Проект направлен на изучение ряда задач, относящихся к фундаментальной теории случайных процессов, байесовскому моделированию случайных сред, квантовым вычисленим и их связям в контексте решения задач машинного обучения. Исследования по проекту можно условно разбить на три взаимосвязанных направления.
Первое направление - исследование задач теории случайных процессов, представляющих несомненный теоретический интерес с точки зрения фундаментальной математики, но также обладающих хорошим потенциалом приложений, в том числе в геофизическом моделировании, управлении каналами связи, управлении экономическими рисками и др.
1) Исследование случайных процессов, возникающих в спектральном методе Монте Карло (Random Fourier Features).
2) Исследование телеком-процессов (траекторные свойства и вероятности больших и малых уклонений).
3) Изучение гауссовских процессов назначений.
4) Исследование энергетически эффективной адаптивной аппроксимации процессов со стационарными приращениями.
5) Анализ распределения времени последнего выхода стационарного процесса за медленно растущий барьер.
Вторая часть проекта направлена на изучение задач из области моделирования гауссовских процессов и полей в контексте машинного обучения. Гауссовские процессы являются ключевым инструментом в области машинного обучения в задачах, где требуется калибровка и численная оценка неопределенности, таких как байесовская оптимизация, обучение при малочисленных данных, многочисленные задачи в роботике. Основным проблемами в применении гауссовских процессов в задачах
машинного обучения являются масштабируемость, связанная с вычислительной сложностью модели, и подходящий выбор ядра, задающего гауссовский процесс. Наиболее часто используемыми ядрами являются ядра семейства Матерна. Ядра Матерна позволяют контролировать гладкость траекторий моделируемого гауссовского процесса. Существует естественная связь между ядрами Матерна и стохастическими дифференциальными уравнениями в
частных производных, что позволяет рассматривать различного рода обобщения, например, на случай многообразий. Возникает вопрос о применимости таких обобщенных ядер в контексте задач машинного обучения, в частности, проблема их вычислительно-эффективного построения. В ходе проекта будут изучаться обобщения, основанные на
стохастических дифференциальных уравнениях, и разработка моделей машинного обучения, основанных на гауссовских процессах, с использованием обобщенных ядер.
Третья часть проекта связана с исследованиями возможностей квантовых вычислений при использовании гауссовских процессов в прикладных задачах. Квантовые вычислительные устройства предлагают принципиально новые возможности, включающие как огромный потенциал по распараллеливанию вычислений, так и сэмплирование из
сложных вероятностных распределений. Основными направлениями исследований будут ускорение сэмплирования из гауссовских процессов и полей при помощи ускорения операций линейной алгебры и сэмплирование из марковских случайных полей. Будут рассматриваться алгоритмы как для схемных (вентильных) квантовых компьютеров, так и для адиабатических. Особое внимание будет уделено влиянию квантовых ошибок на качество сэмплирования, а также задачам сэмплирования из
гауссовских процессов в анализе данных и геофизическом моделировании. Задача о разработке алгоритмов для квантовых компьютеров чрезвычайно актуальна в связи с наблюдающимся бурным ростом мощности (количества кубит) существующих на данный момент квантовых компьютерах и запланированному на 2024 год (согласно Дорожной карте по квантовым вычислениям в рамках федерального проекта "Цифровые Технологии") появлению в РФ промышленных
квантовых компьютеров.
В проекте исследуются свойства широкого класса случайных процессов и вероятности связанных с ними событий, а также построенные на их основе математические модели телекоммуникационных систем, алгоритмы для квантовых компьютеров и новые методы машинного обучения.
Получена функциональная предельная теорема для корреляционных функций в спектральном методе Монте Карло.
Получена предельная теорема о сходимости распределения нормированного времени последнего выхода стационарных процессов за медленно растущий нелинейный барьер к двойному экспоненциальному закону.
Исследована асимптотика вероятностей больших уклонений пуассоновских телеком-процессов в умеренном и промежуточном режиме.
Найдено асимптотическое поведение математического ожидания максимума гауссовского процесса назначений.
Введены понятия критического и некритического конечномерного возмущения гауссовских функций, для которых доказаны теоремы об асимптотике малых уклонений в гильбертовой норме.
Найден способ построения обобщенных ядер Матерна на неевклидовых структурах, основанный на представлении ядер в виде интегралов теплового ядра по параметру масштаба.
Получена функциональная предельная теорема для корреляционных функций в спектральном методе Монте Карло (RFF - Random Fourier Features).
Получена предельная теорема о сходимости распределения нормированного времени последнего выхода стационарных процессов за медленно растущий нелинейный барьер к двойному экспоненциальному закону.
Исследована асимптотика вероятностей больших уклонений пуассоновских телеком-процессов в умеренном и промежуточном режиме. Режим сверхбольших уклонений исследован для случая регулярно меняющихся хвостов распределений ресурсов.
Найдено асимптотическое поведение математического ожидания максимума гауссовского процесса назначений.
Введены понятия критического и некритического конечномерного возмущения гауссовских функций, для которых
доказаны теоремы об асимптотике малых уклонений в гильбертовой норме. В частности, для конечномерных возмущений гриновских гауссовских процессов найдена точная асимптотика L_2-малых уклонений. Также показано, что процессы Дурбина, возникающие в статистике, относятся к классу критических возмущений броуновского моста.
Найден способ построения обобщенных ядер Матерна на неевклидовых структурах, основанный на представлении ядер в виде интегралов теплового ядра (heat kernel) по параметру масштаба (времени). Этот способ позволил определить и использовать гауссовские процессы Матерна для задач машинного обучения на пространствах, на
которых известен способ поточечного вычисления теплового ядра. В частности, на некоторых важных некомпактных многообразиях: гиперболических пространствах и на многообразиях положительно определенных матриц (в младших размерностях).
Предложен практический метод для построения априорных гауссовских процессов на римановых многообразиях, траектории которых являются гладкими векторными полями. Метод применим к явным образом вложенным в евклидово пространство римановым многообразиям, на которых с помощью какого-то другого метода можно построить
скалярный гауссовский процесс. В частности, этот метод применим для компактных римановых многообразий, таких как гиперсфера или многомерный тор. Получены результаты, позволяющие эффективно вычислять ядра Метерна на некоторых классических компактных
группах Ли, в частности на специальной ортогональной группе SO(n).
Для линейных косых произведений получены верхние и нижние оценки длины отслеживаемых псевдотраекторий с убывающими ошибками и показана их связь с принципом больших уклонений и задачей о разорении игрока.
Получена функциональная предельная теорема для корреляционных функций в спектральном методе Монте Карло.
Получена предельная теорема о сходимости распределения нормированного времени последнего выхода стационарных процессов за медленно растущий нелинейный барьер к двойному экспоненциальному закону.
Исследована асимптотика вероятностей больших уклонений пуассоновских телеком-процессов в умеренном и промежуточном режиме.
Найдено асимптотическое поведение математического ожидания максимума гауссовского процесса назначений.
Введены понятия критического и некритического конечномерного возмущения гауссовских функций, для которых доказаны теоремы об асимптотике малых уклонений в гильбертовой норме.
Найден способ построения обобщенных ядер Матерна на неевклидовых структурах, основанный на представлении ядер в виде интегралов теплового ядра по параметру масштаба.
Руководитель проекта М.А.Лифшиц и исполнитель С.Е.Никитин исследовали вероятности больших уклонений процессов нагрузки в телекоммуникационных моделях.
Основной исполнитель Ю.П.Петрова исследовала вероятности малых уклонений гауссоских процессов.
Руководитель проекта М.А.Лифшиц и участник проекта Н.А.Карагодин изучали предельные теоремы для распределения времени последнего выхода стационарных процессов за медленно растущий линейный барьер.
Основной исполнитель С.Б. Тихомиров и исполнитель И. Азангулов занимались адаптацией существующих квантовых алгоритмов линейной алгебры для задач сэмплирования из гауссовских процессов и оценкой
потенциального выигрыша квантовых алгоритмов сэмплирования по сравнению с классическими.
Участники проекта П.А. Мостовский и В.А .Боровицкий изучали ядра Матерна на некомпактных многообразиях.
| Acronym | RSF_RG_2021 - 1 |
|---|
| Status | Finished |
|---|
| Effective start/end date | 26/04/21 → 31/12/21 |
|---|
