РАЗВЕРНУТЫЙ НАУЧНЫЙ ОТЧЕТ за 2020 год
3.1. Номер проекта 19-01-00388
3.2. Название проекта Структура интегральных множеств периодических и
автономных систем дифференциальных уравнений
3.3. Коды классификатора 01-112 Обыкновенные дифференциальные уравнения и теория динамических систем
3.4. Заявленные цели проекта
Цель проекта – исследование структуры интегральных множеств периодических и автономных систем дифференциальных уравнений.
Основные задачи проекта: 1) выявление и изучение свойств устойчивых периодических решений периодических систем дифференциальных уравнений и решений динамических систем, траектории которых лежат в ограниченной части фазового пространства;
2) изучение поведения решений динамических систем и систем дифференциальных уравнений с петлей гистерезиса; 3) исследование множеств функций, удовлетворяющих дифференциальным неравенствам, и их свойств, и приложений к различным задачам;
4) исследование глобальной структуры траекторий с помощью символической динамики, создание компьютерно-ориентированных методов проверки гиперболичности и структурной устойчивости динамических систем; 5) изучение систем, близких к двумерным периодическим однородным, и их связи с динамическими системами на торе.
Предполагается рассмотрение прикладных задач, имеющих актуальный характер и связанных с физикой, механикой, астрономией, теорией управления, теорией устойчивости, асимптотическими методами, популяционной биологией и др., в которых возникают дифференциальные неравенства; исследование множеств функций, удовлетворяющих дифференциальным неравенствам, и их свойств, связанных с асимптотическим поведением и вопросами устойчивости в случаях, когда нет возможности указать дифференциальное уравнение, описывающее изучаемый процесс.
В частности, планируется исследовать спектр усреднения функции над псевдотраекториями динамической системы и структуру множества инвариантных мер; изучить применение методов символической динамики к исследованиям глобальной динамики системы; определить взаимную зависимость между структурой траекторий динамической системы и структурой символического образа, а также символической динамикой, порожденной таким образом; создать компьютерно-ориентированные методы проверки гиперболичности и структурной устойчивости динамических систем.
3.5. Полученные в 2020 году результаты с описанием методов и подходов, использованных при реализации проекта (описать, уделив особое внимание степени оригинальности и новизны)
В 2020 году проводились: 1) исследования систем дифференциальных уравнений и динамических систем с бесконечным множеством устойчивых траекторий с целью выделения класса систем с нетрансверсальным гетероклиническим контуром, в окрестности которого лежит бесконечное множество устойчивых периодических траекторий, чьи характеристические показатели отделены от нуля, также, исследовались динамические системы с целью выделения класса систем с нетрансверсальным гетероклиническим контуром, в окрестности которого лежат два бесконечных множества периодических траекторий, одно из этих множеств состоит из устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля, второе — из вполне неустойчивых периодических точек, характеристические показатели которых так же
отделены от нуля; 2) исследование поведения решений динамических систем и систем
дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями, получение новых критериев глобальной устойчивости для систем автоматического управления с заданной петлей гистерезиса; 3) разработка подхода к исследованию прикладных задач, связанных с физикой, механикой, астрономией, теорией управления, теорией устойчивости, асимптотическими методами, популяционной биологией и др. с помощью дифференциальных неравенств; 4) исследование спектра усреднения функции над псевдотраекториями динамической системы с помощью компьютерно-ориентированной технологии вычисления этого спектра и вычисления приближения к инвариантным мерам, что позволяет оценить спектр функции и определить гиперболичность инвариантного множества динамической системы, найден метод, который позволяет компьютерно проверять гиперболичность инвариантного множества; 5) исследование систем, близких к однородным системам, было завершено в 2019 году: рассмотрена двумерная периодическая система, близкая в окрестности бесконечности к периодической однородной системе.
Васильевой Е.В. изучаются периодические системы дифференциальных уравнений и диффеоморфизмы плоскости в себя. Для систем с двумя гиперболическими периодическими решениями и нетрансверсальным гетероклиническим контуром удалось показать, что в окрестности гетероклинического контура может лежать счетное множество периодических решений, характеристические показатели которых отделены от нуля [1, 2]. В работе [3, 4] Е.В.Васильевой для диффеоморфизмов плоскости в себя с тремя неподвижными гиперболическими точками и нетрансверсальным гетероклиническим контуром показано, что в окрестности гетероклинического контура могут лежать два счетных множества периодических точек. Одно из этих множеств состоит из устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля, второе – из вполне неустойчивых периодических точек, характеристические показатели которых так же отделены от нуля.
В 2020 году Н. А. Бегун продолжил изучение устойчивости слабо гиперболических инвариантных множеств. В серии работ, опубликованных Н.А.Бегуном, В.А.Плиссом и Дж.Р.Селлом было доказано, что слабо гиперболическое инвариантное множество является устойчивым даже в том случае, когда не выполняется условие липшицевой зависимости нейтральных линейных пространств. Вопрос о том, является ли гомеоморфизмом отображение h, переводящее слабо гиперболическое инвариантное множество невозмущенной системы в слабо гиперболическое инвариантное множество возмущенной системы, по-прежнему остается открытым. В 2020 году Н.А. Бегуном опубликована работа «О проблемах теории устойчивости слабо гиперболических инвариантных множеств» [5, 6], в которой показана связь этого вопроса с так называемой гипотезой экспансивности по площадкам для диффеоморфизмов (plaque expansivity conjecture). Кроме того, в статье рассмотрены некоторые частные случаи, для которых удалось доказать, что h является гомеоморфизмом (работа в этом направлении продолжается).
Доцентом Звягинцевой Т.Е. опубликована работа [7, 8], в которой рассмотрена двумерная дискретная система автоматического управления, нелинейность которой является 2-периодической и удовлетворяет обобщенным условиям Рауса-Гурвица. Система исследуется при всех возможных значениях параметров. В явном виде выписываются условия на параметры, при выполнении которых может быть построена такая 2-периодическая нелинейность, что система с указанной нелинейностью не будет глобально асимптотически устойчивой. В работе показано, что такая нелинейность может быть найдена неединственным образом и указан способ ее построения. Доказано, что в системе с такой нелинейностью существует семейство циклов периода четыре. Циклы не являются изолированными, любое решение системы с начальными данными, лежащими на некотором указанном луче, будет периодическим.
Также доцентом Звягинцевой Т.Е. опубликована статья [9, 10], в которой предполагается, что нелинейность двумерной дискретной системы автоматического управления является 3-периодической и лежит в гурвицевом угле. Система исследуется при всех возможных значениях параметров: в явном виде выписаны условия на параметры, при выполнении которых может быть построена такая 3-периодическая нелинейность, что система с указанной нелинейностью не будет глобально асимптотически устойчивой. Показано, что в системе с такой нелинейностью может существовать семейство циклов периода три и может существовать семейство циклов периода шесть. Предложен способ построения указанных нелинейностей. Циклы при этом не являются изолированными, любое решение системы с начальными данными, лежащими на некотором определенном луче, будет периодическим.
Еще в одной работе Звягинцевой Т.Е. исследуются дискретные системы с нелинейностями, подчиненными более сильным ограничениям. Предполагается, что нелинейность не только лежит в гурвицевом угле, но и удовлетворяет дополнительному секторному условию. Такая постановка задачи встречается во многих работах, посвященных теоретическим и прикладным вопросам теории автоматического управления. В данной работе система с указанной выше нелинейностью рассматривается при всех допустимых значениях параметров. Показано, что и в этом случае существуют значения параметров, при которых система с 2-периодической нелинейностью имеет семейство циклов периода четыре, а система с 3-периодической нелинейностью – семейство циклов периода три или периода шесть. Условия на параметры, при выполнении которых система может иметь семейство периодических решений, выписываются в явном виде. Из доказательства теорем следует способ построения нелинейности таким образом, что любое решение системы с начальными данными, лежащими на некотором определенном луче, будет периодическим (по результатам работы сдана в печать статья [11]).
Все работы, выполненные Т.Е.Звягинцевой, посвящены сформулированной в 1949 году Айзерманом гипотезе для систем автоматического управления с непрерывным временем, которая в 1958 году была опровергнута В.А.Плиссом, построившим контрпример для системы дифференциальных уравнений третьего порядка и разработавшим метод нахождения периодических колебаний в системах, удовлетворяющих обобщенным условиям Рауса-Гурвица. В 2015 году в статьях У. Хита, Дж. Карраско, М. де ла Сена представлены построенные с помощью компьютерного моделирования два примера дискретных систем второго порядка, которые имеют циклы периода три и четыре, являющиеся первыми контрпримерами к дискретному аналогу гипотезы Айзермана в двумерном случае.
В данном проекте Т.Е.Звягинцевой в проблеме Айзермана для систем с дискретным временем получено существенное продвижение – найдены коэффициентные условия существования циклов периода четыре и существования циклов периодов три и шесть в двумерной дискретной системе.
В прикладных задачах, при описании конкретных математических моделей, возникают обычно конкретные дифференциальные уравнения, записываемые с помощью стандартных элементарных функций. Область определения таких уравнений часто оказывается замкнутым множеством. Классические теоремы существования решений рассматривают случаи, когда начальная точка является внутренней точкой области определения, а выход на границу области трактует как дальнейшую непродолжимость решения. Как оказывается, метод дифференциальных неравенств позволяет построить общую теорию для таких уравнений и сформулировать коэффициентно проверяемые условия как существования, так и отсутствия решений у граничной начальной задачи, а также отслеживать выход решений на границу области определения и проверять, будет ли это действительно означать дальнейшую непродолжимость решения или нет. Таким образом, дифференциальные неравенства позволяют решать весьма важные для конкретных приложений вопросы существования и продолжимости решений.
Ильин Ю.А. в 2020-м году в совместных работах с Басовым В.В. (доцентом СПбГУ) изучал граничную задачу Коши. Инициатором постановки задачи был В.В.Басов, который применил к решению задачи метод ломаных Эйлера. К достоинствам этого метода можно отнести конструктивность и возможность приближенного построения интегральных кривых (например, на компьютере), что может иметь значение для прикладных задач. Однако применение этого метода требует от уравнения и области определения выполнения целого ряда специальных условий, что снижает его универсальность. Ильину Ю.А. удалось проанализировать эти ограничения и выявить все случаи, когда метод ломаных Эйлера оказывается эффективным [12, 13]. Затем Ю.А.Ильин предложил и применил к поставленной задаче метод дифференциальных неравенств и теорем сравнения, в результате чего удалось не только доказать существование локального решения, начинающегося на границе области, но и делать выводы о промежутке, на который оно продолжается [14, 15].
Теория существования граничной задачи Коши, построенная в [14, 15], закрывает существовавший в литературе пробел по данному вопросу.
Осипенко Г.С. в 2020 году изучал дискретные динамические системы, порожденные гомеоморфизмом компактного многообразия. Представлен компьютерно-ориентированный метод, который позволяет вычислить спектр усреднения.
Инструментом предложенных методов является символический образ динамической системы. Пусть C = {M (i)} – конечное покрытие многообразия M замкнутыми ячейками. Символический образ динамической системы есть ориентированный граф G с вершинами, соответствующими ячейкам, а вершины i и j связаны дугой i → j, если образ f (M (i)) пересекает M (j). Применение символического образа для компьютерного исследования динамической системы происходит по следующей схеме. Предположим, что надо решить некоторую задачу для динамической системы. Строится символический образ G, выбрав конечное покрытие C фазового пространства. Исходная задача переформулируется в терминах символического образа, что приводит к некоторой задаче для ориентированного графа G. С помощью методов и алгоритмов теории графов задача решается для графа G. Далее полученное решение на символическом образе преобразуется в информацию о динамической системе. Как правило, полученная таким образом информация является приближенным решением исходной задачи. При этом мерой точности решения является диаметр покрытия С. В частности, по такой схеме была решена задача локализации цепно-рекуррентного множества.
В книге «Dynamical Systems, Graph and Algorithms» (Lecture Notes in Mathematics, 2006, 286 pp.) Осипенко Г.С. был обоснован компьютерный алгоритм, с помощью которого строится последовательность окрестностей, сходящихся к цепно-рекуррентному множеству, если диаметр покрытия сходится к нулю.
В рамках настоящего проекта решена задача вычисления спектра усреднения функции, который является предельным множеством средних значений функции на периодических ε-траекториях при ε, сходящихся к нулю. Ранее в статье «Спектр усреднения функции по псевдотраекториям динамической системы», (Мат. сборник. 2018. 209:8 (2018), 1211-1233) Осипенко Г.С. доказал, что спектр состоит из отрезков, каждый из которых порожден компонентой цепно-рекуррентного множества.
В 2019-20 годах Г.С.Осипенко найден компьютерный алгоритм вычисления описанных отрезков. Процесс вычисления сводится к определению экстремальных циклов на графе. Результаты данного исследования опубликованы в статье «Компьютерно ориентированный метод вычисления спектра усреднения функции» [16]. Спектр Морса является предельным множеством показателей Ляпунова периодических псевдотраекторий. Так как спектр Морса является спектром усреднения функции ln |Df (x)e| на проективном расслоении, то разработанный ранее метод позволяет вычислить спектр Морса. Предложенная техника позволяет осуществлять компьютерную проверку гиперболичности инвариантного множества. Приведен численный пример исследования системы Икеды, которая описывает хаотическую динамику в оптических кристаллах. В работе [17, 18] изучаются условия сходимости в среднем периодических псевдотраекторий. Последовательность периодических ε-траекторий сходится в среднем при ε стремящемся к нулю, если для любой непрерывной функции ее среднее значения на периоде псевдотраекторий сходится при ε стремящемся к нулю. Показано, что необходимым и достаточным условием сходимости в среднем является наличие инвариантной меры такой, что периодические среднее сходятся к интегралу от этой функции по данной инвариантной мере. В работе [19, 20] изучаются взаимозависимость траекторий системы и допустимых путей на символическом образе. Показано, что множество путей символического образа сходится к множеству траекторий системы в тихоновской топологии, когда диаметр покрытия стремится к нулю. Найдены условия аппроксимации эргодических мер и указан метод численной реализации такой аппроксимации.
По результатам изучения проблемы сходимости осенью 2020 года Осипенко Г.С. выступил на Международной конференции «Крымская осенняя математическая школа-симпозиум» с докладом «О сходимости в среднем» [21]. Основной результат доклада: если носитель инвариантной меры лежит в одной компоненте цепно-рекуррентного множества, то найдется последовательность периодических псевдотраекторий такая, что для любой непрерывной функции среднее по периоду этих псевдотраекторий сходится к усреднению функции по данной инвариантной мере.
Чуриным Ю.В. в 2019 году было завершено исследование систем, близких к однородным. Им рассмотрена двумерная периодическая система, близкая в окрестности бесконечности к периодической однородной системе. Случай, когда невозмущенная система является автономной, детально был изучен еще в [22]. В рассматриваемом случае после перехода к полярным координатам и факторизации по периоду система преобразуется в систему, близкую к однородной. В случае если степень однородности m = 1, полученная система является надстройкой на двумерном торе (см. отчет по гранту РФФИ 19-01-00388 за этап 2019 года). Используя результаты монографии В.А.Плисса [23], касающиеся условий устойчивости числа вращения и условий грубости системы, устанавливаются критерии отсутствия резонансных явлений в исходной системе.
В 2019 году Чурин Ю.В. ушел с работы (в связи с полным выходом на пенсию) и в настоящее время в СПбГУ не работает (доступ к его корпоративной электронной почте в конце 2019 года заблокирован администрацией университета).
Решение поставленных задач осуществлялось с помощью методов, разработанных сотрудниками кафедры дифференциальных уравнений Санкт-Петербургского государственного университета при выполнении предыдущих проектов РФФИ. Эти методы основаны на синтезе элементов качественной теории дифференциальных уравнений, теории бифуркаций, методов теории периодических систем, теории гиперболических систем, теории интегральных многообразий, теории сложных инвариантных множеств, порождаемых нетрансверсальными гомоклиническими структурами, методов аппроксимации и модификации первого метода Ляпунова.
При разработке комплекса методов исследования систем дифференциальных уравнений специального вида использованы результаты работ основных исполнителей проекта.
К числу методов, разработанных исполнителями, относятся методы теории нелокальных колебаний, методы исследования структурно устойчивых (грубых) систем, методы сведèния и исследования слабо гиперболических предельных множеств В.А.Плисса, методы Ю.В.Чурина качественного исследования однородных систем, методы Е.В.Васильевой исследования нетрансверсальных гомоклинических (гетероклинических) точек, методы Т.Е.Звягинцевой и В.А.Плисса исследования поведения решений динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с петлей гистерезиса, а также методы символического образа Г.С.Осипенко для исследования показателей Ляпунова и цепно-рекуррентных множеств в проективном расслоении.
Цитируемая литература
1. Васильева Е. В. Устойчивость периодических решений периодических систем диф-ференциальных уравнений с гетероклиническим контуром // Вестник Санкт-Пе-тербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7 (65). Вып. 2. С. 297–308. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.212 http://vestnik.spbu.ru/s01.html
2. Vasil’eva E. V. The Stability of Periodic Solutions of Periodic Systems of Differential Equations with a Heteroclinic Contour: Vestnik St. Petersburg University: Mathematics, 2020. Vol. 53, issue 2, pp. 197–205. https://doi.org/10.1134/S1063454120020156
3. Васильева Е. В. Устойчивые и вполне неустойчивые периодические точки диффеоморфизма плоскости с гетероклиническим контуром // Вестник Санкт-Пе-тербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7 (65). Вып. 3. С. 392–403. https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.303 http://vestnik.spbu.ru/s01.html
4. Vasil’eva E. V. Stable and Completely Unstable Periodic Points of Diffeomorphism of a Plane with a Heteroclinic Contour: Vestnik St. Petersburg University: Mathematics, 2020, Vol. 53, issue 3, pp. 261–269. https://doi.org/10.1134/S1063454120030152
5. Бегун Н.А. О проблемах теории устойчивости слабо гиперболических инвариантных
Множеств// Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т.7 (65). Вып. 2. С. 289-296.
http://hdl.handle.net/11701/17943 https://dspace.spbu.ru/bitstream/11701/17943/1/289-296.pdf
https://math-mech-astr-journal.spbu.ru/article/view/8378
6. Begun N.A. On Problems of the Theory of stability of Weakly Hyperbolic Invariant Sets. Vestnik St. Petersburg University: Mathematics, 2020. Vol. 53, issue 2, pp. 191-196.
https://link.springer.com/article/10.1134/S1063454120020065
https://dspace.spbu.ru/bitstream/11701/17943/1/289-296.pdf
7. Звягинцева Т.Е. О проблеме Айзермана: коэффициентные условия существования цикла периода четыре в двумерной дискретной системе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. 7 (65). Вып. 1. С. 50-59.
https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.105 http://vestnik.spbu.ru/s01.html
8. Zvyagintseva T. E. On the Aizerman Problem: Coefficient Conditions for the Existence of a Four-Period Cycle in a Second-Order Discrete-Time System. Vestnik St. Petersburg University: Mathematics. 2020. Vol. 53, issue 1, pp. 37-44.
https://link.springer.com/article/10.1134/S1063454120010161
9. Звягинцева Т.Е. О проблеме Айзермана: коэффициентные условия существования цикла периодов три и шесть в двумерной дискретной системе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. 7 (65). Вып. 2. С. 309-318. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.213 http://vestnik.spbu.ru/s01.html
10. Zvyagintseva T. E. On the Aizerman Problem: Coefficient Conditions for the Existence of Three- and Six-Period Cycles in a Second-Order Discrete-Time System. Vestnik St. Petersburg University: Mathematics. 2020. Vol. 53, issue 2, pp. 206–213.
https://link.springer.com/article/10.1134/S106345412002017X
11. Звягинцева Т.Е. Об условиях существования циклов в двумерной дискретной системе с секторной нелинейностью Вестник Санкт-Петербург. ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 2021. Т. 8 (66). Вып. 1 (принята к печати 17.09.2020).
12. Басов В.В., Ильин Ю.А. О существовании решения граничной задачи Коши // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7 (65). Вып. 2. С. 277-288. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.210
https://math-mech-astr-journal.spbu.ru/article/view/8377
13. V.V. Basov and Yu. A. Iljin. On the Existence of a Solution to the Cauchy Initial Boundary Value Problem, Vestnik St. Petersburg University. Mathematics. 2020. Vol. 53, issue 2, pp. 180-190. https://link.springer.com/journal/11988/53/2 https://rdcu.be/b4AKc
14. Басов В.В., Ильин Ю.А. О задаче Коши, поставленной на границе области определения обыкновенного дифференциального уравнения // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7 (65). Вып. 4. С. 636-648. https://dspace.spbu.ru/bitstream/11701/21848/1/636-648.pdf
15. V.V. Basov and Yu. A. Iljin, On the Cauchy Problem Set on the Boundary of the Ordinary Differential Equation’s Domain of Definition, Vestnik St. Petersburg University, Mathematics, 2020. Vol. 53, issue 4, pp. 424-433. https://link.springer.com/article/10.1134/S1063454120040020
16. Осипенко Г.С. Компьютерно ориентированный метод вычисления спектра усреднения
функции // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2020, № 2.
https://diffjournal.spbu.ru/pdf/20205-jdecp-osipenko.pdf
17. Осипенко Г.С. Сходимость в среднем периодических псевдотраекторий и инва-риантные меры динамических систем // Матем. заметки, 2020. Т. 108, вып. 6. С. 882–898. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm12742
18. G.S.Osipenko. Mean Convergence of Periodic Pseudotrajectories and Invariant Measures of Dynamical Systems // Pleiades Publishing, Ltd., Mathematical Notes, 2020. Vol. 108, issue 6, pp. 854-866. https://link.springer.com/article/10.1134/S0001434620110279
19. Осипенко Г.С. Кодировка траекторий и инвариантных мер // Матем. сб., 2020. Т. 211, № 7. С. 151–176. DOI: https://doi.org/10.4213/sm9273
20. G. S. Osipenko. Encodings of trajectories and invariant measures // Russian Academy of Sciences and the London Mathematical Society and has been published in partnership with Turpion Ltd. Sbornik: Mathematics. 2020. Vol. 111, No 7, pp. 1041–1064.
https://doi.org/10.1070/SM9273
21. Осипенко Г.С. Лекция «О сходимости в среднем» / Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2020, Симферополь «Полипринт» 2020, с. 118-119. Тезисы. https://drive.google.com/file/d/1K67byvPZHWsc7EuFrZBZ_ggs4jnNfdHK/view
22. Чурин Ю.В. О поведении периодических решений системы дифференциальных уравнений второго порядка с полиномиальными правыми частями // Дифференциальные уравнения, 1968. Т.4, № 10. С.1821-1834.
http://www.mathnet.ru/links/156c08325a7400dd27362cfe88b5c9c0/de456.pdf
23. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. (§ 11, c. 171-186). М.: Изд-во «Наука», 1964. 324 с.
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=de&paperid=8670&option_lang=rus
3.6.1. Количество работ по проекту,
опубликованных в 2020 году 19 публикаций 10 рус. 9 англ.
3.6.1.1. – в изданиях, включенных 10
в перечень ВАК
3.6.1.2. – в изданиях, включенных 10
в библиографическую базу
данных РИНЦ
3.6.1.3. – в изданиях, включенных 9
международные системы
цитирования (кроме
Web of Science)
3.6.1.4. – в изданиях, включенных 6
в Web of Science
3.6.2. Количество работ, подготовленных 1
и принятых к печати в 2020 году
3.7. Апробация результатов 1
(участие в конференциях)
Каждое мероприятие с новой
строки, указать название, ФИО
и тип доклада в 2020 году
Международная конференция
«Крымская осенняя математическая школа-симпозиум»
КРОМШ-20, 20-26 сентября 2020 года,
база отдыха Янос (Ласпи) и база отдыха Батилиман,
Осипенко Г.С., секционный доклад – «О сходимости в среднем»
3.8. Участие в экспедициях по тематике поекта Участие в экспедициях не предусмотрено.
3.9. Финансовые средства, полученные от РФФИ 900000
3.10. Адреса (полностью) ресурсов в Интернете,
подготовленных авторами по тематике проекта http://www.math.spbu.ru/diffjournal
3.11. Библиографический список всех публикаций по проекту за весь период, на который был предоставлен грант
Васильева Екатерина Викторовна. Устойчивость периодических решений периодических систем диф-ференциальных уравнений с гетероклиническим контуром. Вестник Санкт-Пе-тербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2020. 7(65) – 2, 297-308, IPF0.22
Васильева Екатерина Викторовна (Vasil’eva E.V.) The Stability of Periodic Solutions of Periodic Systems of Differential Equations with a Heteroclinic Contour. Vestnik St. Petersburg University: Mathematics, 2020. 53 - 2, 197–205, IPF0.24
Васильева Екатерина Викторовна. Устойчивые и вполне неустойчивые периодические точки диффеоморфизма плоскости с гетероклиническим контуром. Вестник Санкт-Пе-тербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2020, 7(65) – 3, 392–403, IPF0.24
Васильева Екатерина Викторовна (Vasil’eva E.V.) Stable and Completely Unstable Periodic Points of Diffeomorphism of a Plane with a Heteroclinic Contour. Vestnik St. Petersburg University: Mathematics, 2020, 53 - 3, 261–269, IPF0.24
Бегун Никита Андреевич. О проблемах теории устойчивости слабо гиперболических инвариантных множеств. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2020, 7(65) – 2, 289-296, IPF0.22.
Бегун Никита Андреевич (Begun N.A.) On Problems of the Theory of stability of Weakly Hyperbolic Invariant Sets. Vestnik St. Petersburg University: Mathematics, 2020, 53 - 2, 191-196, IPF0.24
Звягинцева Татьяна Евгеньевна. О проблеме Айзермана: коэффициентные условия существования цикла периода четыре в двумерной дискретной системе. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2020, 7(65) – 1, 50-59, IPF0.22
Звягинцева Татьяна Евгеньевна (Zvyagintseva T.E.) On the Aizerman Problem: Coefficient Conditions for the Existence of a Four-Period Cycle in a Second-Order Discrete-Time System. Vestnik St. Petersburg University: Mathematics, 2020, 53 - 1, 37-44, IPF0.24
Звягинцева Татьяна Евгеньевна. О проблеме Айзермана: коэффициентные условия существования цикла периодов три и шесть в двумерной дискретной системе. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2020,7(65) – 2, 309-318, IPF0.24
Звягинцева Татьяна Евгеньевна (Zvyagintseva T.E.) On the Aizerman Problem: Coefficient Conditions for the Existence of Three- and Six-Period Cycles in a Second-Order Discrete-Time System. Vestnik St. Petersburg University: Mathematics, 2020, 53 - 2, 206-213, IPF0.24.
Звягинцева Татьяна Евгеньевна. Об условиях существования циклов в двумерной дискретной системе с секторной нелинейностью. Вестник Санкт-Петербург. ун-та. Математика. Механика. Астрономия, 2021, 8 (66)- 1 (принята к печати 17.09.2020).
Басов Владимир Владимирович, Ильин Юрий Анатольевич. О существовании решения граничной задачи Коши. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2020,7(65) – 2,277-288, IPF0.22.
Басов Владимир Владимирович, Ильин Юрий Анатольевич (V.V. Basov and Yu. A. Iljin). On the Existence of a Solution to the Cauchy Initial Boundary Value Problem. Vestnik St. Petersburg University: Mathematics, 2020, 53 - 2, 180-190, IPF0.24
Басов Владимир Владимирович, Ильин Юрий Анатольеви. О задаче Коши, поставленной на границе области определения обыкновенного дифференциального уравнения. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2020, 7(65) – 4,636-648, IPF0.22
Басов Владимир Владимирович, Ильин Юрий Анатольевич. V.V. Basov and Yu. A. Iljin, On the Cauchy Problem Set on the Boundary of the Ordinary Differential Equation’s Domain of Definition. Vestnik St. Petersburg University: Mathematics, 2020, 53 - 4, 424-433, IPF 0.24
Осипенко Георгий Сергеевич. Компьютерно ориентированный метод вычисления спектра усреднения
функции. Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2020, № 2. IPF0.18
Осипенко Георгий Сергеевич. Сходимость в среднем периодических псевдотраекторий и инва-риантные меры динамических систем. Матем. заметки, 2020, 108 – 6, 882–898, IPF0.626
Осипенко Георгий Сергеевич (G.S.Osipenko). Mean Convergence of Periodic Pseudotrajectories and Invariant Measures of Dynamical Systems . Pleiades Publishing, Ltd., Mathematical Notes, 2020, 108 - 6, 854-866, IPF 0.611
Осипенко Георгий Сергеевич. Кодировка траекторий и инвариантных мер. Матем. сб., 2020, 211, № 7, 151–176, IPF1.057
Осипенко Георгий Сергеевич (G.S.Osipenko). Encodings of trajectories and invariant measures. Russian Academy of Sciences and the London Mathematical Society and has been published in partnership with Turpion Ltd. Sbornik: Mathematics, 2020, 111, No 7, 1041–1064, IPF0.64
Васильева Екатерина Викторовна. Многомерные диффеоморфизмы с устойчивыми периодическими точками. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2019, 6 (64) - 4, 608-618, IPF 0.22
Звягинцева Татьяна Евгеньевна. Существование двух предельных циклов в системе с кусочно-линейным гистерезисом. В сб. «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения – 2019». Издательство РГПУ им. А.И.Герцена, 2019, 48-54
Васильева Екатерина Викторовна (Vasil'eva E. V.). Multidimentional Diffeomorphisms with Stable Periodic Point. Vestnik of the St. Petersburg University: Mathematics, 2019, 52 - 4, 380-387, IPF 0.24
Ильин Юрий Анатольевич. Об интегрировании в явном виде дифференциальных неравенств специальных типов. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 2019, 6 (64) - 2, 196-207, IPF 0.22
Ильин Юрий Анатольевич (Il'in Yu. A.). On the Explicit Integration of Special Types of Differential Inequalities. Vestnik of the St. Petersburg University: Mathematics, 2019, 6 (64) - 2, 196-207, IPF 0.24
Осипенко Георгий Сергеевич (Osipenko G.S.), Ампилова Наталья Борисовна (Ampilova N.B.). On the entropy of symbolic image of a dynamical system. Динамические системы, 2019, 9 (37) - 2, 116-132, IPF 0.05
Осипенко Георгий Сергеевич. Аппроксимация эргодических мер. МГУ им. М.В.Ломоносова. Современные проблемы математики и механики. 2019, IPF 0,1
Осипенко Георгий Сергеевич. Дискретизация динамики систем. КРОМШ-2019, 2019, 118-120, IPF 0.04
3.12. Приоритетное направление развития науки, технологий и техники РФ, которому, по мнению исполнителей, соответствуют результаты данного проекта
Информационно-телекоммуникационные системы
3.13. Критическая технология РФ, которой, по мнению исполнителей, соответствуют результаты данного проекта
Технологии информационных, управляющих, навигационных систем
3.14. Основное направление технологической модернизации экономики России, которому, по мнению исполнителей, соответствуют результаты данного проекта
Космические технологии, прежде всего связанные с телекоммуникациями,
включая ГЛОНАСС и программу развития наземной инфраструктуры
3.15. Направление из Стратегии научно-технологического развития Российской Федерации
Фундаментальные исследования, обусловленные внутренней логикой развития науки, обеспечивающие готовность страны к большим вызовам, еще не проявившимся и не получившим широкого общественного признания, возможность своевременной оценки рисков, обусловленных научно-технологическим развитием
Возможности практического использования результатов проекта РФФИ
★
★
Информация, связанная с интеллектуальной собственностью
3.16. Корректировка плана исследований на следующий период реализации проекта (третий этап – 2021 год)
В соответствии с заявкой в 2019-2021 гг. предполагалось решить следующие основные задачи:
- выделить класс периодических систем дифференциальных уравнений с бесконечным множеством устойчивых периодических решений, траектории которых лежат в ограниченной части фазового пространства и характеристические показатели отделены от нуля (Е.В.Васильева);
- в рамках подхода, предложенного В.А. Плиссом и Т.Е. Звягинцевой в предыдущих работах, планируется с помощью методов качественной теории дифференциальных уравнений доказать новые критерии глобальной устойчивости для прикладных систем теории автоматического управления с заданной петлей гистерезиса и критерии существования в таких системах периодических решений и предельных циклов;
- с помощью метода, разработанного Ю.А.Ильиным, получить новые и существенно улучшить уже известные результаты, касающиеся свойств функций, удовлетворяющих дифференциальным неравенствам, описывающим конкретные задачи механики, физики, теории управления и др.;
- в основе исследования, предпринимаемого Г.С.Осипенко, лежит понятие символического образа, которое соединило в себе символическую динамику и численные методы, что позволяет получить новые способы исследования глобальной динамики и обосновать теоретические основы компьютерно-ориентированных методов (точность дискретизации определяется диаметром разбиения, и задача состоит в том, чтобы найти взаимную зависимость между структурой траекторий динамической системы и структурой символического образа; в частности, потокам на графе соответствуют инвариантные меры.) Алгоритмы исследования графов позволяют создать компьютерные методы исследования глобальной динамики системы.
В решении поставленных задач в 2019-2020 гг. уже достигнуто существенное продвижение:
- для систем дифференциальных уравнений и динамических систем с бесконечным множеством устойчивых траекторий выделены классы систем с нетрансверсальным гетероклиническим контуром, в окрестности которого лежит бесконечное множество устойчивых периодических траекторий, чьи характеристические показатели отделены от нуля; для диффеоморфизмов плоскости в себя с тремя неподвижными гиперболическими точками и нетрансверсальным гетероклиническим контуром показано, что в окрестности гетероклинического контура могут лежать два счетных множества периодических точек – одно из этих множеств состоит из устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля, второе — из вполне неустойчивых периодических точек, характеристические показатели которых так же отделены от нуля;
- продолжено развитие теории устойчивости слабо гиперболических инвариантных множеств; установлена связь проблемы единственности отображения, переводящего слабо гиперболическое инвариантное множество невозмущенной системы в слабо гиперболическое инвариантное множество возмущенной системы, с гипотезой экспансивности по площадкам для диффеоморфизмов (plaque expansivity conjecture).
- при исследовании поведения решений динамических систем и систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями, получены новые критерии глобальной устойчивости для систем автоматического управления с заданной петлей гистерезиса; получено существенное продвижение в проблеме Айзермана – найдены коэффициентные условия существования цикла периода четыре и существования циклов периодов три и шесть в двумерной дискретной системе;
- разработан подход к исследованию прикладных задач с помощью дифференциальных неравенств, параллельно рассмотрен классический вопрос о существовании решения в окрестности границы (а также и на границе) области определения;
- разработаны методы исследования спектра усреднения функции над псевдотраекториями динамической системы с помощью компьютерно-ориентированной технологии вычисления этого спектра и вычисления приближения к инвариантным мерам, что позволяет оценить спектр функции и определить гиперболичность инвариантного множества динамической системы, выявлены условия аппроксимации эргодических мер и указан метод численной реализации такой аппроксимации.
В 2021 году исследования будут продолжены по следующим основным направлениям: исследование проблем, возникающих в системах с нетрансверсальной гомоклинической траекторией, в окрестности которой лежит бесконечное множество устойчивых периодических траекторий, характеристические показатели которых отделены от нуля;
объединение символической динамики и численных методов, получение новых методов исследования глобальной динамики и обоснование теоретических основ компьютерно-ориентированных методов для исследования гиперболичности и устойчивости динамических систем.
Ключевые слова (не более 15)
периодические системы, автономные системы, интегральные множества, символическая динамика, гомоклинические точки, гетероклинический контур, петля гистерезиса, неравенства
Задачи Проекта на 2021 год:
Выявление и изучение свойств устойчивых периодических решений периодических систем дифференциальных уравнений и множеств устойчивых периодических точек диффеоморфизмов, траектории которых лежат в ограниченной части фазового пространства, при различных способах касания устойчивых и неустойчивых многообразий в окрестности гомоклинической точки. В 2021 году Васильева Е.В. продолжит изучение и выявление свойств множеств n-обходных устойчивых периодических точек, траектории которых лежат в достаточно малой окрестности нетрансверсальной гомоклинической точки.
Развитие теории устойчивости слабо гиперболических инвариантных множеств. Изучение хаотической динамики систем с разрывным оператором гистерезиса (Н.А.Бегун).
Продолжение исследования поведения решений динамических систем и систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями, изучение значимых для прикладных задач систем второго порядка с дискретным временем, нелинейность которых удовлетворяет обобщенному условию Рауса–Гурвица и имеет только положительный угловой коэффициент (Звягинцева Т.Е.).
Развитие методов дифференциальных неравенств и теорем сравнения. Применение методов дифференциальных неравенств и теорем сравнения к вопросу существования и поведения решений дифференциальных уравнений, заданных в замкнутых областях (Ильин Ю.А.).
Исследование глобальной структуры траекторий с помощью символической динамики, создание компьютерно-ориентированных методов проверки гиперболичности и структурной устойчивости динамических систем (Осипенко Г.С.).
Ожидаемые в конце периода, на который будет предоставлен грант, научные результаты
Е.В.Васильева в 2021 году продолжит выявление и изучение свойств множеств устойчивых периодических точек диффеоморфизмов, траектории которых лежат в достаточно малой окрестности траектории нетрансверсальной гомоклинической точки при различных способах касания устойчивого и неустойчивого многообразия в гомоклинической точке. Предполагается получение новых свойств множеств периодических точек, траектории которых лежат в малой окрестности нетрансверсального гетероклинического контура.
Задачу об изучении хаотических систем с разрывным оператором гистерезиса удается свести к так называемой задаче о перекладывании отрезков. Также удается указать область параметров, при которых траектории исходной системы оказываются сопряженными с траекториями "поворота окружности". В 2021 году предполагается разработать инструментарий для изучения поведения системы вне данной области параметров (Н.А.Бегун).
Т.Е.Звягинцева в 2021-м году продолжит изучение систем автоматического управления второго порядка с дискретным временем, нелинейность которых удовлетворяет обобщенному условию Рауса–Гурвица (и, возможно, другим дополнительным условиям, например, секторному условию). Цель – найти коэффициентные условия существования циклов бóльших периодов, чем 4 и 6, получение новых критериев глобальной устойчивости и существования периодических решений и предельных циклов у динамических систем и систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями (Звягинцева Т.Е.).
Для существенно нелинейных систем дифференциальных уравнений (систем с полностью нулевыми линейными частями) предполагается изучить задачу устойчивости нулевого решения, используя для этого идею принципа сведéния, аналогичного тому, что имеется в теории квазилинейных систем («принцип сведéния Плисса»), и существование многообразия нейтрального типа, доказанного в работе 2007 года (Ильин Ю.А. О существовании локально-интегральной поверхности критического типа у существенно нелинейной системы дифференциальных уравнений // Вестн. Санкт-Петербургского университета. Сер. 1: Матем., мех., астрон. Вып. 1. С.43-54). Также, будет продолжено выявление возможностей применения методов дифференциальных неравенств для изучения граничной задачи Коши, начатое совместно с Басовым В.В., в направлении нахождения коэффициентных условий существования или отсутствия решений для тех трудных случаев, которые до сих пор не удалось изучить (Ильин Ю.А.).
Ранее Г.С.Осипенко изучались аппроксимации инвариантных мер потоками на символическом образе. Было доказано, что множество потоков на символическом образе сходится к множеству инвариантных мер, если диаметр покрытия стремится к нулю, был изучен спектр усреднения функции над псевдотраекториями динамической системы и предельное множество усреднений произвольной функции. В 2020 году (Математические заметки, т.108. вып. 6, с.882-898) показано, что в случае, когда последовательность периодических траекторий сходится в среднем, среднее значение сходится к интегралу от функции по некоторой инвариантной мере. В 2021 году предполагается использовать полученный результат для аппроксимации инвариантных мер последовательностью распределений, порожденных периодическими псевдотраекториями. Планируется создать компьютерно-ориентированный метод построения инвариантных мер и локализации носителей этих мер и изучить предельное инвариантное множество сходящихся в среднем периодических псевдотраекторий. Будет предпринято усовершенствование компьютерно-ориентированных методов проверки гиперболичности и структурной устойчивости динамических систем (Г.С.Осипенко).
Все перечисленные задачи позволяют достигнуть основной цели проекта: исследование структуры интегральных множеств периодических и автономных систем дифференциальных уравнений (свойства устойчивых периодических решений периодических систем, признаки устойчивости слабо гиперболических инвариантных множеств, новые критерии глобальной устойчивости систем автоматического управления с петлей гистерезиса, дифференциальные неравенства в актуальных прикладных задачах, символическая динамика и компьютерно-ориентированные методы для изучения глобальной структуры траекторий).
Полный список членов коллектива, реализующего проект в следующем периоде (включая руководителя коллектива, не более 10 человек, указать ФИО)
Васильева Екатерина Викторовна, Профессор
Бегун Никита Андреевич, Научный сотрудник
Звягинцева Татьяна Евгеньевна, Доцент
Ильин Юрий Анатольевич, Доцент
Осипенко Георгий Сергеевич, Профессор
3.18.1.Запрашиваемый объем финансирования на следующий этап реализации проекта
900000
3.18.2.Обоснование запрашиваемого финансирования
Финансирование предполагает расходы
на компенсацию расходов организации
на предоставление условий для реализации проекта (15%) в сумме 135000 руб.
и расходы на личное потребление Грантополучателя в сумме 765000 руб.
(для 5 исполнителей проекта):
1. Васильева Екатерина Викторовна, Профессор
2. Бегун Никита Андреевич, Научный сотрудник
3. Звягинцева Татьяна Евгеньевна, Доцент
4. Ильин Юрий Анатольевич, Доцент
5. Осипенко Георгий Сергеевич, Профессор
