По задаче 1:
В рамках данного проекта на первом этапе были изучены планы для оценивания производной полиномиальной регрессионной модели без свободного члена в заданной точке z на интервале [-1,1] (Holger Dette, Melas, V.B., Shpilev, P.V. (2020)). Задача второго этапа состояла в изучении оптимальных планы для оценивания производной для данной модели в заданной точке z на отрезке [0, a], a>0. Полученные результаты показывают, что для интервала планирования [0, a], также, как и для симметричного случая, оптимальный план может быть найден в явном виде только для z принадлежащего некоторому подмножеству интервала планирования (или, говоря более конкретно, для такого множества значений z, для которого точки плана являются экстремальными точками Чебышевского многочлена). С другой стороны, для случая несимметричного интервала исследуемая задача оказалась проще. Во-первых, в этом случае вид плана не зависит от четности или нечетности порядка модели (в отличии от случая симметричного интервала). Во-вторых, существенно проще определяются границы отрезков, для которых точки плана являются экстремальными точками Чебышевского многочлена: эти границы находятся как нули весов плана, рассматриваемых, как функции от z (в отличии, от случая симметричного интервала, для которого эти границы определялись с помощью ряда вспомогательных многочленов).
Кроме того, участниками проекта был получен явный вид планов, оптимальных для оценивания индивидуальных коэффициентов полиномиальной регрессионной модели без свободного члена.

По задаче 2:
Исследовано влияние гомотетии области планирования на число опорных точек A-оптимального плана (т.е. плана, оптимального для оценивания линейной комбинации параметров модели) при фиксированных значениях параметров двумерной, экспоненциальной регрессионной модели Кобба-Дугласа, которая используется в микроэкономике (Cobb, C. W.; Douglas, P. H. "A Theory of Production" (1928)). Показано, что для этой модели существует два типа оптимальных планов: насыщенные (т.е. планы, число точек носителя которых равно числу параметров модели) и избыточные (число точек носителя больше числа параметров модели). В нашей предыдущей работе (Grigoriev, Y.D., Melas, V.B., Shpilev, P.V. (2018)) мы исследовали D-оптимальные планы для данной модели. Задача построения A-оптимальных планов существенно сложнее. Показано, что существует 3 типа насыщенных планов (тип плана зависит от области значений параметров модели). При этом точки оптимального плана зависят от всех параметров модели (в отличии от случая D-оптимального плана). В общем случае (для прямоугольной области планирования) представлены упрощенные системы нелинейных уравнений, решениями которых являются точки и веса оптимального плана. В случае, если область планирования – квадрат, оптимальные планы 3-его типа найдены в явном виде. Для нахождения избыточных планов предлагается использовать численные методы. Полученные результаты проиллюстрированы численными примерами.

Ключевая идея развиваемого нами нового подхода, заключается в использовании теоремы эквивалентности не только для построения опорных точек и весов оптимальных планов, но и для нахождения областей, определяющих структуру этих планов. Аналитическое решение задачи нахождения зависимости между числом опорных точек локально оптимального плана и областями планирования является очень полезным инструментом, позволяющим исследователю выбрать наиболее подходящую область планирования для снижения экспериментальных затрат.

По задаче 3:

Проведено исследование теста для проверки гипотезы о равенстве двух распределений, предложенного участниками проекта. Этот тест, основан на U-статистике с логарифмическим ядром, он отличается от аналогичного теста из работы Zech and Aslan выбором вспомогательной функции. Для случая, когда распределения отличаются только сдвигом, а вспомогательная функция является логарифмом плотности Коши, на предыдущем этапе было показано, что асимптотическое распределение статистики критерия является квадратом нормального. Этот результат обобщен на случай вспомогательных функций общего вида. Кромке того, найдены явные формулы для среднего и дисперсии этого распределения. Результаты статистического моделирования для нормального распределения, распределений Коши и Лапласа показывают, что эти формулы обеспечивают хорошее приближение для мощности теста даже при малых размерах выборок. Получение асимптотических формул основано на законе больших чисел и центральной предельной теореме для U-статистик, а также на лемме, полученной участниками проекта, позволяющей преобразовать выражение введенного статистического критерия при специальном выборе вспомогательной функции к квадрату разности средних значений.

По задаче 4:
1)Доказано, что матрица решений итерационной процедуры отбора наиболее информативных полиномов над конечным полем, образованных дихотомическими факторами, при отсутствии контроля их принадлежности одному и тому же подпространству или линейному пространству, образованному полиномами специального вида имеет единичный ранг.
2)Изучены распределения, энтропия и другие информационные свойства конечных проективных подпространств (синдромов), параметризуемых при помощи импульсных последовательностей с базовыми элементами в виде полиномов Жегалкина над полем Галуа характеристики два (симптомов). Доказано, что суперсиндромы, полученные при рассмотрении в качестве базовых элементов мультипликативного синдрома, замкнуты.
3)Полученные авторами результаты использованы для обоснования сходимости итерационной процедуры (ИП), в которой наиболее информативные симптомы, отобранные из частичных суперсиндромов меньшей размерности, вновь подаются на вход. Показано, что стационарное состояние ИП достигается в случае принадлежности всех элементов входного множества или одному и тому же частичному суперсиндрому, или мажорированному синдрому. Благодаря ИП удается выделять наиболее информативные симптомы из большой совокупности переменных с меньшей трудоемкостью. На примере из фтизиатрии показано, каким образом при помощи симптомного анализа можно улучшить специфичность классификации.