В 2021 году были получены следующие результаты по трем основным направлениям проекта.

I. Теория усреднения

Пусть A_ε – матричный эллиптический оператор в R^d порядка 2p, p ≥ 2, с периодическими коэффициентами, зависящими от x/ε. Здесь ε > 0 – малый параметр.

1. Найдена аппроксимация резольвенты оператора A_ε по операторной норме в L_2 с оценкой погрешности порядка ε^{2p}.

2. Получена аппроксимация полугруппы exp(-A_ε t), t > 0, по операторной норме в L_2 с оценкой погрешности порядка ε^{2p} t^{-1}. Результаты применены к вопросу об аппроксимации решения задачи Коши для параболического уравнения du_ε/dt = - A_ε u_ ε.

3. Изучалось поведение оператор-функций cos(t A_ε^{1/2}) и A_ε^{-1/2}sin(t A_ε^{1/2}). Показано, что при ε → 0 эти оператор-функции сходятся к аналогичным оператор-функциям от эффективного оператора A^0 в подходящих операторных нормах. При фиксированном t порядок погрешностей O(ε) – точный. Результаты применены к вопросу об аппроксимации решения задачи Коши для гиперболического уравнения d^2u_ε/dt^2 = - A_ε u_ε.

4. Исследовано усреднение нестационарной системы Максвелла в R^3. Предполагалось, что диэлектрическая проницаемость задается периодической матрицей η(x/ε), а магнитная проницаемость – постоянной положительной матрицей μ. Матрица η(x) ограничена и положительно определена. Найдены аппроксимации решений по норме в L_2. Погрешности имеют точный порядок O(ε) при фиксированном t, если начальные данные принадлежат подходящим классам Соболева.

5. Пусть A_ε – одномерный эллиптический оператор второго порядка с периодическими коэффициентами, зависящими от x/ε. Пусть E_ε – спектральный проектор оператора A_ε для полуоси [ε^{-2} ν, ∞), где ε^{-2} ν – правый край некоторой спектральной лакуны. Получена аппроксимация оператора exp(-A_ε t) E_ε при фиксированном t > 0 и малом ε.

6. Исследовано усреднение решений начально-краевой задачи Неймана для параболического уравнения с матричным локально периодическим эллиптическим оператором A_ε = D* a(x,x/ε) D в ограниченной области с достаточно гладкой границей. Найдены приближения при фиксированном t > 0 и ε → 0 для полугруппы exp(-t A_ε) по операторным нормам из L_2 в L_2 и из L_2 в H^1. При данном t погрешности имеют порядки O(ε) и O(ε^{1/2}) соответственно.

7. Изучено усреднение стационарной системы Максвелла в R^3, когда магнитная проницаемость постоянная, а диэлектрическая проницаемость задается быстро осциллирующей локально периодической матрицей-функцией вида η(x,x/ε). Для всех физических полей получены приближения по норме в L_2 с погрешностями порядка O(ε).

8. Исследована регулярность решения уравнения Прандтля на интервале (-1,1). В терминах специального интегрального преобразования на отрезке вводится интерполяционная шкала пространств X^s. Установлена теорема существования и единственности решения в классах X^s при 0 ≤ s ≤ 1, вместе с оценками нормы решения через норму правой части.

II. Спектральная теория периодических дифференциальных операторов

1. Рассматривалось уравнение –Δu(x,y) + V(x,y)u(x,y) = 0 в полуцилиндре [0,∞)x(0,a)^d. На боковой поверхности ставятся периодические граничные условия; потенциал V ограничен. При d ≥ 3 мы построили пример нетривиального решения u, убывающего как exp(-c x^{4/3}), c > 0. Более быстрое убывание невозможно.

2. Для дискретных операторов Шрёдингера на Z^d с периодическими потенциалами естественным аналогом гипотезы Бете—Зоммерфельда является утверждение о том, что спектр оператора не имеет лакун при достаточно малых потенциалах с данной решёткой периодов (содержащейся в Z^d). Получено полное описание решёток, для которых верен указанный факт. Кроме того, доказано, что для широкого класса решёток размерность поверхностей Ферми дискретных операторов Шрёдингера, соответствующих краям зон, не превышает d-2.

3. Рассматривался оператор Максвелла в R^3 и его эллиптическое расширение. Предполагалось, что диэлектрическая и магнитная проницаемости среды – скалярные положительные периодические функции класса C^2, произведение которых постоянно. Показано, что для расширенного оператора Максвелла выполняется аналог гипотезы Бете–Зоммерфельда, то есть количество лакун в его спектре конечно.

III. Спектральная теория почти периодических разностных операторов

Исследовался дискретный оператор Шрёдингера
(H f)(k) = f(k+1) + f(k-1) + λ v(ωk+θ) f(k),
где k – целочисленная переменная, v – 1-периодическая функция, параметры λ > 0, 0 < ω < 1, 0 ≤ θ < 1 – это константа связи, частота и эргодический параметр. Частота ω иррациональна. В этом случае функция k → v(ωk+θ) является квазипериодической. Определим последовательность ω(l+1) = {1/ω(l)}, l = 0, 1, 2, …, где ω(0) = ω, а {.} – дробная часть. Положим p(L) = ω(0)ω(1)...ω(L-1) при L > 0 и p(0) = 1.

1. Рассматривался оператор почти-Матье – оператор H с v(x) = 2 cos(2πx). Предполагалось, что существует число K = K(ω) > 0, такое что ω(L+1), ω(L) ≥ K p(L) для всех L = 0, 1, 2, ... Это условие выполнено для почти всех частот ω. При λ→0 мы асимптотически описали длины интервалов, содержащихся в спектральных лакунах оператора H, и вычислили значения интегрированной плотности состояний на этих интервалах. Показано, что каждый из них асимптотически совпадает с лакуной, в которой содержится, и получены прямые доказательства того, что все лакуны открыты, а их длины экспоненциально убывают с ростом номера.

2. Изучался оператор почти-Матье с константой связи λ < 1 и таким ω, что все числа ω(L) exp(-ln λ / p(L)) достаточно малы и достаточно быстро стремятся к нулю, когда L стремится к бесконечности. Это возможно для множества частот нулевой меры. При этом спектр сингулярно непрерывен. Используя квазиклассические методы, мы асимптотически описали лакуны в спектре.

3. В рамках метода монодромизации исследован оператор Шрёдингера H с v(x) = exp(-2πi x). Для всех иррациональных ω описана геометрия спектра, вычислен показатель Ляпунова на спектре, описана область значений параметров, для которых существует точечный спектр, и построены собственные функции.

4. Пусть 1-периодическая функция v мероморфна в конечной окрестности вещественной оси. Для разностного уравнения Шрёдингера g(x+ω) + g(x-ω) + λ v(x) g(x) = E g(x) асимптотически исследована матрица монодромии.

5. Звуковое поле в прибрежной зоне океана описывается уравнением Гельмгольца в полуплоскости с граничным условием Дирихле. Показатель преломления принимает два значения, большее – в угле малого раствора («водном клине»). Исследуются нормальные волны – решения, локализованные внутри клина. Получены равномерные асимптотические формулы, описывающие перестройку асимптотики нормальной волны при приближении к вершине клина.