1. Найдены уравнения движения фиктивной материи, возникающей при записи теории вложения в форме ОТО с дополнительной фиктивной материей, описываемой ее тензором энергии-импульса и функцией вложения. Их удалось записать в виде набора динамических уравнений с первыми производными по времени и согласованных с ними связей, ограничивающих переменные в каждый момент времени. Далее для этих уравнений был получен нерелятивистский предел, т.е. выделен класс решений, соответствующих нерелятивистскому движению фиктивной материи. Такие решения оказались стабильными в том смысле, что если в начальный момент движение фиктивной материи было нерелятивистским, то оно остается таковым и далее. Полученные нерелятивистские уравнения содержат члены, описывающие определенное самодействие фиктивной материи. Это особенно интересно, поскольку при обычных предположениях о темной материи для ее распределения в галактиках возникает ряд проблем при сравнении с наблюдениями, например предсказываемая слишком большая плотность в центре (так называемая "core-cusp" проблема). Появление самодействия может оказаться полезным для решения таких проблем. Результаты опубликованы в работе S.A. Paston, Universe 6:10 (2020) 163.
Также рассмотрен альтернативный подход к анализу уравнений движения теории вложения в нерелятивистском пределе. В этом подходе при анализе уравнений движения в качестве независимой переменной используется неквадратный репер, как в исследуемом в п.3 варианте теории вложения Фаддеева. Такой подход может оказаться более предпочтительным при анализе уравнений теории вложения в других интересных случаях, отличных от нерелятивистского предела. Результаты опубликованы в работе S.A. Paston, Modern Physics Letters A 36:15 (2021) 2150101.
С целью изучения возможности решения "core-cusp" проблемы в результате появления самодействия фиктивной материи без трудоемких численных симуляций был разработан метод аналитического анализа возникновения core или cusp распределений плотности материи в галактиках. Результаты опубликованы в работе A.D. Kapustin, S.A. Paston, JCAP 2022:11 (2022) 025.
Поскольку теория вложения возникает из ОТО в результате замены переменных, содержащей дифференцирование, для ее изучения полезно проанализировать общие свойства возникающих таким способом теорий и сравнить их конкретные примеры. Наиболее, наверное, близким к теории вложения и хорошо изученным примером является предложенная в 2014 г миметическая гравитация. В рамках проекта были рассмотрены различные примеры теорий, возникающих в результате содержащей дифференцирование замены переменных, начиная с механической системы и включая теорию скалярного поля, гравитацию Гильберта-Палатини и гравитацию, возникающую в результате дисформного преобразования. Результаты опубликованы в работе A.A. Sheykin, D.P. Solovyev, V.V. Sukhanov, S.A. Paston, Symmetry 12:2 (2020) 240.

2. Исследована теория возмущений для уравнений движения теории вложения над фоном, для которого поправки к функции вложения линейны по поправкам к плоской метрике. В качестве фона использованы вложения пространства Минковского, имеющие свойства "развернутости" (см. п.4). Найдены линеаризованные уравнения движения, они оказываются несколько отличающимися от уравнений, получаемых в нерелятивистском пределе. Произвол, остающийся при решении линеаризованных уравнений фиксируется предположением о статичности решения во втором порядке, что соответствует стационарному состоянию уже сформировавшейся галактики. Получено нелинейное дифференциальное уравнение, позволяющее для сферически-симметричного случая находить гравитационный потенциал, если задано фоновое вложение. Предложен параметризуемый одной функцией явный вид сферически симметричного фона. Показано, что существует такой способ выбора этой функции, при котором гравитационный потенциал оказывается хорошо согласующимся с наблюдаемым распределением темной материи в гало галактик. Результаты опубликованы в работе S.S. Kuptsov, M.V. Ioffe, S.N. Manida, S.A. Paston, Universe 8:12 (2022) 635.
Также изучались вакуумные статические сферически симметричные решения уравнений движения теории вложения, соответствующие 2+1-мерной поверхности, вложенной в 5+1-мерное плоское объемлющее пространство. Было показано существование класса поверхностей с неплоской метрикой, отвечающих неэйнштейновским решениям этих уравнений (поскольку в 2+1-мерной теории Эйнштейна единственным вакуумным решением полевых уравнений
является плоское пространство). Таким образом, показано, что в теории вложения в 2+1-мерном пространстве гравитационное поле может существовать вне источников даже без космологической константы. Результаты содержатся в работе A.Sheykin, A.Grechko, "Lower-dimensional Regge-Teitelboim gravity", arxiv:2211.05055, принято к публикации в журнал Gravitation and Cosmology 29:1 (2023).

3. Проведено исследование варианта теории вложения Л.Д.Фаддеева, в котором независимой переменной считается не функция вложения, а неквадратный репер, который в стандартном подходе Редже-Тейтельбойма получается из функции вложения дифференцированием. Такой выбор независимой переменной упрощает уравнения движения (в них возникает меньшее число дифференцирований), однако может, в принципе, приводить к появлению в теории кручения. Если предположить отсутствие кручения, в пользу чего имеются некоторые аргументы, то теория оказывается эквивалентной ОТО и может использоваться при попытках построения квантовой теории. Однако, если решения с кручением все-таки присутствуют, это означает не полную эквивалентность данного подхода и ОТО. При этом возникающее кручение не обязательно будет наблюдаемым напрямую - оно не будет заметно, если материя взаимодействует только с метрикой. Однако, подстановка соответствующей метрики в уравнения Эйнштейна будут давать присутствие некоторой фиктивной "дополнительной" материи, которая может играть роль темной материи, что является мотивацией для анализа ее свойств. Для записи теории в эквивалентном виде в форме ОТО с дополнительной фиктивной материей, описываемой неквадратным репером и некоторым набором множителей Лагранжа, были получены уравнения теории, в частности – выражение тензора энергии импульса для фиктивной материи. Уравнения анализировались в пределе слабого гравитационного поля, в которым они из-за особенностей теории вложения оказываются в общем случае нелинейными. Показано, что в некотором классе решений их можно превратить в линейные, при этом, в частности, резко упрощается вид тензора энергии-импульса фиктивной материи. Предъявлено решение полученных уравнений, соответствующее ненулевому значению этого тензора энергии-импульса, фиктивная материя при этом имеет уравнение состояние ультрарелятивистской материи. Таким образом, доказано, что вариант теории вложения Фаддеева может иметь решения, отличные от решений ОТО.
Результаты опубликованы в работе S.S. Kuptsov, S.A. Paston, Journal of Physics: Conference Series 2103 (2021) 012003.
Также исследовались разные варианты теории разбиения (разновидности теории вложения, имеющей вид некоторой теории поля в плоском объемлющем пространстве) с выбором независимых переменных, аналогичным использованным в подходе Фаддеева: когда вместо функции разбиения независимым объявляется неквадратный репер, обычно составленный из производных от функции разбиения. Был найден вид действия теории, дающий уравнения движения с не более чем вторыми производными от независимой переменной. Были получены уравнения движения теории, однако, их форма оказалась слишком далекой от уравнений ОТО.

4. Нетривиальные (т.е. не являющиеся плоскостью в объемлющем пространстве) изометрические вложения плоских метрик, в первую очередь – пространства Минковского, представляют интерес с точки зрения описания гравитации в подходе теории вложения. От таких вложений можно дополнительно требовать наличия у них такой же симметрии, какой обладает метрика. Для физических приложений важную роль играет другое возможное требование – требование развернутости, которое означает что поверхность в объемлющем пространстве занимает подпространство максимально возможной размерности (т.е. поверхность не оказывается вложенной в некоторое плоское подпространство объемлющего пространства).
Используя новый метод последовательных изгибаний и стартуя с простого вложения, являющегося прямым произведением нескольких окружностей, а далее осуществляя изгибание многомерной плоскости, которая содержит такое вложение, в поперечных к ней направлениях, удалось построить развернутые вложения евклидова трехмерного пространства в 9-мерное плоское объемлющее пространство и пространства Минковского в 10мерное и в 14мерное плоские объемлющие пространства. Результаты опубликованы в работе S.A. Paston, T.I. Zaitseva, Universe 7:12 (2021) 477.
Разработанный новый обобщенный алгоритм построения явных вложений позволил впервые найти глобальное вложение вращающейся 2+1-мерной черной дыры Баньядоса-Тейтельбойма-Занелли (BTZ), а также построить глобальное вложение космологической модели Геделя. Глобальное вложение черной дыры BTZ является первым известным глобальным явным вложением черной дыры с моментом. Его получение является важным шагом на пути построения явного глобального вложения метрики Керра - 3+1-мерной черной дыры, обладающей угловым моментом. Результаты опубликованы в работе A.A. Sheykin, M.V. Markov, S.A. Paston, Journal of Mathematical Physics 62:10 (2021) 102502

5. В качестве примера метрики, соответствующей процессу коллапса, изучался случай коллапса однородного пылевого шара, для которого метрика хорошо известна. Для этого случая были впервые построены глобальные вложения для коллапсирующей черной дыры. При построении явных вложений использовался разработанный ранее участниками проекта метод, применимый в случае наличия достаточно большой симметрии задачи. В одном подходе отдельно рассматривалась внутренняя и внешняя части шара (каждая из которых обладает большей симметрией, чем задача в целом, что упрощает применение метода), после чего вложения частей модифицировались таким образом, чтобы их можно было гладко сшить. На этом пути были получено (1+5)-мерное глобальное вложение, соответствующее ситуации, когда пыль вылетает из белодырной сингулярности, после чего пылевой шар расширяется до его радиуса Шварцшильда, а потом расширение сменяется сжатием и материя падает в чернодырную сингулярность. Для близкого случая, когда материя вылетает из-под своего радиуса Шварцшильда, было найдено (1+6)-мерное вложение. В альтернативном подходе, не использущем разделение на две области, а значит при наличии меньшей симметрии, тем не менее удалось найти (2+5)-мерное вложение глобальное вложение. Оно относится к физически наиболее интересному случаю динамического образования горизонта, в котором материя падает с пространственной бесконечности, т.е. в прошлом пылевое облако разрежено и горизонт отсутствует. В качестве других примеров черных дыр, образуемых некоторым распределением материи, изучались так называемые регулярные черные дыры. Они интересны тем, что, обладая горизонтом, они не обладают центральной сингулярностью вследствие предположения об особых, нестандартных, свойствах образующей их материи. С использованием упомянутого выше метода для регулярных черных дыр были впервые получены глобальное явные изометрические (1+5)-мерные вложения трех различных типов. Все полученные явные вложения могут использоваться при анализе нетривиальной из-за наличия горизонтов геометрической структуры соответствующих псевдоримановых пространств. Результаты опубликованы в работах A.D. Kapustin, M.V. Ioffe, S.A. Paston, Classical and Quantum Gravity 37:7 (2020) 075019 и A.D. Kapustin, S.A. Paston, Journal of Physics: Conference Series 1697 (2020) 012082.
При выполнении проекта также изучалась возможность построения вложений других решений уравнений Эйнштейна с пылевидной материей. В частности, получен класс вложений обобщенной метрики Гёделя - аксиально-симметричной космологической модели ОТО. Этот класс описывает изометрические изгибания поверхности с метрикой Гёделя в 8-мерном объемлющем пространстве. Результаты опубликованы в работе A.A. Sheykin, M.V. Markov, Ya.A. Fedulov, S.A. Paston, Journal of Physics: Conference Series 1697 (2020) 012077.

6. Построено гамильтоново описание теории вложения, сформулированной как ОТО с дополнительной фиктивной материей. Показано, что после решения имеющих простой вид связей гамильтониан сводится к линейной комбинации 4 связей первого рода с множителями Лагранжа и в теории еще присутствуют 6 пар связей второго рода. Обсуждаются возможные способы учета этих связей. Показано, что при одном из способов решения каноническая система переходит в известную ранее каноническую формулировку полной теории вложения с неявно задаваемой связью. Результаты содержатся в работе S.A. Paston, T.I. Zaitseva, "Canonical formulation of embedding gravity in a form of General Relativity with dark matter", arxiv:2207.13654, принято к публикации в журнал Gravitation and Cosmology 29:2 (2023).
Изучено гамильтоново описание теории разбиения (варианта формулировки гравитации виде теории вложения) без наложения каких-либо дополнительных связей. Полученный канонический формализм оказывается полностью свободен от связей, однако гамильтониан удается записать только в виде неявно задаваемой функции канонических переменных. Изучен альтернативный способ записи действия теории разбиения, при котором оно оказывается явно инвариантно относительно симметрии, присутствующей для уравнений движения. Корректность такой записи действия проверена прямым вычислением. Результаты опубликованы в работе S.A. Paston, E.N. Semenova, A.A. Sheykin, Symmetry 12:5 (2020) 722.

7. Найдена общая форма псевдотензора и соответствующего ему суперпотенциала для локальных теорий гравитации наиболее общего вида: на форму лагранжиана а также закон преобразования независимых переменных не накладывалось никаких ограничений, кроме общековариантности действия материи и гравитации по отдельности. Была проанализирована структура полученного суперпотенциала, установлена связь вклада материи в полученный суперпотенциал с известным дополнительным вкладом Белинфанте. Рассмотрены частные случаи полученных выражений на примере гравитации Редже-Тейтельбойма и родственной ей эйнштейновской гравитации с заменой независимых переменных в виде дисформного преобразования (в частности, миметической гравитации). Полученные результаты могут быть полезны при исследовании широкого класса теорий гравитации с точки зрения построения интегралов движения в их теоретико-полевых формулировках. Результаты опубликованы в работе R.V. Ilin, S.A. Paston, Universe 6:10 (2020) 173.
Исследование интегралов движения для теорий гравитационного типа было продолжено - изучено их поведение при заменах независимых переменных в действиях, инвариантных относительно калибровочных преобразований. На примере миметической гравитации а также теории вложения было показано, что соответствующие данным теориям сохраняющиеся нётеровские токи и суперпотенциалы могут содержать в себе нековариантные члены, неустранимые общепринятыми способами. Для исследования данной проблемы были получены общие формулы, связывающие нётеровские токи в произвольных теориях, содержащих производные своих аргументов не выше второго порядка (до замены). На основе полученных формул а также неоднозначности выражения для нётеровских токов, был предъявлен способ модификации нётеровской процедуры, устраняющий указанные недостатки оригинального подхода. Полученный алгоритм полностью согласуется с уже известными выражениями для интегралов движения в теориях с не более чем вторыми производными в действии. Полученные результаты были применены для вывода изменения первого начала термодинамики чёрных дыр с энтропией Айера-Уолда до и после замены независимых переменных в действии. Результаты опубликованы в работе R.V. Ilin, Eur.Phys.J.Plus 137 (2022) 1144.

8. Дополнительно к исходному плану работы над проектом было проведен анализ свойств фундаментальных физических констант с позиций классификационной схемы, предложенной Ж.-М. Леви-Леблоном. Проанализировано поведение различных «естественных систем единиц»: планковской, теоретико-полевой и др., при изменении числа измерений пространства, в котором рассматривается теория в таких единицах. Результаты опубликованы в работе A.A. Sheykin, S.N. Manida, Universe 6:10 (2020) 166.
Также изучались возможности обобщения принципа относительности к средствам наблюдения, предложенного В. А. Фоком в квантовой механике. Было установлено, что каждая из универсальных констант (к которым, помимо постоянной Планка, относится скорость света и постоянная Больцмана) фигурирует в соотношениях неопределенностей, возникающих в соответствующей теории (предел Габора в теории информации и неравенства Бора-Розенфельда в статистической физике). Предложена интерпретация универсальных констант как характеристик степени несоизмеримости классических средств наблюдения и величин соответствующей теории. Показано, что принцип общей относительности Эйнштейна не может быть интерпретирован как принцип относительности к средствам наблюдения, поскольку в пространствах другого числа измерений (например, в 2+1-мерном пространстве-времени) взаимосвязь между гравитацией и инерцией, устанавливаемая общей относительностью, может отсутствовать. Результаты опубликованы в работе A.A. Sheykin, Foundations of Physics 52 (2022) 34.