющие свою актуальность. Кроме того, продолжающееся бурное развитие указанной области ставит новые интересные задачи. Продвижение в решении упомянутых классических и новых задач несомненно имеет первостепенный уровень значимости как для топологии малых размерностей, так и для смежных с ней разделов гиперболической геометрии, математической физики, биологии.
Как известно, проблема классификации и распознавания 3-многообразий решена – в алгоритмическом смысле – для хакеновых многообразий. Существующие варианты алгоритма являются супер-экспоненциальными и поэтому имеют чисто теоретическое значение. В рамках данного исследования мы планируем существенно продвинуться в изучении свойств минимальных специальных спайнов трехмерных многообразий. Это позволит, в частности, в определенных случаях эффективно решать задачи классификации и распознавания 3-многообразий не только в теоретическом, но и в практическом смысле.

4.3. Конкретная задача (задачи) в рамках проблемы, на решение которой направлен проект, ее масштаб и комплексность:

Построенная в 80-е годы в работах С.В. Матвеева теория сложности дает эффективные подходы к классификации трехмерных многообразий. В рамках этой теории многообразия задаются специальными спайнами (компактными двумерными полиэдрами, двойственными триангуляциям). Матвеев и Пиергаллини доказали, что два специальных спайна эквивалентны, то есть задают одно и то же многообразие, тогда и только тогда, когда от одного спайна можно перейти к другому конечной цепочкой преобразований T и T^{-1}. Мерой сложности многообразия (по Матвееву) является минимально возможное число истинных вершин у специального спайна многообразия.
Конкретной задачей проекта является установление сложности для бесконечного класса трехмерных многообразий, обладающих специальными спайнами ровно с тремя 2-компонентами. С одной стороны эта задача является продолжением ряда работ руководителя проекта (с соавторами), в которых установлена сложность трехмерных многообразий, обладающих специальными спайнами ровно с двумя 2-компонентами. С другой стороны, использовавшиеся ранее методы и подходы не допускают прямого обобщения со случая двух на случай трех 2-компонент. Причина состоит в существенном увеличении числа простых подполиэдров в спайне и, тем самым, более сложной формуле для вычисления инвариантов типа Тураева Виро. Проект предполагает рассмотрение широкого спектра вопросов трехмерной топологии, включающих исследование новых свойств инвариантов типа Тураева Виро и развитие теории простых подполиэдров специальных спайнов.

4.4. Научная новизна исследований, обоснование того, что проект направлен на развитие новой для научного коллектива тематики, обоснование достижимости решения поставленной задачи (задач) и возможности получения предполагаемых результатов:

Хотя топология трехмерных многообразий как самостоятельный раздел математики выделилась довольно давно, интерес к ней не ослабевает и даже усиливается за счет постоянного обнаружения её тесных связей с другими областями математики, механики, физики. Естественность таких связей подчеркивается тем, что они стимулируют появление новых интересных теорий и результатов в смежных областях.
Первые методы, позволяющие доказывать минимальность данной триангуляции многообразия без перебора всех триангуляций многообразий с меньшим числом тетраэдров, появились в начале 2000-х. К настоящему моменту известно всего три таких метода, один из которых принадлежит руководителю проекта (в соавторстве с А.Ю. Весниным). Минимальность триангуляции можно устанавливать: с помощью объема в случае гиперболических многообразий с каспами; с помощью нормальных поверхностей в случае замкнутых многообразий; с помощью инвариантов Тураева - Виро для триангуляций с двумя ребрами. В результате применения этих методов доказана минимальность триангуляций всего для нескольких бесконечных классов трехмерных многообразий. Поэтому любое продвижение в изучении минимальных триангуляций приведет к серьезным продвижениям в классификационных вопросах трехмерной топологии. Для исследования минимальных триангуляций мы планируем привлечь двойственный язык специальных спайнов и теорию сложности 3-многообразий, в которой руководитель проекта и В.В. Таркаев являются безусловными лидерами, что придает уверенности в достижимости запланированных результатов.
Еще раз подчеркнем, что проект направлен на развитие новой для научного коллектива тематики. Действительно, разработанные ранее (руководителем проекта) методы и подходы не допускают прямого обобщения со случая двух на случай трех 2-компонент в спайне. Причина состоит в существенном увеличении числа простых подполиэдров в спайне и, тем самым, более сложной формуле для вычисления инвариантов типа Тураева - Виро. Мы рассчитываем исследовать новые свойства инвариантов типа Тураева – Виро, а также развить существенно новые методы установления сложности многообразий, основанные на применении обобщения теоремы Цекендорфа (доказанного Д. Кнутом) для чисел Фибоначчи с отрицательными коэффициентами.

4.5. Современное состояние исследований по данной проблеме, основные направления исследований в мировой науке и научные конкуренты:

Триангуляции являются удобным и широко используемым комбинаторным способом задания 3-многообразий. Важным обстоятельством здесь является тот факт, что в размерности три в отличие от старших размерностей любое многообразие триангулируемо. Отметим, что специальные спайны и триангуляции – два равноправных способа задания многообразий. На наш взгляд язык спайнов более удобен для исследований. Это связано с тем, что подполиэдр простого полиэдра – снова простой полиэдр, тогда как аналогичное утверждение неверно для триангуляций. Поскольку в научной литературе понятие триангуляции распространено шире, дальнейшее описание данного раздела приведено на этом языке.
Задача о нахождении минимальных по количеству тетраэдров триангуляций 3-многообразия – одна из классических задач комбинаторной топологии. Решение известно для сравнительно небольшого набора многообразий. Триангуляционной сложностью многообразия называется число тетраэдров в его минимальной триангуляции. Минимальные триангуляции известны для всех классов табулированных многообразий:
- для замкнутых ориентируемых неприводимых многообразий до сложности 12 (С.В. Матвеев, В.В. Таркаев, 2005) – порядка 100 тысяч многообразий;
- для гиперболических многообразий с каспами до сложности 9 (Callahan, Hildebrand, Thistlethwaite, B. Burton, 2014) – порядка 75 тысяч многообразий;
- для ориентируемых гиперболических многообразий с вполне геодезическим краем до сложности 4 (B. Martelli, C. Petronio, 2004) – порядка 5 тысяч многообразий;
- для замкнутых неориентируемых P2-неприводимых многообразий до сложности 10 (G. Amendola, B. Martelli, B. Burton, 2007) – всего 136 многообразий.
Опишем бесконечные серии 3-многообразий, для которых установлены точные значения триангуляционной сложности. Как правило нахождение верхней оценки триангуляционной сложности труда не представляет. Для этого достаточно предъявить какую-либо триангуляцию многообразия. Гораздо сложнее оценить сложность снизу. Первый метод получения нижних оценок сложности был предложен С. Анисовым. Он заметил, что триангуляция гиперболического 3-многообразия с каспами, состоящая из правильных идеальных гиперболических тетраэдров, минимальна. В качестве примера бесконечной серии таких триангулированных многообразий С. Анисов рассмотрел конечнолистные накрытия дополнительного пространства узла восьмерка. Позже участники проекта Е.А. Фоминых и В.В. Таркаев (с соавторами) перечислили все такие триангуляции гиперболических многообразий с каспами до уровня 25 тетраэдров в ориентируемом случае, и до уровня 21 тетраэдр – в неориентируемом случае. Конечнолистные накрытия построенных многообразий дают бесконечные серии 3-многообразий, для которых установлены точные значения триангуляционной сложности. Второй метод получения нижних оценок сложности был предложен В. Джейко, Х. Рубинштайном и С. Тиллманном. Он основан на том, что каждый нетривиальный элемент группы H_2(M; Z_2) задает поверхность в любом специальном спайне многообразия M, род которой и позволяет оценить снизу его сложность. С помощью этого метода удалось установить точные значения сложности для нескольких бесконечных серий линзовых пространств (например, L(2n,1)), малых многообразий Зейферта (например, с параметрами (2,1), (2,-1) и (n,1)) и расслоений над окружностью со слоем проколотый тор и гиперболической монодромией. Третий метод получения нижних оценок сложности для гиперболических многообразий с вполне геодезическим краем, разработанный руководителем проекта Е.А. Фоминых (совместно с А.Ю. Весниным), основан на использовании инвариантов 3-многообразий, введенных В.Г. Тураевым и О.Я. Виро. С помощью этого метода удалось установить точные значения сложности для бесконечных классов многообразий: Паолюцци-Циммермана, многообразий с бедными спайнами, для многообразий, допускающих триангуляции с двумя и тремя ребрами.

4.6. Предлагаемые методы и подходы, общий план работы на весь срок выполнения проекта:

Предлагается следующий подход к исследованию минимальности специальных полиэдров. Напомним, что специальные спайны одного и того же 3-многообразия гомотопически эквивалентны, что влечет совпадение их эйлеровых характеристик, вычисляемых как разность между числом 2-компонент и числом истинных вершин спайна. Следовательно минимальность спайна (в своем классе эквивалентности) в смысле числа истинных вершин равносильна минимальности в смысле числа 2-компонент. Поэтому установление минимальности спайнов при последовательном увеличении числа 2-компонент (1, 2, 3 и т.д,) является правильно поставленной задачей. Еще одним аргументом является тот факт, что число неэквивалентных специальных спайнов с заданным числом 2-компонент бесконечно, тогда как число неэквивалентных специальных спайнов с заданным числом истинных вершин конечно. Итак, мы планируем исследовать минимальность специальных спайнов, содержащих ровно три 2-компоненты (случаи одной и двух 2-компонент были исследованы ранее Р. Фриджерио, Б. Мартелли, К. Петронио, А. Весниным, В. Тураевым и Е. Фоминых).

Пусть P – специальный полиэдр, содержащий ровно три 2-компоненты и n истинных вершин, не допускающий упрощающего преобразования T^{-1}. Если полиэдр P не минимален в своем классе эквивалентности, то в силу гомотопической эквивалентности минимальный полиэдр Q, эквивалентный полиэдру P, либо содержит ровно две 2-компоненты и n-1 истинную вершину, либо – одну 2-компоненту и n-2 истинные вершины. Мы хотим получить противоречие, доказав, что полиэдры P и Q имеют различные инварианты типа Тураева – Виро, а именно, так называемый эпсилон инвариант Матвеева – Овчинникова – Соколова [Матвеев С.В., Овчинников М.А., Соколов М.В.: Построение и свойства t- инварианта, Записки научных семинаров ПОМИ, том 267, 2000, 207-219.].

Как известно, эпсилон инвариант специального полиэдра P есть сумма эпсилон весов всех его простых подполиэдров, включая сам полиэдр P и пустое множество. Здесь возникает наша первая задача: изучить вопрос о количестве, взаимном расположении, эйлеровых характеристиках и эпсилон весах простых подполиэдров произвольного специального полиэдра с тремя 2-компонентами. Заметим, что ранее исследовался только случай, когда ровно один из полиэдров P и Q имел ровно один собственный простой подполиэдр, для которого были неизвестны его параметры (эйлерова характеристика, число истинных вершин). Этот случай хорошо изучен и для получения противоречия нам было достаточно применить элементарные и хорошо изученные свойства эпсилон инварианта.

Отметим, что эпсилон вес простого полиэдра есть полином первой степени от переменной эпсилон, коэффициенты которого (по модулю) – соседние числа Фибоначчи, индексы которых отрицательны и зависят только от эйлеровой характеристики и числа истинных вершин в данном простом полиэдре. Приравнивая значения эпсилон инварианта полиэдров P и Q, мы получаем уравнение на числа Фибоначчи со знаками 1 или -1. Далее мы планируем применить обобщение теоремы Цекендорфа для чисел Фибоначчи с отрицательными коэффициентами, доказанное Д. Кнутом. Эта теорема утверждает, что всякое целое число можно единственным образом представить в виде суммы одного или нескольких различных чисел Фибоначчи с отрицательными индексами так, чтобы в этом представлении не оказалось двух соседних чисел из последовательности Фибоначчи. Получив информацию о коэффициентах наших чисел Фибоначчи, мы получим информацию о параметрах простых подполиэдров, которым они отвечают. В итоге мы либо получим противоречие, либо построим контрпример минимальности специального полиэдра с тремя 2-компонентами, не допускающего упрощающего преобразования T^{-1}.

Итак, мы описали подход к исследованию минимальности специальных полиэдров с тремя 2-компонентами. Чтобы лучше понять феномен чисел Фибоначчи при вычислении эпсилон инварианта, мы планируем изучить эпсилон инвариант линзовых пространств. Как известно [S. Matveev, Algorithmic topology and classification of 3-manifolds, Algorithms and Computation in
Mathematics, 9. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xii+478 pp.], эпсилон инвариант линзовых пространств имеет всего четыре различных значения. В частности, если p сравнимо с нулем по модулю 5, а q сравнимо с \pm 2 по тому же модулю 5, то эпсилон инвариант линзового пространства с параметрами (p,q) равен 0. Мы планируем найти причину обращения в 0 суммы эпсилон весов (а, значит, и чисел Фибоначчи со знаками) всех простых подполиэдров известных потенциально минимальных специальных спайнов этих пространств. Отметим, что доказательство теоремы о значениях эпсилон инварианта для линзовых пространств основано совсем на других идеях, берущих начало в топологической квантовой теории поля.

План работ:
2022: Планируется изучить вопрос о количестве, взаимном расположении, эйлеровых и других характеристиках простых подполиэдров произвольного специального полиэдра с тремя 2-компонентами. Планируется изучить простые подполиэдры и их эпсилон веса для потенциально минимальных специальных спайнов линзовых пространств.
2023: Исследованию минимальности специальных полиэдров ровно с тремя 2-компонентами.

4.7. Имеющийся у научного коллектива научный задел по проекту, наличие опыта совместной реализации проектов (указываются полученные ранее результаты, разработанные программы и методы):

Руководитель проекта и В.В. Таркаев обладают большим опытом работы как в области трехмерной топологии вообще, так и в рамках реализации совместных проектов РФФИ, РНФ, Мегагранта и т.п.. Студенты факультета Математики и компьютерных наук СПбГУ М.В. Блудов и А.И. Рябков только начинают свой путь в науке, но уже достигли некоторого прогресса. В частности, Антон Рябков в следующем учебном году будет получать стипендию компании Яндекс по итогам защит курсовых работ студентами 3 курса факультета МКН ( работа «О неэквивалентности некоторых классов специальных полиэдров», руководитель Е.А. Фоминых, см. https://math-cs.spbu.ru/news/news-06-07-2021/). Перечислим наиболее важные методы и результаты теоретических работ подразделения, которые найдут применение в заявленном проекте:
Доказано, что каждая триангуляция произвольного замкнутого 3-многообразия, за исключением минимальной триангуляции линзового пространства с параметрами (5,2), содержит нетривиальную нормальную поверхность. Кроме того, доказано, что каждое многообразие с непустым краем имеет конечное число триангуляций, каждая из которых содержит только тривиальные нормальные поверхности. Доказательство опиралось на инварианты Тураева–Виро, которые впервые были использованы для теоретического доказательства геометрического утверждения про одно многообразие (а не про различность двух многообразий). [E. Fominykh, B. Martelli, “k-normal surfaces”, Journal of Differential Geometry, 82:1 (2009), 101–114].
Разработан метод установления точных значений сложности 3-многообразий, основанный на использовании квантовых инвариантов Тураева–Виро. Метод реализован для нахождения точных значений сложности для двухпараметрического семейства многообразий Паолюци–Циммермана и их обобщений, многообразий с бедными спайнами и для многообразий, допускающих триангуляции с двумя ребрами. [A.Yu. Vesnin, E.A. Fominykh, “Exact values of the complexity of Paoluzzi-Zimmermann manifolds”, Doklady Mathematics, 84:1 (2011), 542–544; A. Yu. Vesnin, V. G. Turaev, E. A. Fominykh, “Three-dimensional manifolds with poor spines”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 288 (2015), 29–38; A. Yu. Vesnin, V. G. Turaev, E. A. Fominykh, “Complexity of virtual 3-manifolds”, Sbornik: Mathematics, 207:11 (2016), 1493–1511].
Написана компьютерная программа Manifold Recognizer, которая весьма эффективно распознает многообразия исходя из практически любых способов их задания. Получено свидетельство о государственной регистрации этой программы в Роспатенте.