Фундаментальной научной проблемой, на решение которой направлен проект, является исследование асимптотического поведения сумм независимых и зависимых случайных величин, случайных процессов и их приращений. Проект направлен на получение новых сильных предельных теорем и теорем о больших уклонениях для комбинаторных сумм. Планируется доказать новые предельные теоремы о поведении приращений сумм независимых случайных величин и случайных процессов. Предполагается получить новые варианты леммы Бореля-Кантелли и оценок вероятностей совместного осуществления событий.
Решение обозначенной проблемы актуально и имеет высокую научную значимость. Это обусловлено фундаментальным значением для теории вероятностей, математической статистики и их различных приложений асимптотических результатов и методов теории суммирования независимых и зависимых случайных величин, теории случайных процессов и свойств рассматриваемых моделей. Исследования в указанных направлениях интенсивно ведутся многими учеными. Получение новых результатов в этих направлениях представляет существенный интерес.
Проект направлен на решение следующих конкретных задач:
1) получение новых сильных предельных теорем и теорем о больших уклонениях для комбинаторных сумм. Предполагается исследовать слагаемые без экспоненциального момента.
2) Получение новых предельных теорем для приращений сумм независимых случайных величин и случайных
процессов, дополняющих и расширяющих универсальную теорию сильных предельных теорем.
3) Получение новых вариантов леммы Бореля-Кантелли и оценок вероятностей совместного осуществления событий, а
также поиск и расширение возможностей их применений. В частности, предполагается рассмотреть применения леммы Бореля-Кантелли к изучению статистических свойств динамических систем. Поставленные задачи масштабны и носят комплексный характер.
Исследования асимптотического поведения вероятностей больших уклонений комбинаторных сумм при отсутствии двусторонних моментов ранее не проводились. Нет также подобных результатов в случае выполнения двусторонних
условий типа условия Линника. Как следствие отсутствует ряд сильных предельных теорем типа законов больших чисел и закона повторного логарифма. Частным случаем комбинаторных сумм являются линейные ранговые статистики (среди них ранговый коэффициент корреляции Спирмена). Лемма Бореля-Кантелли является важным инструментом при доказательстве теорем о сходимости почти наверное. Ее
усиленные формы применяются при анализе статистических свойств различных динамических систем. Ряд динамических систем не удовлетворяет условиям имеющихся результатов. Получение новых вариантов леммы Бореля-Кантелли расширит область ее применения. Новые неравенства для вероятностей совместного осуществления событий дадут более точные оценки (иногда превращающиеся в равенства). Аналоги таких неравенств можно использовать в
пространствах с мерой или зарядом, а методы их получения подходят для доказательства моментных неравенств для дискретных случайных величин, усиливающих неравенства Коши-Буняковского и Гёльдера. Теоремы о поведении приращений сумм независимых случайных величин охватывают единой теорией закон больших чисел, закон повторного логарифма, закон Эрдеша-Реньи, закон Шеппа, закон Чёргё-Ревеса. Вместе с тем эта теория может быть расширена и дополнена новыми направлениями.
Теоремы о поведении приращений сумм независимых случайных величин охватывают единой теорией закон больших чисел, закон повторного логарифма, закон Эрдеша-Реньи, закон Шеппа, закон Чёргё-Ревеса. Вместе с тем эта теория
может быть расширена и дополнена новыми направлениями. Предлагаемые направления исследований лежат в русле развития новой для коллектива тематики. Метод анализа вероятностей больших уклонений комбинаторных сумм и недавние варианты усиленной формы леммы Бореля-Кантелли опубликованы в работах 2021-2022 г.г. В последних затрагивается поведение некоторых из большого
многообразия динамических систем. В единую теорию сильных предельных теорем не включен ряд известных результатов, а также нет подобных результатов для некоторых важных объектов. Например, нет результатов для
областей притяжения асимметричных устойчивых законов с экспонентой меньше либо равной 1.
В ходе осуществления проекта предполагается получить новые результаты, представляющие существенный интерес в выбранных областях исследований. А.Н.Фролов является опытным, высоко квалифицированным специалистом,
имеющими большое число работ в соответствующих областях исследований. Он имеет существенный задел по проекту и предлагает методы и подходы к решению поставленных задач. Совокупность этих методов и подходов и общего
состояния и направлений развития рассматриваемых областей исследований определенно указывают на достижимость решения поставленных задач и возможность получения предполагаемых результатов.
Научный задел.
А.Н.Фролов является автором большого числа статей, посвященных исследованию асимптотического поведения приращений сумм независимых случайных величин, случайных полей и процессов. Для них им построены универсальные теории, включающие в себя закон Эрдеша-Реньи, закон Черге-Ревеса, ЗПЛ и УЗБЧ. Соответствующие результаты и методы для приращений сумм независимых случайных величин и случайных процессов нашли отражение
в книгах
А.Н.Фролов. Предельные теоремы теории вероятностей. Изд. СПбГУ, 2014.
A.N.Frolov. Universal theory for strong limit theorems of probability. World Scientific, Singapore, 2019.
А.Н.Фролов. Устойчивые распределения и суммы независимых случайных величин. Изд. Лань, С.Петербург, 2021.
В недавних работах А.Н.Фролова получены новые результаты о больших уклонениях комбинаторных сумм, комбинаторные услиленный закон больших чисел и закон повторного логарифма, новые оценки вероятностей комбинаций событий, новые оценки первых скачков дискретных функций распределения, уточнение неравенства Гельдера, а также новый вариант усиленной леммы Бореля-Кантелли, которая была использована для исследования свойств динамических систем.
Публикации:
1. A.N.Frolov. Universal theory for strong limit theorems of probability. World Scientific, Singapore, 2019.
2. A.N.Frolov. On inequalities for values of first jumps of distribution functions and Holder’s inequality. Statistics & Probability Letters. 2017. Т. 126. С. 150-156. DOI: https://doi.org/10.1016/j.spl.2017.03.002
3. А.Н.Фролов. Об оценках для вероятностей комбинаций событий, формуле Жордана и неравенствах Бонферрони. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6(64). № 2. С. 253-264. DOI:https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.207
4. А.Н.Фролов. Об оценках скоростей сходимости в комбинаторных сильных предельных теоремах и их приложениях. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7(65) . № 4. С. 688-698. DOI: https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.410
5. А.Н.Фролов. О комбинаторном усиленном законе больших чисел и ранговых статистиках. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7(65). № 3. С. 490-499. DOI: https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.311
6. A.N.Frolov. On upper and lower bounds for probabilities of combinations of events. Statistics and Probability Letters. 2021. Т. 173. 109073 DOI: https://doi.org/10.1016/j.spl.2021.109073
7. A.N.Frolov. The Erdos-Renyi law and strong limit theorems of probability. Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica. 2021. Т. 58 (2). С. 263-273. DOI: https://doi.org/10.1556/012.2021.58.2.1498
8. A.N.Frolov. On strong forms of the Borel–Cantelli lemma and intermittent interval maps. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2021. Т. 504 (2). 15 December 2021, 125425. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2021.125425
9. A.N.Frolov. On large deviations for combinatorial sums. Journal of Statistical Planning and Inference. 2022. Т. 217. March 2022, С. 24-32. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jspi.2021.07.002
10. А.Н.Фролов. Об усиленной форме леммы Бореля-Кантелли. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2022. Т. 9(67). № 1. С. 85-93.
