Задачи научного проекта по направлениям исследований:
Методы задач Римана-Гильберта в теории ортогональных многочленов и кулоновских газов:
1.Исследование применения методов задач Римана-Гильберта для нахождения и уточнения асимптотики ортогональных многочленов, локальной и глобальной, в том числе в случае заострения граничных точек спектральной капли.
2.Исследование глобальной асимптотики диагонали ортогональных многочленов, установление интегральной формулы для соответствующего им ядра.
Гиперболические ряды Фурье и оптимальная упаковка:
3.Исследование гиперболических рядов Фурье и их непрерывных аналогов, связанных с задачами единственности и интерполяции решений уравнения Клейна-Гордона.
Интегралы от модулей производных рациональных функций:
4.Разработка новых подходов к исследованию интегралов от модулей производных рациональных функций. Предполагается получить новые неравенства в этой области, а также установить их связь с теорией спектра интегральных средних конформных отображений круга. Полученные результаты предполагается применить для получения новых результатов о метрических свойствах гармонической меры на жордановых кривых. В частности исследования будут направлены на решение следующих задач: задача Долженко об оценке интегралов от рациональных ограниченных в произвольной конечносвязной области (с неспрямляемой границей) функций; получение оценок спектра интегральных средних конформных отображений круга на области с неспрямляемыми границами; оценки интегральных функционалов от рациональных функций в зависимости от их норм в заданных областях, вывод оценок скорости приближения голоморфных функций в областях со сложной геометрией.
Регулярные и нерегулярные фреймы Габора:
5.Найти новые оконные функции, для которых можно описать фрейм-множество (все прямоугольные решетки такие, что соответствующая система частотно-временных сдвигов порождает фрейм в пространстве L^2(R)).
6.Получить новые результаты в теории полурегулярных фреймов (множеств вида L*Z, где Z-целые числа) и нерегулярных фреймов (произвольных дискретных подмножеств частотно-временной плоскости).
Прямые и обратные спектральные задачи для оператора Шрёдингера с точечными взаимодействиями и 2n × 2n систем типа Дирака:
7.Описать все инвариантные относительно группы симметрий правильного m-угольника операторы Шрёдингера с нетривиальными ядрами и указать размерности их ядер и, в частности, решить задачу Гриневича-Новикова о кратности нулевого собственного значения, исследовать расширения квадратичных форм лапласиана с добавлением взаимодействия с сингулярными потенциалами различного вида.
8.Осуществить решение обратной спектральной задачи для 2n × 2n системы типа Дирака на полуоси в случае локально суммируемой потенциальной матрицы.
Оценки функций от наборов операторов при их возмущении:
9.Получить оценки функций от операторов и функций от наборов операторов при их возмущении (продолжение работ по проекту в рамках соглашения от 04.06.2021 № 075-15-2021-602).
10.Провести расчеты над формулой следов в случае возмущений относительно ядерными операторами.
11.Изучить функциональное исчисление Вейля для пар некоммутирующих самосопряжённых операторов и оценок таких функций при возмущении.
Предельные теоремы и квази-симметрии точечных процессов:
12.Проведение подробного изучения предельных теорем для детерминантных и пфаффианных точечных процессов, возникающих в теории случайных матриц, а также действия на них группы диффеоморфизмов фазового пространства с компактным носителем, в том числе: исследование скорости сходимости в центральной предельной теореме для детерминантных и пфаффианных точечных процессов, исследование интерполяции функций по их значениям на реализациях точечных процессов, а также исследование теорем существования для точечных процессов.
Случайные множества, энтропия и энергетически эффективная аппроксимация:
13.Исследование асимптотических экстремальных и аппроксимационных свойств классов случайных процессов – экстремумов случайных процессов назначений, случайных множеств и их пересечений, энтропийных свойств метрических пространств с мерой, алгоритмов энергетически эффективной аппроксимации случайных процессов и полей, задач, посвященных вероятностям малых уклонений, рекурсивных нелинейных схем суммирования случайных величин.
Последовательности с единичной плотностью и свойства нулей типа Монтгомери:
14.Исследование последовательностей с единичной плотностью и анализ их парных корреляций, которое позволит понять, как взаимодействуют частицы в этих последовательностях.
15.Изучение класса последовательностей, удовлетворяющих свойству нулей дзета-функции Римана, найденному Монтгомери.
16.Исследование возможности совмещения спектров естественных самосопряженных операторов с обратными нулями дзета-функции с помощью конечно- и бесконечномерного возмущения.
Квантовые и классические интегрируемые динамические системы:
17.Разработка новых математических и компьютерных методов исследования динамических систем, возникающих в гамильтоновой механике и теории Колмогорова-Арнольда-Мозера, неголономной механике, теории оптимального управления, робототехнике, теоретической и прикладной информатике.
18.Развитие теории вырожденных или суперинтегрируемых систем, в которых инвариантные тензора Пуассона обладают функциями Казимира, совпадающими с заданными первыми интегралами, что позволяет использовать теорию симплектической редукции для изучения данных динамических систем, а также изучение суперинтегрируемых и дискретных динамических систем, связанных с теоремами сложения абелевых квадратур и изогениями алгебраических кривых.
19.Изучение тензорных инвариантов непрерывных и дискретных динамических систем на симплектических и пуассоновых многообразиях. Развитие методов би-гамильтоновой геометрии и геометрии Нийенхейса-Хаантьеса для построения полиномиальных деформаций скобок Ли-Пуассона и их классификации для малых размерностей пространства состояний, аналогично классификации Картана линейных скобок Пуассона. Полученные результаты планируется применить для развития математического аппарата пост-квантовой криптографии для построения рациональных деформаций скобок Пуассона, суперинтегрируемых систем и рациональных интегрируемых отображений и проверить математическим компьютерным экспериментом.
Результаты экспериментов будут использованы для нахождения инвариантных мер и гамильтонизации различных неголономных систем и систем, возникающих в теории оптимального управления и суб-римановой геометрии.
Статистическая механика:
20.Провести изучение флуктуационного спектра модели Изинга. В частности, изучение перехода от флуктуаций порядка N^{1/2} к N^{1/3} -- т.н. переход Baik-Ben Arous-Péché (BBP) в модели Изинга. Планируется показать, что в двумерной модели Изинга линейного размера N можно наблюдать флуктуации всех порядков N^a, где параметр а находится в пределах: 1/3<a<1/2.
21.Провести изучение универсальности процесса Airy_2. Предполагается установить универсальность распределения Трейси-Видома, а именно, что в процессе блуждания N отталкивающихся частиц в потенциальной яме на полупрямой, распределение самой правой из частиц даётся этим распределением для широкого класса потенциалов. Пока этот результат установлен нами с П. Феррари для линейного потенциала.
22.Провести изучение операторов с полиномиальным спектром. В частности, изучение конструкции, которая сопоставляет каждому посету X квадратную матрицу M^X. Её матричные элементы занумерованы парами линейных порядков P,Q на Х, и представляют собой мономы от переменных x_i. Её собственные значения -- это полиномы от x_i с целыми коэффициентами. Планируется изучение соответствующих представлений симметрической группы и её подгрупп.
Асимптотическая теория представлений:
23.Развитие методов математической физики, в частности, теории интегрируемых систем с применением алгебраической геометрии, приложение этих методов к задачам анализа и теории вероятностей:
- построить описание предельной формы и флуктуаций замощений шестиугольника с условием склейки, соответствующих кососимметрической двойственности Хау для общих линейных групп, при различных выборах параметров специализации, изучить совместимость склейки статистических сумм и теории перенормировок;
- изучить связь деформации решений уравнений анзатца Бете решёточного магнетика и модели Годена в зависимости от параметров модели с комбинаторными операциями на таблицах Юнга;
- изучить свойства интегрируемости полуклассических ортогональных полиномов, получающихся путем преобразования Кристоффеля из полиномов Кравчука. Установить соответствующее дискретное уравнение Пенлеве и его место в классификации Сакая, а также изучить связь геометрии, соответствующей данному дискретному уравнению Пенлеве, с теорией представлений симплектических групп. Конструкция Вульфа для капель в модели димеров на треугольной решетке.
Многомерная аппроксимация: восстановление функций по значениям в точках, связь с машинным обучением:
24.Развитие теории многомерных аппроксимаций как в современном направлении нелинейных разреженных приближений, так и в классическом направлении приближений гладких функций многих переменных. Исследовать поведение последовательностей наименьших уклонений при m-членных приближениях относительно общих и конкретных словарей. Особое внимание будет уделено изучению оптимальной ошибки восстановления функций по значениям в точках (по выборке). Наряду с классическими классами, которые определяются условиями гладкости, исследовать новый вид классов, определяемых структурными условиями. Такие классы естественно возникли в теории нелинейных приближений.
25.Продолжить детальное исследование задачи универсальной дискретизации интегральных норм функций из семейства подпространств, порожденных наборами из произвольных m элементов заданного конечного словаря. Задачи дискретизации тесно связаны с фундаментальными проблемами машинного обучения.
Приложения топологии и комплексного анализа в математической физике и, в частности, в физике твердого тела:
26.Построение инвариантов топологических диэлектриков с помощью редукции этой задачи к задаче об описании гомотопических классов непрерывных отображений тора в грассмановы многообразия; описание топологических диэлектриков, инвариантных относительно обращения времени; описание инвариантов топологических диэлектриков в терминах K-теории; связь топологических инвариантов диэлектрика с топологическими инвариантами его границы.
Квантованные приближения в общих банаховых и конкретных функциональных пространствах:
27.Развитие теории квантованных приближений, т.е. приближений, при которых в качестве приближающего элемента берется линейная комбинация элементов из заданного множества с коэффициентами, пропорциональными некоторому фиксированному числу («кванту», который в теоретической постановке можно считать равным 1).
28.Исследование условий на множество в нормированном пространстве, необходимых или достаточных для того, чтобы всевозможные суммы элементов этого множества были плотны в этом пространстве (задача о плотности аддитивной полугруппы, порожденной заданным множеством в заданном пространстве).
29.Поиск алгоритмов получения хороших квантованных приближений заданного элемента. Оценка скорости квантованных приближений – как наилучших возможных (наименьших уклонений), так и получаемых в ходе работы каких-то алгоритмов – в зависимости от количества слагаемых в приближающей квантованной комбинации.
Экстремальные задачи линейной и нелинейной оптимизации Фурье, их приложения в дискретной геометрии и аппроксимации:
30.Исследование и решение некоторых экстремальных задач гармонического анализа на многомерных многообразиях для положительно определенных функций, включая варианты известных проблем Турана, Дельсарта, Фейеш Тота, изучение нового подхода в данной проблематике, основанного на соотношениях двойственности. Решения задач для положительно определенных функций находят интересные и важные приложения в дискретной геометрии, где планируется рассмотреть направление, связанное с оценками мощности взвешенных дизайнов, образующих узлы алгебраически точных квадратурных формул на сфере и других компактных однородных пространствах. Для оценок сверху планируется разработать методику построения параметрических семейств взвешенных дизайнов на основе вывода характеристического алгебраического уравнения. В оценках снизу задача состоит в усовершенствовании техники аналитического решения задач линейного программирования Дельсарта за счет соотношений двойственности, компьютерных вычислений и анализа решений полиномиальных систем.
31.Изучить некоторые классические проблемы теории приближений, также связанные с экстремальными задачами, но уже нелинейной оптимизации Фурье. В частности, планируется перенести метод Геронимуса для тригонометрической интегральной константы Никольского на случай целых функций экспоненциального типа, обобщить этот подход на весовые пространства. Планируется исследовать задачу нахождения точного поперечника Колмогорова для классов функций на сфере и других компактных однородных пространствах.
Изучение взаимосвязи между аппроксимативными и геометрическими характеристиками множеств:
32.В классической геометрической теории приближений (в нормированных и несимметрично нормированных пространствах) разработка нового аппарата изучения геометрических и аппроксимативных свойств множеств – теории очистки и теории действующих точек единичной сферы. Здесь под теоремами об очистке понимаются необходимые условия, которые позволяют сужать (очищать) область оптимизации заданного функционала без изменения его оптимального значения.
Спектральный анализ случайных матриц:
33.Получение универсальных результатов (законов) для спектра случайных матриц большой размерности при минимальных предположениях на данные, нахождение оптимальных условий выполнимости классических законов в предположении зависимости элементов матриц. Планируется исследование (в общих условиях зависимости в данных) асимптотического поведения функционалов, включающих резольвенты случайных матриц и возникающих при изучении алгоритмов анализа «больших» данных, а также исследование востребованных на практике оценок экстремальных собственных чисел, оценок точности аппроксимации в предельных законах теории случайных матриц при минимальных предположениях на данные.
Синтез цветовых преобразований для медицинских видеоэндоскопических систем:
34.Разработка нового критерия оценки точности цветовых преобразований для видеоэндоскопических систем, учитывающих специфику исходных данных и сферы применения. К главным особенностям нового критерия следует отнести переход от традиционно используемого скалярного критерия средней ошибки цветопередачи к векторному критерию. Он должен включать в себя одновременно с оценкой цветопередачи и оценку сохранения цветового контраста. Кроме того, оценка качества цветопередачи не должна формироваться как средняя ошибка всех передаваемых цветов. Должны быть выделены значимые для формируемого изображения цвета, причем каждый значимый цвет следует рассматривать как отдельный показатель качества цветопередачи.
35.Разработка методов синтеза цветовых преобразований, соответствующих новому критерию, обеспечивающих повышение диагностической ценности эндоскопических изображений. При этом необходимо учитывать особенности зрения человека: различную чувствительность зрения к ошибкам цветопередачи в разных цветах, а также отличие зрения конкретного наблюдателя от модели стандартного наблюдателя, используемой сегодня при формировании любого цветного изображения. Первая особенность требует выполнения всех расчетов в униформном (равноконтрастном) цветовом пространстве или использования метрики CIEDE2000 как максимально соответствующей особенностям зрения человека. Вторая особенность требует персонализованного цветового преобразования.
Основанный на многокритериальной оптимизации универсальный подход к построению математических моделей в медицине:
36.В рамках математического моделирования для задач медицины разработать основанный на многокритериальной оптимизации универсальный подход к построению моделей, позволяющих существенно увеличить точность диагностики для социально значимых заболеваний, снизить развитие побочных реакций и повысить эффективность лечения, в том числе благодаря формированию новых персонализированных подходов к подбору терапии. Под упомянутой многокритериальной оптимизацией понимается одновременная оптимизация нескольких конфликтующих показателей. В задачах диагностики такими конфликтующими показателями могут быть, например, чувствительность и специфичность, а в задачах подбора терапии – показатели, характеризующие ее эффективность и безопасность.
37.Построение и внедрение в практику математической модели, позволяющей с высокой точностью прогнозировать тромботические осложнения у онкологических больных (цель — своевременно назначать антикоагулянтную профилактику и предотвращать тромбозы и эмболии, которые вносят существенный вклад в фатальные исходы у таких больных).
Анализ данных по рецидивирующей форме медуллобластомы и разработка терапии для этой и других форм онкологических заболеваний:
38.Проведение детального многофакторного анализа имеющихся у членов научного коллектива уникальных данных по лечению рецидивирующей формы медуллобластомы с целью достичь более оптимального использования существующих видов терапии.
39.Создание нового метода терапии – подбор с помощью экспериментов in vitro и машинного обучения (нейронные сети, многокритериальная оптимизация) оптимального сочетания препаратов, одновременно воздействующих на различные мишени в клетках опухоли и подавляющих сразу несколько биологических механизмов, необходимых для ее существования.
Приложения машинного обучения во фтизиатрии:
40.Подбор с помощью машинного обучения наилучшего сочетания препаратов для лечения лекарственно устойчивого туберкулеза с учетом индивидуальных особенностей и тяжести коморбидного статуса пациента, а также характеристик выделенного возбудителя (целью является решение крайне актуальной проблемы распространения резистентных форм туберкулеза, плохо поддающихся лечению стандартными средствами терапии).