Целью проекта является теоретический анализ динамической магнитной восприимчивости скирмионного кристалла, а также исследование аномального теплопереноса (теплового эффекта Холла) в таких системах, осуществляемого топологическими магнонами.

Решётки магнитных скирмионов были обнаружены экспериментально более десяти лет назад. С тех пор исследовательский интерес к ним лишь растёт. Этот интерес подогревается потенциальной возможностью создания на основе магнитных скирмионов новых сверхбыстрых и ёмких устройств оперативной памяти [1]. Помимо практического интереса, теоретические исследования низкоразмерных топологических структур представляют и непосредственный академический интерес.

В магнетиках без центра инверсии, в которых реализуются фазы скирмионных кристаллов, ключевым объектом для описания системы является динамическая магнитная восприимчивость. Эта восприимчивость содержит весьма полную информацию о динамике магнитных структур и может быть использована при анализе экспериментальных данных, в частности, она определяет неупругое рассеяние нейтронов и частоты магнитного резонанса.

Нетривиальная топология основного состояния решётки магнитных скирмионов проявляется также в свойствах элементарных возбуждений (магнонов) над таким магнитоупорядоченным состоянием. Топологические свойства дисперсии магнонов в скирмионных кристаллах должны приводить к аномальным транспортным свойствам, например, к тепловому эффекту Холла.

Последовательная теория теплового эффекта Холла и подробный анализ тензора магнитной восприимчивости в решётках магнитных скирмионов в настоящее время отсутствует, что определяет актуальность данного исследования. Научная значимость исследования определяется тем, что решение поставленных задач позволит определить перспективы и возможные ограничения для использования магнитных скирмионов в наноэлектронике и квантовой информатике.

Проект подразумевает построение последовательной теории аномального переноса тепла магнонами в решётках магнитных скирмионов, а также связанный с этим полноценный теоретический анализ тензора динамической магнитной восприимчивости таких систем. Для решения этой комплексной задачи предполагается решить следующие конкретные задачи :
1) Развить общий математический аппарат, позволяющий проанализировать магнитную динамическую восприимчивость решёток магнитных скирмионов.
2) Построить полноценную теорию теплового холловского эффекта в магнитных структурах с топологически нетривиальным основным состоянием

Принципиальным отличием исследуемых систем от ранее изученных является нетривиальность их основного состояния. Решётки магнитных скирмионов представляют собой сверхрешётки топологических магнитных солитонов, классическая локальная намагниченность в такой конфигурации топологически нетривиальна и не может быть непрерывным образом трансформирована к однородной намагниченности. Это в первую очередь и определяет новизну данного исследования, существенно усложняя стандартные процедуры анализа таких величин как дисперсия элементарных возбуждений, тензор магнитной восприимчивости и др.

Топологические аспекты теории конденсированного состояния интересуют участников проекта не первый год, однако поставленные задачи до этого не исследовались. Тепловые транспортные свойства бозонных систем будут исследоваться коллективом впервые. У членов коллектива есть большой опыт исследований магнитных явлений в конденсированных средах, а также немалый опыт совместной работы и выполнения проектов. Разработанный в работах участников проекта метод теоретического анализа [П1,П2,П3] представляется вполне адекватным для успешного решения поставленных задач.

Следует особо отметить, что все известные нам теоретические исследования динамических свойств скирмионных конфигураций либо полностью полагаются на численное моделирование, либо численно минимизируют энергию классической конфигурации конечной системы спинов на решетке с последующим использованием спин-волнового формализма. Предлагаемый в проекте метод использует аналитический подход вплоть до последнего шага, нахождения спектра магнонов в системе с конкретными параметрами.

Существование метастабильных топологически нетривиальных вихревых состояний в плоских ферромагнитных плёнках было предсказано в пионерской работе Белавина-Полякова [2]. Впоследствии было показано, что одновременное наличие взаимодействия Дзялошинского-Мории (ДМ) и внешнего магнитного поля может стабилизировать магнитные скирмионы и приводить к тому, что минимуму энергии отвечают упорядоченные решётки таких объектов [3]. Впервые решётки магнитных скирмионов наблюдались в экспериментах по рассеянию нейтронов [4], а также при помощи лоренцевской просвечивающей электронной микроскопии [5]. С тех пор исследовательский интерес к ним лишь растёт, всё чаще находят новые соединения, в которых реализуются новые скирмионные структуры различной топологической природы и симметрии (см. обзор [6]).
Взаимодействие ДМ имеет спин-орбитальную природу, которое в свою очередь является проявлением релятивистских эффектов, и как правило существенно меньше «основного» ферромагнитного обменного взаимодействия. Из-за этого характерный размер магнитных структур, возникающих из-за взаимодействия ДМ, превышает межатомные расстояния в несколько сотен, а то и тысяч раз. Это обстоятельство позволяет перейти к непрерывному пределу, и выразить энергию системы в терминах поля намагниченности. Намагниченность достигает насыщения при температурах гораздо ниже критической, и её абсолютная величина не должна меняться в пространстве, что накладывает на систему дополнительное условие. Полевые модели с такими ограничениями называются нелинейными сигма-моделями, уравнения движения для них существенно нелинейны и допускают аналитические решения в исключительных случаях. Это может приводить к трудностям уже на этапе поиска основного состояния системы, не говоря уже про исследования других свойств. Такие трудности вынуждают исследователей прибегать к разного рода ухищрениям и упрощениям при исследовании многоскирмионных конфигураций в таких моделях.
Наиболее изученным является случай уединённого магнитного скирмиона [7]. Аксиальная симметрия такой конфигурации позволяет существенно упростить уравнения, с хорошей точностью найти оптимальную конфигурацию основного состояния, а затем рассмотреть небольшие отклонения от положения равновесия. Подобный анализ показывает, что квантовые возбуждения единичного скирмиона можно классифицировать в терминах магнитного квантового числа и интерпретировать как деформации его формы: дилатационная мода, эллиптическая, треугольная и т.д. В определенном смысле уединённый скирмион можно воспринимать как круговую доменную стенку малого радиуса, и использовать для описания движения её как целого уравнение Тиле [8]. Добавляя в это уравнение дополнительные члены, можно учесть взаимодействие скирмионов с потоком поляризованных электронов и исследовать топологический эффект Холла [9], возникающий из-за взаимодействия электронов с закрученной локальной намагниченностью скирмиона. Отметим, что это же уравнение Тиле широко применяется также при изучении динамики скирмионных решёток.
Исследования спиновой динамики скирмионных решёток можно грубо разделить на две группы: микромагнитное моделирование динамики спинов на дискретной решётке и анализ динамики вблизи температуры перехода с использование приближения тройной спирали. Первая группа исследований многочисленна, однако такой подход требует больших вычислительных мощностей и сопряжён с определёнными трудностями. Во-первых, перед тем, как исследовать динамику, следует каким-то образом (например, методом Монте-Карло) найти оптимальную статическую конфигурацию намагниченности системы с очень большим числом степеней свободы; во-вторых, такого рода численные расчёты всегда сопряжены с конкретными параметрами системы: обменными константами, параметрами решётки и др. С учётом этих особенностей данный подход не может считаться полноценной исчерпывающей теорией спиновой динамики скирмионных решёток. Исследований из второй группы существенно меньше, из плюсов такого подхода можно отметить гораздо большее использование аналитических методов, т.е. более общую постановку задачи. Однако, следует отметить, что у такого подхода тоже существует изъян: моделирование решётки скирмионов происходит в обратном пространстве, и в качестве статической конфигурации локальной намагниченности используется конечная сумма по нескольким фурье-компонентам, минимизирующая энергию. На этом этапе в каком-то смысле забывается о том, что система является набором топологических солитонов, каждый из которых является довольно сложным объектом.
В задачи проекта входит изучение теплового эффекта Холла, и здесь следует вкратце рассказать о современном состоянии дел в этой области. Тепловой эффект Холла для электронов был впервые обнаружен в конце девятнадцатого века, и известен как эффект Риги-Ледюка (Righi–Leduc). Эффект заключается в том, что в проводнике с градиентом температуры в одном направлении и во внешнем магнитном поле перпендикулярном этому градиенту, возникает дополнительный поток тепла в направлении, перпендикулярном двум другим. Для заряженных частиц, таких как электроны, этот эффект объясняется в рамках кинетического уравнения классической теории.
На первый взгляд для изоляторов ничего подобного наблюдаться не должно, ведь в них отсутствуют свободные переносчики заряда. Однако, не так давно было показано, что подобное явление наблюдается и для фононов [10], которые являются бозонами и зарядом не обладают. Объясняется это тем, что в системах с сильным спин-орбитальным взаимодействием фононы начинают взаимодействовать с локальными магнитными моментами на узлах решётки, что усложняет гамильтониан и приводит к Холловской проводимости фононов. Схожее явление теплопереноса в направлении перпендикулярном основному было теоретически предсказано, а затем экспериментально обнаружено в коллинеарных квантовых магнетиках со сложной кристаллической структурой типа пирохлора [11]. В такой решётке может возникать взаимодействие ДМ, которое не приводит к перестройке основного состояния в силу особенностей кристаллической решётки. Однако взаимодействие ДМ влияет на поведение спиновых волн и в приближении сильной связи приводит к появлению дополнительной фазы при прыжке магнона с одного узла решётки на соседний. Подобный набег фазы может быть интерпретирован как появление в системе векторного (калибровочного) поля. В работе [12] было показано, что это приводит к ненулевой холловской теплопроводности.
Особый интерес для данного проекта представляет характер спиновых возмущений скирмионного кристалла. Ранее было показано [13], что зонная структура возбуждений скирмионных решёток может иметь сложную структуру. Среди низколежащих зон есть зоны с нетривиальными топологическими индексами, а дифференциальная характеристика - кривизна Берри - таких зон может менять знак внутри зоны Бриллюэна, что в свою очередь может приводить к тепловому эффекту Холла.
В вопросах динамики и спиновой восприимчивости решёток магнитных скирмионов, среди главных конкурентов можно назвать группу профессора М.Гарста Технологического Института Карлсруэ (Markus Garst, Karlsruhe Institute of Technology, Germany). В последние годы этой группой был опубликован ряд работ [14], посвящённых различным аспектам динамики скирмионных решёток, а также динамике магнитных конических спиралей и распространению магнонов в таких системах.
Основными научными конкурентами в вопросах теплового транспорта магнонов является-группа профессора Дж.Х. Хан из корейского университета Сюнкюнкван (Jung Hoon Han, Sungkyunkwan University, Korea). В феврале этого года появился препринт [15], в котором проведён численный анализ теплового Холловского эффекта, индуцированного скирмионами.
Главным отличием исследований, планируемых в настоящем проекте, от работ [14, 15], является практически полностью аналитический подход к проблеме в низкотемпературной фазе, и привлечение численных расчетов только на последней стадии вычислений.

Литература
[1] H. Vakili, et al., "Skyrmionics - Computing and memory technologies based on topological excitations in magnets.", Journal of Applied Physics 130, 070908 (2021).
[2] A.A. Belavin and A.M. Polyakov, "Metastable states of two-dimensional isotropic ferromagnets." JETP Letters 22, 245 (1975).
[3] A. Bogdanov, and A. Hubert. "Thermodynamically stable magnetic vortex states in magnetic crystals." JMMM 138, 255( 1994).
[4] S. Muehlbauer, B. Binz, F. Jonietz, C. Pfleiderer, A. Rosch, A. Neubauer, R. Georgii, and P. B¨oni, Science 323, 915 (2009).
[5] X. Yu, Y. Onose, N. Kanazawa, J. Park, J. Han, Y. Matsui, N. Nagaosa, and Y. Tokura, Nature 465, 901 (2010).
[6] K. Everschor-Sitte, J. Masell, R. M. Reeve, and M. Kl¨aui, Journal of Applied Physics 124, 240901 (2018).
[7] C. Schuette and M. Garst, Physical Review B 90, 094423 (2014).
[8] A. A. Thiele, Phys. Rev. Lett. 30, 230 (1973).
[9] B. Göbel, et al. "The family of topological Hall effects for electrons in skyrmion crystals." The European Physical Journal B 91.8 (2018): 1-7.
[10] L. Zhang et al., «Topological Nature of the Phonon Hall Effect», Phys. Rev. Lett. 105, 225901 (2010).
[11] Y. Onose. et al. “Observation of the magnon Hall effect”, Science. 329 (2010).
[12] H. Katsura, N. Nagaosa, and P. A. Lee, Phys. Rev. Lett. 104, 066403 (2010).
[13] A. Roldan-Molina, A. Nunez, and J. Fernandez-Rossier, New Journal of Physics 18, 045015 (2016)
[14] M. Garst, J. Waizner, and D. Grundler, Journal of Physics D: Applied Physics 50, 293002 (2017).
[15] M. Akazawa et al., arXiv:2102.06430

Для выполнения поставленных в проекте задач предполагается использовать ряд оригинальных подходов и методов, аналитических и численных, которые ранее были успешно использованы авторами проекта при анализе близких задач.

Участниками коллектива разработан и апробирован оригинальный подход к описанию спиновой динамики мультискирмионных конфигураций, описанный ниже в п.4.7., здесь мы опишем кратко его суть.

Магнитная динамика при низких температурах описывается поперечными колебаниями вектора намагниченности вокруг равновесного насыщенного значения, которое может быть направлено по разному в разных частях кристалла. Компоненты вектора локальной намагниченности в методе стереографической проекции выражаются через функцию комплексного переменного. Статическая конфигурация может быть найдена точно или приближенно, подбором параметров пробной функции с целью минимизировать плотность классической энергии. Динамика находится при учете флуктуаций вокруг статической конфигурации, при этом анализ второй вариационной производной соответствует стандартному спин-волновому приближению, из которого получается уравнение на дисперсию магннонов. Такое уравнение для конкретной статической конфигурации поддаётся численному анализу в базисе плоских волн.

Описанный подход был опробован в [П3] для конкретной модели скирмионного кристалла с гексагональной решеткой блоховских скирмионов, и было продемонстрировано согласие с численными работами других авторов. Мы планируем проанализировать также (наблюдаемые в ряде соединений) решётки квадратной симметрии и рассмотреть неелевские скирмионы и антискирмионы, т.к. описывающие динамику уравнения от этого изменятся незначительно.

Зная дисперсию магнонов и волновые функции, можно написать написать стандартный инструментарий системы в гармоническом приближении: гамильтониан системы в терминах операторов рождения и уничтожения, функцию Грина и т.д. Однако, знание спектра и волновых функций в нашем случае еще не означает знание наблюдаемой восприимчивости, поскольку компоненты намагниченности и функция-образ стереографической проекции связаны нелинейно. В результате, следует ожидать, что наблюдаемая восприимчивость будет некой свёрткой гриновской функции магнонов с функцией-формфактором скирмионов.

Для расчёта тепловых транспортных свойств будет использоваться метод, разработанный Латтинджером для вычисления теплопроводности. [J. M. Luttinger, Phys. Rev. 135, A1505 (1964)] Впоследствии этот метод был использован для описания теплового эффекта Холла спиновых волн в коллинеарных магнетиках, а также магнетиках с сильным дипольным взаимодействием. [R. Matsumoto et al., Phys. Rev. B 89, 054420 (2014)] В нашем случае формулы для описания тепловых транспортных свойств должны быть модифицированы, чтобы учесть нетривиальную связь между операторами магнонов и наблюдаемыми компонентами намагниченности.

Анализ тепловых транспортных свойств подразумевает знание топологических характеристик зонной структуры элементарных возбуждений, т.н. кривизны Берри и индексов Черна. Для численных оценок в конкретных моделях скирмионного кристалла мы планируем вычисление этих величин с помощью известного метода [ Fukui et al., J.Phys.Soc.Japan 74, 1674 (2005)], уже доказавшего нам свою эффективность.[П3]

План работ на весь срок выполнения проекта с разбивкой по годам
(2022 год)
Вычисление тензора динамической магнитной восприимчивости для скирмионного кристалла в слоистом магнетике с взаимодействием ДМ и магнитным полем. Планируется сначала нахождение выражений в общем виде, с последующим численным расчетом для ряда конкретных значений параметров.
Предварительный анализ холловской теплопроводности для скирмионного кристалла на основе феноменологической картины, в которой наибольший вклад в кривизну Берри дается окрестностью дираковских точек спектра.

(2023 год)
Полное вычисление холловской теплопроводности для скирмионного кристалла с использованием формализма стереографической проекции. Анализ получающихся выражений; попытка их упрощения в рамках сформулированной выше феноменологической картины.
Продолжение изучения динамической восприимчивости скирмионного кристалла, анализ влияния одноосной анизотропии на профиль скирмионов, их взаимодействие и спектр магнонов. Исследование возможности формирования квадратной решетки скирмионов при наличии одноосной анизотропии.