В 2019-2021 году Васильевой Е.В. проводились исследования динамических систем с нетрансверсальными гомоклиническими точками и нетрансверсальными гетероклиническими контурами. Предполагалось, что точки касания устойчивого и неустойчивого многообразия не являются точками касания конечного порядка. Основная цель исследования – показать, что в окрестности гомоклинической точки или гетероклинического контура может лежать бесконечное множество устойчивых периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями.
В 2019 году изучались диффеоморфизмы многомерного пространства. Показано, что в окрестности гомоклинической точки диффеоморфизма может лежать бесконечное множество устойчивых однообходных периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями. Этот результат является продолжением работ автора, удалось снять все ограничения, которые накладывались ранее на собственные числа матрицы Якоби диффеоморфизма в неподвижной точке. В 2020-м году изучались диффеоморфизмы плоскости в себя с нетрансверсальным гетероклиническим контуром. Для диффеоморфизмов плоскости в себя с тремя неподвижными гиперболическими точками и нетрансверсальным гетероклиническим контуром показано, что в окрестности гетероклинического контура могут лежать два счетных множества периодических точек. Одно из этих множеств состоит из устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля, второе – из вполне неустойчивых периодических точек, характеристические показатели которых так же отделены от нуля. В 2021 году изучались диффеоморфизмы плоскости в себя с нетрансверсальными гомоклиническими точками; периодические точки, траектории которых не покидают окрестность гомоклинической точки, подразделяются на однообходные и многообходные. Показано, что в окрестности гомоклинической точки может лежать бесконечное множество многообходных устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля. Изучалось однопараметрическое множество диффеоморфизмов плоскости в предположении, что каждый диффеоморфизм из этого множества имеет гиперболическую неподвижную точку и нетрансверсальную гомоклиническую к ней точку. Получены условия существования в окрестности гомоклинической точки бесконечного множества устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля.
В 2019-2021 Н.А.Бегуном проводилось исследование слабо гиперболических инвариантных множеств. Свойства таких множеств, в том числе устойчивость, на протяжении уже почти полувека являются одними из основополагающих в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, те или иные отсылки к ним можно найти почти в любом подразделе этой математической ветви. Как правило, в этих работах предполагалось, что нейтральное, устойчивое и неустойчивое линейные пространства соответствующей линеаризованной системы удовлетворяют условию Липшица. Наложение такого условия вполне объяснимо – классическая техника работы (особенно важная при доказательстве устойчивости) со слабо гиперболическим инвариантным множеством предполагает введение локальных координат в его окрестности, однако введение таких координат в отсутствие условия Липшица представляется чрезвычайно затруднительным. С другой стороны, известны примеры слабо гиперболических инвариантных множеств, для которых условие Липшица не выполняется. Более того, доказано, что множество таких систем является множеством второй категории по Бэру. Таким образом, обширная теория была построена для очень «бедного» множества систем. Учитывая уже упомянутый прикладной аспект, возникла необходимость развития инструментария для работы со слабо гиперболическими инвариантными множествами, не обладающими условием Липшица. Изучалась динамика системы, порожденной разрывным гистерезисным оператором, найдена область параметров, при которых динамика сводится к вращению на окружности. Найдена другая область параметров, при которых задача сводится к так называемой задаче о перестановке отрезков. Попутно в статье получены важные результаты о сходимости инвариантных мер и о хаотической природе полученных отображений. Объясняется, каким образом полученные результаты могут быть интерпретированы с точки зрения поведения экономики (точнее – в модели инфляции).
Звягинцевой Т.Е. в 2019-2021 годах проводилось исследование двумерной системы автоматического управления с дискретным временем в предположении, что нелинейность системы является периодической и удовлетворяет обобщенным условиям Рауса-Гурвица. Изучался вопрос абсолютной устойчивости таких систем и вопрос существования циклов в системах указанного типа. Система рассматривалась при всех допустимых значениях параметров. Основная цель исследования – выписать условия на параметры системы, при выполнении которых нелинейность может быть построена таким образом, что в системе существуют периодические решения. В 2019-2020 изучались системы с 2- и 3-периодическими нелинейностями, удовлетворяющими обобщенным условиям Рауса-Гурвица. Удалось в явном виде выписать условия на параметры системы, при выполнении которых 2-периодическая нелинейность может быть построена таким образом, что система с указанной нелинейностью не будет глобально асимптотически устойчивой. Предложен способ построения такой 2-периодической нелинейности, что в указанной системе существует семейство циклов периода четыре. Циклы не являются изолированными, любое решение системы с начальными данными, лежащими на некотором указанном луче, будет периодическим. Кроме того, удалось в явном виде выписать условия на параметры системы, при выполнении которых 3-периодическая нелинейность может быть построена таким образом, что система с указанной нелинейностью не будет глобально асимптотически устойчивой. Предложен способ построения такой 3-периодической нелинейности, что в указанной системе существует семейство циклов периода три или семейство циклов периода шесть. В 2020-2021 годах изучались системы с 2- и 3- периодическими нелинейностями, удовлетворяющими обобщенным условиям Рауса-Гурвица и некоторому дополнительному секторному условию. Такая постановка задачи обусловлена тем, что системы с указанными нелинейностями представляют собой математические модели, которые описывают динамику поведения решений во многих современных инженерных проблемах, а также в проблемах из различных областей естествознания. Показано, что и в этом случае существуют значения параметров, при которых система с 2-периодической нелинейностью имеет семейство циклов периода четыре, а система с 3-периодической нелинейностью – семейство циклов периода три или периода шесть. Условия на параметры, при выполнении которых система может иметь семейство периодических решений, выписываются в явном виде. Из доказательства теорем следует способ построения нелинейности.
В 2019-2021 гг. Ильиным Ю.А. рассматривались существенно нелинейные системы дифференциальных уравнений в окрестности точки покоя. С помощью условий на логарифмические нормы от матриц Якоби правых частей найдены условия, при которых у данной системы существуют устойчивое и нейтральное интегральные многообразия. В 2019 году Ильин Ю.А. разработал метод дифференциальных неравенств, который был эффективно применен к локально качественному анализу поведения решений существенно нелинейных систем в окрестности точки покоя. В 2020-м году Ильин Ю.А. в совместных работах с Басовым В.В. (доцентом СПбГУ) изучал граничную задачу Коши. Инициатором постановки задачи был В.В.Басов, который применил к решению задачи метод ломаных Эйлера. К достоинствам этого метода можно отнести конструктивность и возможность приближенного построения интегральных кривых (например, на компьютере), что может иметь значение для прикладных задач. Однако применение этого метода требует от уравнения и области определения выполнения целого ряда специальных условий, что снижает его универсальность. Ильину Ю.А. удалось проанализировать эти ограничения и выявить все случаи, когда метод ломаных Эйлера оказывается эффективным. Затем Ю.А.Ильин предложил и применил к поставленной задаче метод дифференциальных неравенств и теорем сравнения, в результате чего удалось не только доказать существование локального решения, начинающегося на границе области, но и делать выводы о промежутке, на который оно продолжается. В качестве аналога спектральных условий, накладываемых на обычные квазилинейные системы, используются логарифмические нормы от матриц Якоби. Ключевым методом доказательства является так называемый метод преобразования графика Адамара в его модификации, предложенной В.А.Плиссом в 1964 году. С помощью метода дифференциальных неравенств и теорем сравнения, удалось доказать не только существование устойчивого и нейтрального многообразий в окрестности точки покоя, но и существование в достаточно малой окрестности нейтрального многообразия инвариантного слоения на устойчивые многообразия. Данный результат исключительно важен для анализа устойчивости нулевого решения, для доказательства принципа сведения, аналогичного тому, что доказан для квазилинейных систем, для возможного доказательства топологической эквивалентности полной существенно нелинейной системы её главному приближению.
Чуриным Ю.В. в 2019 году было завершено исследование систем, близких к однородным. Им рассмотрена двумерная периодическая система, близкая в окрестности бесконечности к периодической однородной системе. Случай, когда невозмущенная система является автономной, детально был изучен еще в 1968 году. В рассматриваемом случае после перехода к полярным координатам и факторизации по периоду система преобразуется в систему, близкую к однородной. В случае если степень однородности m = 1, полученная система является надстройкой на двумерном торе. Используя результаты монографии В.А.Плисса 1964 года «Нелокальные проблемы теории колебаний», касающиеся условий устойчивости числа вращения и условий грубости системы, устанавливаются критерии отсутствия резонансных явлений в исходной системе.
Исследования Г.С.Осипенко были посвящены методам исследования глобальных свойств динамических систем. Символическая динамика, порожденная ориентированным графом, отражает динамику исследуемой системы. Символический образ является инструментом теоретического исследования и основой компьютерно-ориентированных методов численного изучения нелокальных свойств динамических систем. Это исследование можно рассматривать как продолжение работы G.S.Osipenko, Dynamical Systems, Graphs, and Algorithms, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1889 (2007). Основное внимание уделяется вопросам, которые не обсуждались или слабо освещены в упомянутой книге. За 2019-2021 года выполнены все запланированные работы проекта. В работе G.S.Osipenko, N.B.Ampilova, On the entropy of symbolic image of a dynamical system, изучаются методы вычисления топологической энтропии и метрической энтропии. Показано, что топологическая энтропия оценивается через логарифм максимального собственного числа матрицы смежности символического образа. Поток на символическом образе позволяет оценить метрическую энтропию. Найден метод компьютерного построения меры максимальной энтропии динамической системы. В результате мы получаем компьютерно-ориентированный алгоритм локализации цепно-рекуррентного множества с помощью методов построения инвариантных мер динамической системы. Поток на символическом образе есть вероятностное распределение на ребрах, удовлетворяющее закону Кирхгофа, потоки являются приближением для инвариантных мер исходной системы. Показано, что множество потоков на символическом образе сходится к множеству инвариантных мер в слабой топологии, если диаметр дискретизации сходится к нулю. В работе Г.С.Осипенко «Сходимость в среднем периодических псевдотраекторий и инвариантные меры динамических систем» рассматривается дискретная динамическая система, порожденная гомеоморфизмом компактного многообразия. В работе Г.С.Осипенко «Потоки на графе и инвариантные меры динамических систем» показано, что каждый периодический путь на символическом образе порождает псевдотраекторию и меру, сосредоточенную на ней. При работе по гранту РФФИ 16-01-00452 в статье G.S.Osipenko, The spectrum of the averaging of a function over pseudotrajectories of a dynamical system, Sbornik Mathematics, 2018, изучался спектр усреднения функции над траекториями динамической системы, который является предельным множеством усреднений функции над периодическими ε-траекториями. Показано, что спектр состоит из отрезков, порожденных компонентами цепно-рекуррентных множеств. Спектр может быть получен как усреднение функции над всеми инвариантными мерами, сосредоточенными на компонентах. Изучалась взаимозависимость траекторий системы и допустимых путей на символическом образе. Показано, что множество путей символического образа сходится к множеству траекторий системы в тихоновской топологии, когда диаметр покрытия стремится к нулю. Найдены условия аппроксимации эргодических мер и указан метод численной реализации такой аппроксимации.
В рамках настоящего гранта разработана методика численного вычисления спектра усреднения, написана и опробована компьютерная программа, вычисляющая спектр. Спектр Морса есть предельное множество показателей Ляпунова периодических псевдотраекторий. Показано, что если спектр Морса не содержит нуля, то цепно-рекуррентное множество является гиперболическим. На основании этого создана компьютерная программа, которая является проверкой на гиперболичность. Эта программа тестировалась на динамических системах с хаотическим поведением. Результаты работ докладывались на международной конференции «Современные проблемы математики и механики», посвящённой 80-летию академика РАН В.А.Садовничего, а также на международных конференциях КРОМШ-2019, КРОМШ-2020 и КРОМШ-2021. Компьютерные программы создавались под руководством Г.С.Осипенко при участии студентов Севастопольского филиала МГУ в рамках специального курса «Компьютерное моделирование динамических систем».
Методы и подходы, использованные при реализации Проекта
Одним из центральных разделов качественной теории дифференциальных уравнений является теория интегральных множеств периодических систем, в которой изучается структура границы замкнутого, связного, асимптотически устойчивого интегрального множества, исследуется поведение решений на этом множестве, вскрывается связь между числом периодических решений, лежащих на интегральном множестве нулевой меры и структурой самого этого множества. Особое внимание уделяется системам, обладающим различными свойствами структурной устойчивости. Описываются свойства интегральных множеств систем уравнений, имеющих бесконечно много периодических решений с ненулевыми характеристическими показателями. Эти задачи рассматривались в проекте для конкретных систем – автоматического управления с гистерезисом, устойчивых периодических, описываемых дифференциальными неравенствами, возникающих из задач механики, физики, биологии, символической динамики и др.
Разработанные участниками проекта методы исследования основаны на синтезе элементов качественной теории дифференциальных уравнений, теории бифуркаций, методов теории гиперболических систем, теории интегральных многообразий, теории символической динамики и являются оригинальными.
Решение поставленных задач осуществлялось с помощью методов, разработанных сотрудниками кафедры дифференциальных уравнений Санкт-Петербургского государственного университета при выполнении предыдущих проектов РФФИ. Эти методы основаны на синтезе элементов качественной теории дифференциальных уравнений, теории бифуркаций, методов теории периодических систем, теории гиперболических систем, теории интегральных многообразий, теории сложных инвариантных множеств, порождаемых нетрансверсальными гомоклиническими структурами, методов аппроксимации и модификации первого метода Ляпунова. При разработке комплекса методов исследования систем дифференциальных уравнений специального вида использованы результаты работ основных исполнителей проекта. К числу методов, разработанных исполнителями, относятся методы теории нелокальных колебаний, методы исследования структурно устойчивых (грубых) систем, методы сведèния и исследования слабо гиперболических предельных множеств В.А.Плисса, методы Ю.В.Чурина качественного исследования однородных систем, методы Е.В.Васильевой исследования нетрансверсальных гомоклинических точек, методы Т.Е.Звягинцевой и В.А.Плисса исследования поведения решений динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с петлей гистерезиса, а также методы символического образа Г.С.Осипенко для исследования показателей Ляпунова и цепно-рекуррентных множеств в проективном расслоении.
Предложен новый подход для исследования гистерезисных систем. Авторы рассматривают такую систему как автономную, но заданную на сложном фазовом пространстве, представляющем собой некоторое многообразие с краем, склеенное из двух связных листов. Край многообразия соответствует разрыву в гистерезисной нелинейности. Гистерезисные явления описываются как переход с листа на лист или как движения по краю. Сформулированы условия, при выполнении которых система является глобально устойчивой в определенном смысле. При этом использовано понятие ''скользящего режима''. Ильиным Ю.А. был предложен новый подход к отысканию и описанию в явном виде функций, удовлетворяющих дифференциальным неравенствам, основанный на так называемой "выпрямляющей" замене переменных (выпрямляющем диффеоморфизме) соответствующего дифференциального уравнения.
Публикации по проекту:
Васильева Екатерина Викторовна. Различные виды устойчивых периодических точек диффеоморфизма плоскости с гомоклинической орбитой. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2021, 8 (66) - 2, 295-304, IPF 0.236
Васильева Екатерина Викторовна. Многообходные устойчивые периодические точки диффеоморфизма плоскости с гомоклинической орбитой. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2021, 8 (66) - 3, 406-416, IPF 0.236
Kryzhevich Sergey, Avrutin Viktor, Begun Nikita, Rachinskii Dmitrii, Tajbakhsh Khosro. Dynamics of Systems with a Discontinuous Hysteresis Operator and Interval Translation Maps. Axioms, 2021, 10 - 2, 80, IPF 0.1
Звягинцева Татьяна Евгеньевна. Об условиях существования циклов в двумерной дискретной системе с секторной нелинейностью. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2021, 8 (66) - 1, 63-72, IPF 0.236
Звягинцева Татьяна Евгеньевна (Zvyagintseva T. E.). On the Conditions for the Existence of Cycles in a Second-Order Discrete-Time System with a Sector Nonlinearity. Vestnik of the St. Petersburg University: Mathematics, 2021, 54 - 1, 50-57, IPF 0.24
Васильева Екатерина Викторовна (Vasil’eva E.V.). Different Types of Stable Periodic Points of Diffeomorphism of a Plane with a Homoclinic Orbit. Vestnik of the St. Petersburg University: Mathematics, 2021, 54 - 2, 180-186, IPF 0.24
Васильева Екатерина Викторовна (Vasil’eva E.V.). Multi-Pass Stable Periodic Points of Diffeomorphism of a Plane with a Homoclinic Orbit. Vestnik of the St. Petersburg University: Mathematics, 2021, 54 - 3, 227-235, IPF 0.24
Осипенко Георгий Сергеевич. Компьютерно-ориентированные алгоритмы для инвариантных мер динамических систем. 2021, 54-54
Осипенко Георгий Сергеевич. Потоки на графах и инвариантные меры динамических систем. Дифференциальные уравнения и процессы управления, 2021, 3, 51-70, IPF 0.01 0.18 РИНЦ
Басов Владимир Владимирович, Ильин Юрий Анатольевич. О существовании решения граничной задачи. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2020, 7 (65) - 2, 277-288, IPF 0.22
Басов Владимир Владимирович, Ильин Юрий Анатольевич. О задаче Коши, поставленной на границе области определения обыкновенного дифференциального уравнения. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2020, 7 (65) - 4, 636-648, IPF 0.22
Басов Владимир Владимирович (Basov V.V.), Ильин Юрий Анатольевич ( Iljin Yu.A.). On the Existence of a Solution to the Cauchy Initial Boundary Value Problem. Vestnik of the St. Petersburg University: Mathematics, 2020, 53 - 2, 180-190, IPF 0.24
Басов Владимир Владимирович (V.V.Basov), Ильин Юрий Анатольевич (Yu.A.Iljin). On the Cauchy Problem Set on the Boundary of the Ordinary Differential Equation’s Domain of Definition. Vestnik of the St. Petersburg University: Mathematics, 2020, 53 - 4, 424-433, IPF 0.24
Васильева Екатерина Викторовна. Устойчивость периодических решений периодических систем дифференциальных уравнений с гетероклиническим контуром. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2020, 7 (65) - 2, 297-308, IPF 0.22
Васильева Екатерина Викторовна. Устойчивые и вполне неустойчивые периодические точки диффеоморфизма плоскости с гетероклиническим контуром. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2020, 7 (65) - 3, 392-403, IPF 0.22
Васильева Екатерина Викторовна (Vasil’eva E.V.). The Stability of Periodic Solutions of Periodic Systems of Differential Equations with a Heteroclinic Contour. Vestnik of the St. Petersburg University: Mathematics, 2020, 53 - 2, 197-205, IPF 0.24
Васильева Екатерина Викторовна (Vasil’eva E.V.). Stable and Completely Unstable Periodic Points of Diffeomorphism of a Plane with a Heteroclinic Contour. Vestnik of the St. Petersburg University: Mathematics, 2020, 53 - 3, 261-269, IPF 0.24
Бегун Никита Андреевич. О проблемах теории устойчивости слабо гиперболических инвариантных множеств. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2020, 7 (65) - 2, 289-296, IPF 0.22
Бегун Никита Андреевич (Begun N.A.). On problems of the theory of stability of weakly hyperbolic invariant sets. Vestnik of the St. Petersburg University: Mathematics, 2020, 53 - 2, 191-196, IPF 0.24
Звягинцева Татьяна Евгеньевна. О проблеме Айзермана: коэффициентные условия существования цикла периода четыре в двумерной дискретной системе. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2020, 7 (65) - 1, 50-59, IPF 0.22
Звягинцева Татьяна Евгеньевна. О проблеме Айзермана: коэффициентные условия существования цикла периодов три и шесть в двумерной дискретной системе. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2020, 7 (65) - 2, 309-318, IPF 0.22
Звягинцева Татьяна Евгеньевна (T. E. Zvyagintseva). On the Aizerman problem: coefficient conditions for the existence of a four-period cycle in a second-order discrete-time system. Vestnik of the St. Petersburg University: Mathematics, 2020, 53 - 1, 37-44, IPF 0.24
Звягинцева Татьяна Евгеньевна (T. E. Zvyagintseva). On the Aizerman problem: coefficient conditions for the existence of three- and six-period cycles in a second-order discrete-time system. Vestnik of the St. Petersburg University: Mathematics, 2020, 53 - 2, 206-213, IPF 0.24
Осипенко Георгий Сергеевич, Osipenko Georgy Sergeevich. Кодировка траекторий и инвариантных мер. Математический сборник, 2020, 211 - 7, 151-176, IPF 0.57
Осипенко Георгий Сергеевич, Осипенко Георгий Сергеевич, Osipenko Georgy Sergeevich. Сходимость в среднем периодических псевдотраекторий и инвариантные меры динамических систем. Математические заметки, 2020, 108 - 6, 882-898, IPF 0.626
Осипенко Георгий Сергеевич, -. Компьютерно ориентированный метод вычисления спектра усреднения функции. Дифференциальные уравнения и процессы управления, 2020, 2, 66-88, IPF 0.18
Osipenko G. S.. Encodings of trajectories and invariant measures. Sbornik: Mathematics, 2020, 211 - 7, 1041-1064, IPF 0.64
Osipenko G. S.. Mean Convergence of Periodic Pseudotrajectories and Invariant Measures of Dynamical Systems. Mathematical Notes, 2020, 108 - 5-6, 854-866, IPF 0.611
Васильева Екатерина Викторовна. Многомерные диффеоморфизмы с устойчивыми периодическими точками. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2019, 6 (64) - 4, 608-618+, IPF 0.22
Звягинцева Татьяна Евгеньевна. Существование двух предельных циклов в системе с кусочно-линейным гистерезисом. 2019, 48-54
Васильева Екатерина Викторовна (Vasil'eva E. V.). Multidimentional Diffeomorphisms with Stable Periodic Point. Vestnik of the St. Petersburg University: Mathematics, 2019, 52 - 4, 380-387, IPF 0.24
Ильин Юрий Анатольевич. Об интегрировании в явном виде дифференциальных неравенств специальных типов. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2019, 6 (64) - 2, 196-207, IPF 0.22
Ильин Юрий Анатольевич (Il'in Yu. A.). On the Explicit Integration of Special Types of Differential Inequalities. Vestnik of the St. Petersburg University: Mathematics, 2019, 6 (64) - 2, 196-207, IPF 0.24
Осипенко Георгий Сергеевич (Osipenko G.S.), Ампилова Наталья Борисовна (Ampilova N.B.). On the entropy of symbolic image of a dynamical system. Динамические системы, 2019, 9 (37) - 2, 116-132, IPF 0.05
Осипенко Георгий Сергеевич. Аппроксимация эргодических мер.. 2019, IPF 0,1
Осипенко Георгий Сергеевич. Дискретизация динамики систем. 2019, 118-120, IPF 0.04
Количество научных работ по проекту, опубликованных за весь период реализации проекта в 2019-2021 годах 36,
- в изданиях, включенных в перечень ВАК 13,
- в изданиях, включенных в библиографическую базу данных РИНЦ 19,
- из них в изданиях, включенных в Scopus 17,
- в изданиях, включенных Web of Science 14.
